高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优质学案，共11页。

A．3 B．4
C．5 D．6
2．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( )
A．18eq \r(3) cm2 B．18 cm2
C．12eq \r(3) cm2 D．12 cm2
3．一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是( )
A．28 B．32
C．36 D．40
4．若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )
A．eq \f(11,2) B．5
C．eq \f(9,2) D．4
5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq \f(3,2)，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )
A．eq \f(15,2)π B．eq \f(9,2)π
C．eq \f(5,2)π D．eq \f(3,2)π
6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )
A．V1B．V1C．V2D．V27．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.
8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为21.
9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，若几何体的体积为8eq \r(3)，则a＝2.
10．如图是某几何体的三视图．
(1)画出它的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积和体积．
11．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
13．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．8－eq \f(π,4) B．8－eq \f(π,2)
C．8－π D．8－2π
14．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为eq \r(7).
15．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
课时作业6 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( A )
A．18eq \r(3) cm2 B．18 cm2
C．12eq \r(3) cm2 D．12 cm2
解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为eq \f(\r(3),4)a2 cm2，易求得高为eq \f(\r(6),3)a cm，则体积为eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)a2×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq \r(2)，所以其表面积为4×eq \f(\r(3),4)a2＝18eq \r(3)(cm2)．
3．一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是( B )
A．28 B．32
C．36 D．40
解析：由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b·c＝8， ①,ab＋bc＋ca＝16， ②,b2＝ac， ③))
将③代入①得b3＝8，b＝2，
∴ac＝4，代入②得a＋c＝6.
∴长方体棱长的和为4(a＋b＋c)＝4×8＝32.
4．若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( D )
A．eq \f(11,2) B．5
C．eq \f(9,2) D．4
解析：易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底＝1×2＋4×eq \f(1,2)×1×1＝4，高为1，故此几何体的体积V＝4×1＝4.
5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq \f(3,2)，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( D )
A．eq \f(15,2)π B．eq \f(9,2)π
C．eq \f(5,2)π D．eq \f(3,2)π
解析：
依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，易得OA＝eq \r(3)，OB＝1，则OC＝eq \f(5,2)，所以旋转体的体积为eq \f(1,3)×π(eq \r(3))2·(OC－OB)＝eq \f(3π,2).
6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( C )
A．V1B．V1C．V2D．V2解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台、圆柱、四棱柱、四棱台，所以
V1＝eq \f(1,3)(4π＋π＋2π)＝eq \f(7π,3)，V2＝2π，V3＝23＝8，
V4＝eq \f(1,3)×(16＋4＋8)＝eq \f(28,3)，故V27．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.
解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，∴h＝1，
∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，
∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.
8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为21.
解析：S圆柱＝2·πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＋2π·eq \f(a,2)·a＝eq \f(3,2)πa2，
S圆锥＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＋π·eq \f(a,2)·a＝eq \f(3,4)πa2，
∴S圆柱S圆锥＝21.
9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，若几何体的体积为8eq \r(3)，则a＝2.
解析：由三视图可知，该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2eq \r(3)，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长为4，∴该正三棱柱的体积V＝eq \f(\r(3),4)×42×a＝8eq \r(3)，解得a＝2.
10．如图是某几何体的三视图．
(1)画出它的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积和体积．
解：(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为eq \r(3))，所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积为V＝π×12×2＋eq \f(1,3)×π×12×eq \r(3)＝2π＋eq \f(\r(3),3)π.
11．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．
解：如图所示，连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，
∴VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝eq \f(1,2)VA­BB1C1C．
又VA­A1B1C1＝eq \f(1,3)S△A1B1C1·h，
VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VA­A1B1C1＝eq \f(m,3)，
∴VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝eq \f(2,3)m，
∴VA­BEFC＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)m＝eq \f(m,3)，
即四棱锥A­BEFC的体积是eq \f(m,3).
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( B )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
解析：由l＝eq \f(1,4)×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝eq \f(16,π)≈eq \f(16,3)(尺)，所以米堆的体积V＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,4)×eq \f(256,9)×5＝eq \f(320,9)(立方尺)，所以堆放的米有eq \f(320,9)÷1.62≈22(斛)，故选B．
13．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )
A．8－eq \f(π,4) B．8－eq \f(π,2)
C．8－π D．8－2π
解析：该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V＝23－eq \f(1,2)×2π＝8－π，故选C．
14．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为eq \r(7).
解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为eq \f(1,3)π×52×4＋π×22×8＝eq \f(196π,3).设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则eq \f(1,3)π×r2×4＋π×r2×8＝eq \f(28π,3)r2＝eq \f(196π,3)，解得r＝eq \r(7).
15．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
解：(1)交线围成的正方形EHGF如图：
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝eq \r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq \f(9,7)(eq \f(7,9)也正确)．