高中数学8.1 基本立体图形第2课时导学案
展开8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 【学习目标】 【自主学习】 一.圆柱的结构特征 注意:圆柱的简单性质: (1)圆柱有无数条母线,它们互相平行且相等. (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆,如图①所示. (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形,如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是矩形,如图③所示. 二.圆锥的结构特征 注意:圆锥的简单性质: (1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等. (2)平行于底面的截面都是圆,如图①所示. (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形,如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形,如图③所示. 三.圆台的结构特征 注意:圆台的简单性质: (1)圆台有无数条母线,且它们相等,延长后相交于一点. (2)平行于底面的截面是圆,如图①所示. (3)过轴的截面是全等的等腰梯形,如图②所示. (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形,如图③所示. 四.球 五.简单组合体 (1)概念:由 组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)两种构成形式 ①由简单几何体 而成; ②由简单几何体 一部分而成. 【小试牛刀】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( ) (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.( ) (3)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.( ) (4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.( ) 2.可以旋转得到如图的图形的是( ) 3.过圆锥的轴作截面,则截面形状一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【经典例题】 题型一 旋转体的结构特征 点拨:简单旋转体判断问题的解题策略 1.准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键; 2.解题时要注意两个明确:,①明确由哪个平面图形旋转而成;,②明确旋转轴是哪条直线. 例1 下列结论正确的是____. ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥; ⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内; ⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段; ⑦球面上任意三点可能在一条直线上; ⑧用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面. 【跟踪训练】1下列命题:①任意平面截圆柱,截面都是圆面;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线,其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.② 题型二 简单组合体的结构特征 例2 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( ) 【跟踪训练】2已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰,如图所示.分别以AB,BC,CD,DA所在的直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征. 题型三 圆柱、圆锥、圆台的计算问题 点拨:旋转体中有关底面半径、母线、高的计算,可利用轴截面求解,借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系,即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面,可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法. 例3 已知一个圆台的母线长为12 cm,两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2,求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【跟踪训练】3如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长. 题型四 球的截面问题 点拨:利用球的截面,借助直角三角形,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键. 例4 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π,求这两个截面间的距离. 【跟踪训练】4 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的直径为 . 【当堂达标】 1.如图所示的图形中有( ) A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥 C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球 2.如图所示的组合体的结构特征是( ) A.一个棱柱中截去一个棱柱 B.一个棱柱中截去一个圆柱 C.一个棱柱中截去一个棱锥 D.一个棱柱中截去一个棱台 3.下列说法中正确的是________. ①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线; ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ③通过圆台侧面上一点,有无数条母线. 4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8,则该圆锥的高是________. 5.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为________cm. 6.指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的. 【课堂小结】 1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示. 2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想. 3.处理组合体问题常采用分割思想. 4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用,切实体会空间几何平面化的思想. 【参考答案】 【自主学习】 矩形 轴 底面 侧面 平行 圆心 O′O 圆柱 棱柱 直角 直角边 SO ⊙O 顶点 半径 轴 SO 棱锥 圆锥 圆锥 底面 截面 下 上 侧面 OO′ 字母 OO′ 圆台 棱台 直径 一周 圆心 半径 直径 球心 O 简单几何体 拼接 截去或挖去 【小试牛刀】 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ 2.A 解析:题图所示几何体上面是圆锥,下面是圆台,故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成. 3.B 【经典例题】 例1 ④⑥⑧ 解析:①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台;③它们的底面为圆面;④正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四点,则这四点就在球面上,故⑤错误;根据球的半径定义可知⑥正确;球面上任意三点一定不共线,故⑦错误;用一个平面去截球,一定截得一个圆面,故⑧正确. 【跟踪训练】1 D 解析:过圆柱两母线的截面为矩形,有时斜的截面为椭圆,故①错误;圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线,③错误;由圆锥母线的定义知②正确. 例2 A 解析:该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成,故应选A. 【跟踪训练】2 解:(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台,如图①所示. (2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:下部为圆柱,上部为圆锥,如图②所示. (3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥,如图③所示. (4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥,如图④所示. 例3 [解] (1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示). 由题意可得上底的一半O1A=2 cm,下底的一半OB=5 cm,腰长AB=12 cm,所以圆台的高AM=eq \r(122-5-22)=3eq \r(15)(cm). (2)如图,延长BA,OO1,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm, 则由△SAO1∽△SBO,得eq \f(l-12,l)=eq \f(2,5),解得l=20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 【跟踪训练】3【解】 设圆台的母线长为l cm, 由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设 截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图所示, 则△SO′A′∽△SOA,SA′=3 cm. 所以eq \f(SA′,SA)=eq \f(O′A′,OA),所以eq \f(3,3+l)=eq \f(r,4r)=eq \f(1,4). 解得l=9,即圆台O′O的母线长为9 cm. 例4 [解] 设球的大圆为圆O,C,D两点为两截面圆的圆心,AB为经过C,O,D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8. 当两截面在球心同侧时,如图(1),此时CD=OC-OD=eq \r(OE2-EC2)-eq \r(OF2-DF2)=8-6=2. 当两截面在球心两侧时,如图(2),此时CD=OC+OD=eq \r(OE2-EC2)+eq \r(OF2-DF2)=8+6=14. 故两截面间的距离为2或14. 【跟踪训练】4 2eq \r(2)解析:设球心到平面的距离为d,截面圆的半径为r,则πr2=π,∴r=1, 设球的半径为R,则R=eq \r(d2+r2)=eq \r(2),故球的直径为2eq \r(2). 【当堂达标】 1.B 解析:根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B. 2.C 解析:如题图,可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱锥后得到的简单组合体,故为一个棱柱中截去一个棱锥所得. 3. ② 解析:①错误,连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行,所以①不正确.③错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线. 4. 2eq \r(2) 解析:设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高h= eq \r(42-r2). 由题意可知eq \f(1,2)·2r·h=req \r(42-r2)=8,所以r2=8,所以h=2eq \r(2). 5. 13 解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12 cm,BC=8-3=5 (cm).所以AB=eq \r(122+52)=13(cm). 6.解:(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成. (2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成. (3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成.素 养 目 标学 科 素 养1.几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体 2.会根据旋转体的几何体特征进行相关运算 3.会根据旋转体的几何体特征进行相关运算1.数学运算; 2.直观想象定义以____的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱有关 概念旋转轴叫做圆柱的____;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的____;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的____;无论旋转到什么位置,____于轴的边都叫做圆柱侧面的母线图形表示法用表示它的轴的字母,即表示两底面____的字母表示,上图中的圆柱可记作圆柱___规定_ _和_ _统称为柱体定义以____三角形的一条____所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图形有关 概念如上图所示,轴为____,底面为____,SA为母线.另外,S叫做圆锥的____,OA(或OB)叫做底面⊙O的____表示法圆锥用表示它的____的字母表示,上图中的圆锥可记作圆锥___规定_ _与____统称为锥体定义用平行于____底面的平面去截圆锥,____与 ____之间的部分叫做圆台图形有关 概念原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的____底面和____底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、____、母线,如上图所示,轴为___,AA′为母线表示法用表示轴的____表示,上图中的圆台可记作圆台____规定___与____统称为台体定义以半圆的____所在直线为旋转轴,半圆面旋转____形成的旋转体叫做球体,简称球有关 概念半圆的__ __叫做球的球心;半圆的____叫做球的半径;半圆的___叫做球的直径图形表示法球常用表示____的字母表示,如上图中的球记作球___
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