数学8.3 简单几何体的表面积与体积导学案

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8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【学习目标】 【自主学习】 一．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体__ __的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__ _的面积的和. 1.棱柱的表面积 棱柱的表面积：S表＝ ． 其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝ ； 长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝ ； 棱长为a的正方体的表面积：S表＝ . 2.棱锥的表面积 棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝ . 3.棱台的表面积 棱台的表面积：S表＝ ． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 二．棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积 (1)棱柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝ . 2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝ . 3．棱台的体积 (1)棱台的高是指 之间的距离． (2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ ． 【小试牛刀】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和． (　　) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和． (　　) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同． (　　) (4)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB． (　　) 3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　) A．6,22 B．3,22 C．6,11 D．3,11 【经典例题】 题型一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 点拨：棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 例1 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A．eq \f(3＋\r(3),4)a2　　 B．eq \f(3,4)a2 C．eq \f(3＋\r(3),2)a2 D．eq \f(6＋\r(3),4)a2 【跟踪训练】1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 题型二　棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为(　D　) A．eq \f(1,4)　　 B．eq \f(1,2)　　 C．eq \f(\r(3),6)　　 D．eq \f(\r(3),4) 【跟踪训练】2 棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于 . 题型三　求体积的等积法与分割法 点拨：求几何体体积的常用方法 例3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d. 【跟踪训练】3 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 【当堂达标】 1.已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　) A．eq \f(1,4)　　　 B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),6)　　　 D．eq \f(\r(3),4) 2.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为 (　　) A.6 B.12 C.24 D.48 3.把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________． 4.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P­ABC的体积V＝________. 5.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积. 6.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积. 【课堂小结】 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键． 2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”． 【参考答案】 【自主学习】 各个面 各个面 S侧＋2S底 Ch 2(ab＋ac＋bc) 6a2 eq \f(1,2)Ch′ S侧＋S上底＋S下底 两底面 Sh 顶点 垂足 eq \f(1,3)Sh 两个底面 eq \f(1,3)h(S′＋eq \r(S′S)＋S) 【小试牛刀】 1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.A解析:V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22. 【经典例题】 例1 A解析：∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq \f(\r(2),2)a， ∴S表＝eq \f(\r(3),4)a2＋3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq \s\up12(2)＝eq \f(3＋\r(3),4)a2. 【跟踪训练】1 解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56．∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq \f(a2＋b2,4)＝eq \f(200＋56,4)＝64， ∴AB＝8． ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160． ∴直四棱柱的底面积S底＝eq \f(1,2)AC·BD＝20eq \r(7). ∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20eq \r(7)＝160＋40eq \r(7). 例2 D 解析: 设三棱锥B1－ABC的高为h，则V三棱锥B1－ABC＝eq \f(1,3)S△ABCh＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4). 【跟踪训练】2 6＋2eq \r(2) 解析：体积V＝eq \f(1,3)(2＋eq \r(2×4)＋4)×3＝6＋2eq \r(2). 例3 解析：在三棱锥A1－ABD中，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq \r(2)a， ∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)a×d.解得d＝eq \f(\r(3),3)a.∴A到平面A1BD的距离为eq \f(\r(3),3)a. 【跟踪训练】3 解 如图，连接EB，EC，AC. V四棱锥E－ABCD＝eq \f(1,3)×42×3＝16．∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝eq \f(1,2)V三棱锥C－ABE＝eq \f(1,2)V三棱锥E－ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)V四棱锥E－ABCD＝4． ∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20． 【当堂达标】 1.D 2.D 解析:正四棱锥的斜高h′= 4,S侧=4× ×6×4=48. 3.18a2 解析：原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq \f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq \f(1,9)a2×6＝eq \f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq \f(2,3)a2×27＝18a2. 4. 4 解析：三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝eq \f(1,3)S△PAC·PB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×4×3＝4. 5.解析 ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴S侧＝4S△SAB＝4×eq \f(1,2)AB×SE＝2×5×eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝25eq \r(3)，S表＝S侧＋S底＝25eq \r(3)＋25＝25(eq \r(3)＋1). 6.解析：由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E， ∵S△A1D1E＝eq \f(1,2)EA1·A1D1＝eq \f(1,4)a2， 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a， ∴V三棱锥F－A1D1E＝eq \f(1,3)×a×eq \f(1,4)a2＝eq \f(1,12)a3， ∴V三棱锥A1－D1EF＝eq \f(1,12)a3．素 养 目 标学 科 素 养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法． 2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学运算; 2.逻辑推理公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积