【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件培优课　分段函数

培优课　分段函数

分段函数中的自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，所以解决有关分段函数的问题的基本策略是：分段函数分段解，即先确定自变量在哪个范围，然后再选取相应的对应关系代入求解.

1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序逐层处理.

2.已知函数的值或它们之间的等式关系，求参数的值，一般根据分段函数的解析式分类讨论，将“f”脱掉，转化为关于参数的方程求解.

3.与分段函数有关的不等式问题，一般都要通过分类讨论求解，每一类中条件与解得的范围需求交集，而各类之间需求并集.

4.作分段函数的图像的方法是在同一平面直角坐标系上“分段作图”.

类型一　分段函数求函数值

例1 已知函数f(x)＝

则f(f(f(－2)))＝________.

答案　

解析　∵－2<－1，

∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，

∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，

∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.

类型二　已知函数值求参数的值

例2 已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________.

答案　－

解析　当a>0时，1－a<1，1＋a>1，

则f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a，由2－a＝－1－3a，得a＝－<0，不合题意，舍去；同理，当a<0时，由－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，得a＝－，符合题意.故a＝－.

类型三　分段函数与不等式

例3 已知函数f(x)＝求使f(x)<2成立的x值组成的集合.

解　由题意可得

或

由得1≤x<；

由

得x<－或<x<1.

综上所述，使f(x)<2成立的x值组成的集合为.

类型四　分段函数的图像及应用

例4 函数f(x)＝作出函数y＝f(x)的图像，并根据函数图像写出函数的值域.

解　画出一次函数y＝－x－1的图像，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y＝x2－x－2的图像，取(－1，2]上的一段；画出一次函数y＝x－2的图像，取(2，＋∞)上的一段，如图所示.由函数的图像得函数的值域为.

类型五　分段函数与数学建模

例5 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当一条垂直于底边BC(垂足为点F，F不与B重合)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出直线l左边部分图形的面积y关于x的函数.

解　分别过点A，D作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是点G，H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，

所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.

又BC＝7 cm，

所以AD＝GH＝3 cm.

①当点F在BG上，

即0<x≤2时，y＝x2；

②当点F在GH上，

即2<x≤5时，y＝2＋(x－2)× 2＝2x－2；

③当点F在HC上，

即5<x≤7时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△EFC＝10－(7－x)2.

故函数的解析式为y＝