人教B版数学必修1 本册素养等级测评 试卷

这是一份人教B版数学必修1 本册素养等级测评 试卷，共7页。

本册素养等级测评
一、单选题(本大题共5小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“∃x＜0，使x2－3x＋1≥0”的否定是(　C　)
A．∃x＜0，使x2－3x＋1＜0
B．∃x≥0，使x2－3x＋1＜0
C．∀x＜0，使x2－3x＋1＜0
D．∀x≥0，使x2－3x＋1＜0
解析：命题“∃x＜0，使x2－3x＋1≥0”的否定是“∀x＜0，x2－3x＋1＜0”，故选C．
2．设f(x)＝ax5＋bx3＋cx＋7(其中a、b、c为常数，x∈R)，若f(－7)＝－17，则f(7)＝(　A　)
A．31　 B．17　　
C．－31　 D．24
解析：令g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．
∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，∴g(－7)＝－24.
∴f(7)＝g(7)＋7＝24＋7＝31.
3．对于α：＞0，β：关于x的方程x2－ax＋1＝0有实数根，则α是β成立的(　B　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件
解析：由α：＞0解得a＞1或a＜－1，β：关于x的方程x2－ax＋1＝0有实数根，则Δ＝a2－4≥0，解得a≥2或a≤－2.∵{a|a≥2或a≤－2}{a|a＞1或a＜－1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选B．
4．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，则实数a的取值范围为(　D　)
A．　 B．
C．∪{－1}　 D．
解析：当a2－1＝0时，a＝±1，若a＝1，则原不等式可化为－1＜0，显然恒成立；若a＝－1，则原不等式可化为2x－1＜0，不恒成立，所以a＝－1舍去；
当a2－1≠0时，因为(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，所以只需解得－＜a＜1.
综上，实数a的取值范围为.故选D．
5．若关于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图像可以是(　D　)

解析：因为关于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y＝f(x)与y＝2的图像在(－∞，0)内有交点，观察图像可知只有D中图像满足要求．
6．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　B　)
A．2　　　　 B．4　　　　　
C．6　　　　 D．8
解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故选B．
7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是(　C　)
A．a＜α＜b＜β　 B．a＜α＜β＜b
C．α＜a＜b＜β　 D．α＜a＜β＜b
解析：∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.
又∵f(a)＝f(b)＝－2＜0，结合二次函数的图像(如图所示)可知a，b必在α，β之间，故它们之间的关系可能为α＜a＜b＜β.故选C．

8．函数f(x)＝x|x|.若存在x∈[1，＋∞)，使得f(x－2k)－k＜0，则实数k的取值范围是(　D　)
A．(2，＋∞)　 B．(1，＋∞)
C．(，＋∞)　 D．
解析：当k≤时，x－2k≥0，因此f(x－2k)－k＜0，可化为(x－2k)2－k＜0，即存在x∈[1，＋∞)，使g(x)＝x2－4kx＋4k2－k＜0成立，由于g(x)＝x2－4kx＋4k2－k的对称轴为直线x＝2k≤1，所以g(x)＝x2－4kx＋4k2－k在[1，＋∞)上单调递增，因此只要g(1)＜0，即1－4k＋4k2－k＜0，解得＜k＜1.
又因为k≤，所以＜k≤.
当k＞时，f(x－2k)＝(x－2k)|x－2k|＝
当1≤x≤2k时，f(x－2k)－k＝－(x－2k)2－k＜0恒成立，满足存在x∈[1，＋∞)，使得f(x－2k)－k＜0成立．综上，k＞.故选D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合M＝{0,1,4}，N＝{0,1,3}，则(　AC　)
A．M∩N＝{0,1}
B．∁UN＝{4}
C．M∪N＝{0,1,3,4}
D．集合M的真子集个数为8
解析：由题意，M∩N＝{0,1}，A正确；∁UN＝{2,4}，B不正确；M∪N＝{0,1,3,4}，C正确；集合M的真子集个数为23－1＝7，D不正确；故选AC．
10．下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是(　ABD　)
A．M＝，N＝{－6，－3,1}，f＝－6，f(1)＝－3，f＝1
B．M＝N＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1
C．M＝N＝{1,2,3}，f(x)＝2x＋1
D．M＝Z，N＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1
解析：对于A，M＝{，1}，N＝{－6，－3,1}，f＝－6，f(1)＝－3，f＝1，满足函数的定义“集合M中每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应”，则f能构成从集合M到集合N的函数，满足题意；
对于B，M＝N＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1，满足函数的定义“集合M中每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应”，则f能构成从集合M到集合N的函数，满足题意；对于C，M＝N＝{1,2,3}，f(x)＝2x＋1，
∵f(2)＝5∉N，∴不满足函数的定义“集合M中每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应”，则f不能构成从集合M到集合N的函数，不满足题意；对于D，M＝Z，N＝{－1,1}，n为奇函数时，f(n)＝－1，n为偶函数时，f(n)＝1，满足函数的定义“集合M中每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应”，则f能构成从集合M到集合N的函数，满足题意；故选ABD．
11．已知f(x)＝(x≠±1)，则下列各式成立的是(　CD　)
A．f(x)＋f(－x)＝0　 B．f(x)·f(－x)＝－1
C．f(x)－＝0　 D．f(x)·f(－x)＝1
解析：∵f(x)＋f(－x)＝＋＝≠0，∴A不符合题意，∵f(x)·f(－x)＝×＝1，∴B不符合题意，D符合题意，∵f(x)－＝－＝0，∴C符合题意；故选CD．
12．下列命题中正确的是(　AC　)
A．y＝x＋(x＜0)的最大值是－2
B．y＝的最小值是2
C．y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4
D．y＝2－3x－(x＞0)的最小值是2－4
解析：y＝x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以A正确；y＝＝＋＞2，取不到最小值2，所以B错误；y＝2－3x－(x＞0)＝2－≤2－4，当且仅当3x＝时，等号成立，所以C正确；y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4，所以D错误．故选AC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝2x＋7__.
解析：由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
∵f(x)满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴解得
∴f(x)＝2x＋7.
14．函数y＝的定义域是__[－3,1]__，值域为__[0,2]__.
解析：要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.∴定义域为[－3,1]．
∵－x2－2x＋3＝－(x－1)2＋4
∴y＝的值域为[0,2]．
15．关于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在区间[－2,0]上恒成立，则实数a的取值范围是__[－2，＋∞)__.
解析：由题意得a≥＝(x－1)＋＋2.因为－2≤x≤0，所以－3≤x－1≤－1.
所以(x－1)＋＋2＝－[(1－x)＋]＋2≤－2＋2＝－2.
当且仅当x＝－1时取到等号．所以a≥－2.
故实数a的取值范围为[－2，＋∞)．
16．给出以下四个命题：
①若集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B，则x＝1，y＝0；
②若函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数f(2x＋1)的定义域为(－1,0)；
③函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；
④若f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋＝2 020.
其中正确的命题有__①②__.(写出所有正确命题的序号)
解析：①由A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B可得或(舍)故x＝1，y＝0，正确；②由函数f(x)的定义域为(－1,1)，得函数f(2x＋1)满足－1＜2x＋1＜1，解得－1＜x＜0，即函数f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，正确；③函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用并集符号，错误；④由题意f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝1＋1＋…＋1＝1 010，错误．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x≤2}，C＝{x|mx＋2＝0}．
(1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围；
(2)若C∩B＝C，求实数m的取值范围．
解：(1)∵B＝{x|1≤x≤2}，∴∁RB＝{x|x＜1或x＞2}．
又∵A＝{x|x＜a}，A∪(∁RB)＝R，∴a＞2，即实数a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)∵C∩B＝C，∴C⊆B.
当C＝∅时，m＝0符合题意．
当C≠∅时，由mx＋2＝0得x＝－，故1≤－≤2，解得－2≤m≤－1.
综上可知，实数m的取值范围为[－2，－1]∪{0}．
18．(12分)若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．
解：A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，
①当Δ＝1－4a＜0，即a＞时，B＝∅，B⊆A成立；
②当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝，B⊆A不成立；
③当Δ＝1－4a＞0，即a＜时，若B⊆A成立，
则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6.
综上，a的取值范围为a＞或a＝－6.
19．(12分)已知函数f(x)＝ax2－2x＋1(a≠0)．
(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)有两个零点，即方程ax2－2x＋1＝0(a≠0)有两个不等实根，令Δ＞0，即4－4a＞0，解得a＜1.又因为a≠0，
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．
(2)若函数f(x)在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，由f(x)的图像过点(0,1)可知，只需
即解得＜a＜1.
所以实数a的取值范围为.
20．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/米3)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/米3)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．
解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度f(x)＝4y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥0，
所以此时0≤x≤4.
当4＜x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，
所以此时4＜x≤8.
综上，得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4.
因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4.
所以4∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.
21．(12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.
(1)求不等式g(x)＜0的解集；
(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解：(1)g(x)＝2x2－4x－16＜0，即(2x＋4)(x－4)＜0，
∴－2＜x＜4，
∴不等式g(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}．
(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x＞2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x＞2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
22．(12分)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y＝f(x)满足f＝f(x)－f(y)，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(1)求f(－1)，并证明函数y＝f(x)是偶函数；
(2)若f(4)＝2，解不等式f(x－5)－f≤1.
解：(1)令x＝y≠0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.
再令x＝1，y＝－1可得f(－1)＝f(1)－f(－1)
＝－f(－1)，∴f(－1)＝0.
证明：令y＝－1可得f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵f(2)＝f(4)－f(2)，∴f(2)＝f(4)＝1.
又f(x－5)－f()＝f()，∴f≤f(2)．
∵f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，
∴－2≤≤2且≠0，
解得－1≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6.
所以不等式的解集为{x|－1≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6}．