数学人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积优质导学案

第八章 立体几何初步

8.3　简单几何体的表面积与体积

一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体__     __的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__   _的面积的和.

1.棱柱的表面积

棱柱的表面积：S表＝      ．

其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝      ；

长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝             ；

棱长为a的正方体的表面积：S表＝      .

2.棱锥的表面积

棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝         .

3.棱台的表面积

棱台的表面积：S表＝                 ．

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．

【答案】各个面  各个面 

1.S侧＋2S底   Ch  2(ab＋ac＋bc)  6a2   

2.Ch′ 

3.S侧＋S上底＋S下底 

二、棱柱、棱锥、棱台的体积

1．棱柱的体积

(1)棱柱的高是指      之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝   .

2．棱锥的体积

(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，   与    (垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝     .

3．棱台的体积

(1)棱台的高是指       之间的距离．

(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝           ．

【答案】1.两底面  Sh 

2.顶点   垂足  Sh  

3.两个底面  h(S′＋＋S)

三、圆柱、圆锥、圆台的表面积

【答案】2πr2  2πrl  2πr(r＋l)  πr2  πrl  πr(r＋l)  πr′2  πr2   π(r′l＋rl)  π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

四、圆柱、圆锥、圆台的体积

【答案】πr2h   πr2h    π(r2＋rr′＋r′2)h

五、球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S＝      (R为球的半径).

2．球的体积公式V＝      .

【答案】4πR     πR3

一、单选题

1．圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如同，设圆锥的轴截面为，底面圆心为，

则由题可得为等腰直角三角形，则，则，

所以，即底面半径，

所以该圆锥的侧面积为.

故答案为：D.

2．表面积为 的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（　　） 

A．567 B．576 C．240 D．

【答案】B

【解析】设球的半径为 ，正四棱柱的底面边长为 ，作轴的截面如图 ， ，

又因为 ，所以 ，可得： ，

所以 ，所以 ，

所以正四棱柱的表面积 ，

故答案为：B

3．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，设底面中心为，连接，

由几何关系知，

，则正八面体体积为

.

故答案为：C

4．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 ，则该棱台的体积是（　　） 

A． B． C．20 D．21

【答案】A

【解析】由棱台的几何特征可得其高为：

，

则其体积为：

。

故答案为：A

5．已知一个圆锥的母线长为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（　　） 

A．36π B．48π C．36 D．

【答案】A

【解析】设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为 的扇形得：

，解得： .

作出圆锥的轴截面如图所示：

设圆锥的高为h，则 .

设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有 ，

即 ，解得：R=3，

所以该圆锥的外接球的体积为 .

故答案为：A.

6．据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接球表面积为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵ 底面 ， ， ，将三棱锥 补全图形为正方体如图所示，

∴三棱锥的外接球即正方体的外接球.

设外接球的半径为 ，则 ，解得 .

所以外接球的表面积为 .

故答案为：C

二、填空题

7．已知一个圆锥的底面半径为2，高为1，则该圆锥的侧面积为　     　.

【答案】

【解析】根据题意，圆锥母线长为： ，底面周长为： ，则圆锥侧面积为： .

故答案为： .

8．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为　     　.

【答案】14π

【解析】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，

∴长方体的对角线长为： ，

∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，

∴球半径为R= ，

，可得球的表面积为4πR2=14π。

故答案为14π。

三、解答题

9．已知圆柱的底面半径长为1，母线长为2，求它的侧面积和体积.

【答案】 圆柱的底面半径为 ，母线长为 ， 

所以圆柱的高等于母线长

圆柱的侧面积为 ；

圆柱的积为 ．

【解析】利用圆柱的侧面积公式以及体积公式求解即可。

10．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥 ，求它的表面积． 

【答案】解：∵四棱锥S﹣ABCD的各棱长均为5， 

底面为正方形，各侧面均为正三角形，

设E为AB的中点，则SE⊥AB，

SE

∴S侧＝4S△SAB＝4 25 ，

25，

它的表面积S＝S底+S侧＝25+25 ．

【解析】设E为AB的中点，则SE⊥AB，由已知条件求出S侧＝4S△SAB＝4 25 ， 25，由此能求出它的表面积．