高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积精品同步练习题

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1．（3分）（2023·高一单元测试）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ）
A．6B．C．2D．
【解题思路】直接利用棱锥的体积公式计算即可.
【解答过程】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为
故选：C.
2．（3分）（2023·高一课时练习）若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意可圆柱的底面积乘以圆柱的高=圆柱的底面积乘以圆锥的高，由此解答.
【解答过程】圆柱的体积=圆锥的体积×2 ，
即圆柱底面积×圆柱的高=圆锥的底面积×圆锥的高÷3×2 ，
由此推出：圆柱的底面积×圆柱的高=圆柱的底面积×圆锥的高，
整理得，圆柱的高=圆锥的高，圆柱的高÷圆锥的高=，
所以，圆柱的高是圆锥高的.
故选：C.
3．（3分）（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ）
A．4B．6C．D．
【解题思路】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，求出三棱锥和正方体的体积，作差可得.
【解答过程】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，
三棱锥的体积为
正方体的体积为，
则该正方体剩余几何体的体积为

故选：C.
4．（3分）（2022春·河南信阳·高一阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（ ）
A．多面体有12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为3
C．多面体的体积为
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
【解题思路】由题得该多面体的各顶点为正方体每条棱的中点，判断选项正误.
【解答过程】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点，
该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A项正确；
多面体表面每个三角形面积为，每个小正方形面积为，
所以多面体表面积为，B项错误；
将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为，
所以多面体体积，C项正确；
原正方体中心到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）的距离都为，
所以以该点为球心，为半径的圆即多面体的外接圆，D项正确；
故选：B.
5．（3分）（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设外心为，外心为，DB中点为E，过外心分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圆半径，又注意到四边形为矩形，则外接球半径.
【解答过程】设外心为，外心为，DB中点为E.
因，平面，平面平面，
平面平面，则平面，又平面，
则 .过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心，
则四边形为矩形.外接圆半径.
又因，，则.故外接圆半径.
又.
又平面，平面，则.
故外接球半径，
故外接球表面积为.
故选：A.
6．（3分）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
【解题思路】表示出表面积后，根据二次函数性质可得.
【解答过程】大圆柱表面积为
小圆柱侧面积为，上下底面积为
所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大.
故选：D.
7．（3分）（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.
【解答过程】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则平面.取BC的中点G，连接FG，作，垂足为H，如图所示，
由题意得，，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，
∴这个羡除的外接球体积为.
∵，面，面，
∴面，即：点A到面的距离等于点B到面的距离，
又∵，
∴，
∴这个羡除的体积为，
∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为.
故选：A.
8．（3分）（2023·辽宁·校联考模拟预测）在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．πB．C．D．2π
【解题思路】作出图形，辅助线，找到球心位置，求出半径，设CF＝x，则，所以，表达出三棱锥E－ACF的体积，得到当时，V取得最大值，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，求出截面面积的最小值
【解答过程】如图，取AC的中点O，连接OF，OB，
因为∠ADC＝∠ABC＝90°，所以，即O为球心，
则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面ABC，
所以OB⊥平面ACD．
设CF＝x，则，所以，
所以三棱锥E－ACF的体积
，
当时，V取得最大值．由于OA＝OB＝OC＝OD，
在△COF中，由余弦定理得：
，
根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为r，所以，
则截面面积的最小值为．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2023秋·浙江衢州·高二期末）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高是B．圆锥的母线长是4
C．圆锥的表面积是D．圆锥的体积是
【解题思路】根据圆锥侧面展开图可求得圆锥母线和高，进而得到其体积和表面积，即可判断出正确选项.
【解答过程】设圆锥母线为，高为，
侧面展开图的弧长与底面圆周长相等，由弧长公式得，即；
所以圆锥的母线长是4，即B正确；
高为，所以选项A错误；
圆锥的表面积是，故C错误；
圆锥的体积是，即D正确.
故选：BD.
10．（4分）（2022秋·福建莆田·高二期中）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．
若长方体的体积为V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积的数量关系，即可得答案.
【解答过程】解：由题意，堑堵的体积，阳马的体积，鳖臑的体积，
所以，，，即，
所以，
所以，ACD选项正确，B选项错误.
故选：ACD.
11．（4分）（2022秋·山东潍坊·高三阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）
A．该截角四面体的内切球体积B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为D．外接圆的面积为
【解题思路】根据内切球的直径等于正四面体高的可求解A项，利用每个截角体积等于正四面体体积的可求解B项，利用勾股定理求外接球的半径可求解C项，利用勾股定理可确定的斜边长，进而求解D项.
【解答过程】
该四面体底面正三角形的高等于，
所以四面体的高，
由图可知，该截角四面体的内切球的直径等于，
所以内切球的体积等于，故A错误；
正四面体的体积，
所以剪掉一个角的体积等于，
所以该截角四面体的体积为,故B正确；
取上下底面的中心为,外接球的球心为，连接如图，
因为截角四面体上下底面间的距离等于，
设外接球的半径等于，
因为为边长等于的正三角形，
所以的高等于，所以,
又因为下底面为正六边形，所以，
所以即
所以解得，
所以，故C错误；
连接，则,所以，
由正四面体对棱互相垂直可知，,
所以在直角中，，
所以外接圆的面积为，故D正确.
故选:BD.
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【解题思路】利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A，由题可得到平面DEF的距离为，进而可得平面DEF截得球的截面面积最小值可判断B，由题可得四面体CDEF的体积等于可判断C，设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得的取值范围可判断D.
【解答过程】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积
为，圆柱的表面积，
所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；
过作于，则由题可得，
设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，
又，所以，故C正确；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，
设，则，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023春·山东济南·高三开学考试）已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为 或 ．
【解题思路】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答.
【解答过程】设圆锥的底面圆半径为，母线长，则圆锥侧面展开图扇形弧长为，
依题意，，即，解得或，
当时，圆锥的高，体积为，
当时，圆锥的高，体积为，
所以该圆锥的体积为或.
故答案为：或.
14．（4分）（2023春·青海西宁·高三开学考试）已知在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 .
【解题思路】设的中点为D，证明平面，求出的长，列式计算求得三棱锥外接球的半径，即可求得答案.
【解答过程】设的中点为D，因为，所以D为的外心，
则,
因为，则,
则，则,故,
而平面,
所以平面.
因为,，所以，
因为，所以，
由题意知三棱锥的外接球的球心O在直线上，
设外接球的半径为R，则，解得,
所以三棱锥外接球表面积为，
故答案为：.
15．（4分）（2023·安徽蚌埠·统考二模）如图是我国古代测量粮食的容器“升”，其形状是正四棱台，“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”，若该“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的，则该“升”升口边长与升底边长的比值为 ．
【解题思路】利用设边长的方法，结合题中所给条件列方程求解.
【解答过程】设升底边长为，升口边长为，则“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，上表面边长为，
设“升”的高度为，“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的，
则有，
化简得，由，解得，即升口边长与升底边长的比值为.
故答案为：.
16．（4分）（2023·四川南充·四川省模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①平面截得球的截面面积最小值为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为 ①③ .
【解题思路】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可判断①；利用球体和圆柱的表面积公式可判断②；在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可判断③.
【解答过程】对于①，过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：
易知，，，
由勾股定理可得，
则由题可得，
设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
因为平面，当平面时，取最大值，即，
所以，，
所以平面截得球的截面面积最小值为，①对；
对于②，因为球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
球的表面积为，圆柱的表面积为，
所以球与圆柱的表面积之比为，②错；
对于③，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，，，
由勾股定理可得，令，则，其中，
所以，，
所以，，
因此，，③对.
故答案为：①③.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高一课时练习）如图，已知直三棱柱的体积为，，分别为棱，上的点，，，求四棱锥的体积．
【解题思路】结合已知条件，利用割补法和等体积法即可求解.
【解答过程】由题意，不妨设直三棱柱的高，
∵，，
∴，，
故，，
从而，即
∵
∵，从而，
∴．
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，求球的表面积与球的体积．
【解题思路】设球的半径为，根据与球体截面半径，球心、截面的距离间的几何关系求，进而求球体的表面积、体积.
【解答过程】如图，设球的半径为，球心为，截面圆心为，则．
在△中，由，即，
∴是的中点，即，又，
∴，可得．
∴球的表面积，
球的体积．
19．（8分）（2022秋·上海杨浦·高二期末）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
【解题思路】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；
（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.
【解答过程】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
由球体的体积为：，
圆柱体积为：，
所以浮球的体积为：.
（2）上下半球的表面积：，
圆柱侧面积：，
所以，1个浮球的表面积为，
3000个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶克.
20．（8分）（2022·高一课时练习）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．
(1)求圆台的侧面积；
(2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕到点A，求这根绳的最短长度；
(3)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？
【解题思路】（1）作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，求出大圆锥和小圆锥的母线长，用大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积得圆台侧面积；
（2）将绳长的最小值转化为求的长，只要求得侧面展开图的圆心角即可得到结果；
（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是点O到直线的距离减OB的长
【解答过程】（1）
作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，如图所示：
由圆台的下底面半径是5cm，上底面半径是2.5cm，AB的长是10cm，可得，
∴，所以圆台的侧面积；
（2）
由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，
以为半径的圆周长为，所以刚好占了，
所以侧面展开图的圆心角为90°，
在直角三角形中，，
所以，
所以这根绳的最短长度为25cm；
（3）
由侧面展开图可知，当距离最短时，就是点O到直线的距离减OB的长，即，故最短的距离是2cm.
21．（8分）（2022秋·上海普陀·高二期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.
(1)请估算出堆放的米约有多少斛？
(2)若要建造一个底部直径为4尺的家用圆柱形储粮仓，试问储粮仓的高至少为多少尺，才可以将这堆米全部放入？（结果均保留整数）
【解题思路】（1）根据米堆底部的弧长可求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式求出米堆的体积，从而可求解；
（2）根据圆柱的体积公式列式求解即可.
【解答过程】（1）设圆锥底面半径为，则，所以，
所以米堆的体积为.
故堆放的米约为.
（2）设储粮仓的高为，则，所以尺.
所以储粮仓的高至少为3尺，才可以将这堆米全部放入.
22．（8分）（2022·高一课时练习）如图所示，在平面五边形中，，，，，，分别沿，将与折起使得，重合于点．试求：
（1）三棱锥的体积；
（2）三棱锥的外接球的表面积．
【解题思路】（1）先判断出三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积.
（2）通过补形的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【解答过程】（1），，，则，
又，，，平面.
所以；
（2）将三棱锥补成长方体知三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线长，
即，所以球的表面积为．