江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学（理）（A）试题 Word版含解析

www.ks5u.com理科数学试题

一.选择题（本大题共12个小题.）

1.命题“”的否定为 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由特称命题的否定可知，命题“”的否定为“”．选C．

2.设(是虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

复数的代数表示法及其几何意义．

【详解】由，得在第二象限

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．

3.已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据椭圆的离心率为，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果.

【详解】依题意椭圆：的离心率为得，

椭圆的长轴长与焦距之和为6，，
解得，，则，
所以椭圆的标准方程为：，故选D．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

4.“”是此方程，表示椭圆的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据方程表示椭圆的充要条件解得或，再结合必要不充分条件的概念可得答案.

【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是即或，

而“”是“或”的必要不充分条件，

所以“”是此方程，表示椭圆的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，考查了椭圆的标准方程的结构特征，这里容易漏掉分母不能相等，属于基础题.

5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出即可.

【详解】因为，，

，，

所以，即.

故选：C.

【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

6.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是        （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

对A，B，C，D四个选项逐个进行二次求导，判断其在上的符号即可得选项.

【详解】若，则，

在上，恒有；

若，则，在上，恒有；

若，则，在上，恒有；

若，则.

在上，恒有，故选D.

【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．

7.若，则函数的图象在处的切线方程为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由微积分基本定理求得值，再根据导函数求切线方程.

【详解】，，，，

则切线方程为，即．

【点睛】本题考查微积分基本定理和由导函数求切线方程，属于基础题.

8.设，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且（为自然对数的底数），则函数的图象大致为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性可求出，再利用导函数求出函数的极值点，和函数的图象的趋势，即可求出结果.

【详解】因为，所以，

即，所以.

因为，当时，，所以C，D错误.

又，所以为极值点，即B错误.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和导函数在函数图象上的应用，属于基础题.

9.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

设，根据可得，再利用空间向量的数量积可得，根据二次函数知识可得当时，取得最小值，

【详解】设，则，

因为点在直线上运动，所以，

所以，即，，所以，

所以

所以当时，取得最小值，此时点的坐标为.

故选：B

【点睛】本题考查了空间向量共线问题，考查了空间向量数量积的坐标运算，考查了二次函数的最值问题，考查了运算求解能力，属于基础题.

10.设点为抛物线的焦点，，，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一象限），则对角线所在的直线方程为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线定义和性质，可得点的坐标为，线段的中点的坐标为，再根据点差法可得，再根据点斜式即可求出结果.

【详解】如图所示，

设点的坐标为，则，

所以，点的坐标为.

所以线段的中点的坐标为.

设，.有，，且.

所以，所以，所以.

对角线所在的直线方程为，即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、性质，以及点差法的应用，属于中档题.

11.已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，且.设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据可构造函数,再利用单调性判断函数值的大小即可.

【详解】构造函数,则,又,

故.在上单调递减.

又,故为奇函数,故为偶函数.

又.

又偶函数在上单调递减.故.

故.

故选：D

【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数值的大小问题,需要根据题意构造合适的函数,并分析单调性与奇偶性,从而求得函数值大小的关系等.属于中等题型.

12.已知椭圆+=1()的左、右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，若椭圆上存在点P，使，则该椭圆离心率的取值范围为

A (0，) B. (，1)

C. (0，) D. (，1)

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】由已知及正弦定理知，即.

即，又，∴，

即，解得，选.

考点：双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.

二. 填空题（本大题共4小题，请把答案填在题中横线上）

13.设复数满足，则__________．

【答案】

【解析】

分析：由题意先求出复数，然后再求．

详解：∵，

∴，

∴．

点睛：对于复数的运算一是要注意运算的顺序，另外要注意在运算中的应用，即遇到时要写成．求复数的模时，首项将复数化为代数形式后再根据公式求解．

14.在直线，，，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，，围成的区域内的概率为__________．

【答案】

【解析】

 由题意，直线所围成的区域为一个长为，高为的矩形，所以其的面积为，

 又由，解得，

 所以由所围成的区域的面积为

，

所以概率为.

15.设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围是________．

【答案】(，1)

【解析】

本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力．

以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于·<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1，因此λ的取值范围是(，1)．

16.用符号表示不超过的最大整数，例如：；；.设函数有三个零点，，且，则的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知，得；令，可知单调递增区间为，单调递减为，作出的草图，由图可知，，所以，，而，所以，即，可得，由此即可求出结果.

【详解】因为

，，

所以①或②.

由①得，由②得.

令，则，所以.

当时，，单调递增，

时，，单调递减.

事实上，当时，，当时，.

由图显然，，所以，，

而，所以，即.

所以，即解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题.

三.解答题（本大题共6小题，共70分，17题满分10分，其余满分12分）

17.设实数x满足，其中，命题实数x满足．

（1）若，且为真，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）为真, 均为真命题，分别计算范围得到答案.

（2）p是q的必要不充分条件，根据表示范围关系解得答案.

【详解】解：实数x满足，其中，解得

命题实数x满足，解得，即．

（1）时，

为真，可得p与q都为真命题，

则

解得．所以实数x的取值范围是

（2）p是q的必要不充分条件，，

解得.

实数a的取值范围是．

【点睛】本题考查了命题与充分必要条件，属于简单题型.

18.观察下面四个等式：

第1个：，

第2个：，

第3个：

第4个：

（1）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（）；

（2）用数学归纳法证明你的猜想成立．

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

【分析】

(1)由已知等式，观察等式的左边和右边，可得猜想 ，；

(2)运用数学归纳法证明，先检验成立，假设时，猜想成立，再证，注意运用假设，以及因式分解，可得证明．

【详解】(1)猜想第n个等式为：，.

(2)证明：

(1)当，左边右边，等式成立；

(2)假设当时，等式成立，即，

那么当时

所以，当时，等式成立．

由(1)和(2)可知等式对于任何都成立．

【点睛】本题考查归纳猜想，以及数学归纳法的证明，考查推理能力和运算能力，属于基础题．

19.已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．

（1）证明： ；

（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

【分析】

（1）连结交于点，连结．由题意可证得平面，则．由线面平行的性质定理可得，据此即可证得题中的结论；

（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.

【详解】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，

因为且平面，所以平面，

因为平面，所以．

因为平面， 平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因为，且为的中点，

所以，所以平面，所以与平面所成的角为，

所以，所以，因为，所以．

分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则

，

所以．

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记二面角的大小为，则．

所以二面角的余弦值为 ．

【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20.已知函数在与时都取得极值．

（1）求的值与函数的单调区间；

（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）

【解析】

【分析】

（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；

（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．

【详解】（1），f（x）＝3x2+2ax+b

由解得，

f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．

（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，

得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，

所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．

要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．

解得c＜﹣1或c＞2．

【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．

21.已知椭圆：过点，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.

【答案】（1） (2)见证明

【解析】

【分析】

(1) 由题意知，解出即可；（2）设，，则，联立直线和椭圆，得到韦达定理，直线的方程为：，令y=0即可得到定点坐标.

【详解】（1）由题意知，，解得，

则椭圆的方程是.

（2）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，

则直线的方程为：，

由，得，

所以，，

直线的方程为：，

所以，

令，则 ，

所以直线与轴交于定点.

【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.

22.已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若在区间上有两个极值点.

（）求实数的取值范围；

（）求证：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出，列表讨论的单调性，问题得解．

（Ⅱ）（i）由在区间上有两个极值点转化成有两个零点，即有两个零点，求出，讨论的单调性，问题得解．

（ii）由得，将转化成，由得单调性可得，讨论在的单调性即可得证．

【详解】解：（Ⅰ）当时，，，令，得.

的单调性如下表：

易知.

（Ⅱ）（i）令，则.

令，得.

的单调性如下表：

在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点，

结合的单调性可知，且，即且.

所以，即的取值范围是.

（ii）由（i）知，所以

又，，，结合的单调性可知，.

令，则.当时，，，，

所以在上单调递增，而，，

因此.

【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了分类思想及转化思想，考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数证明不等式，考查计算能力及转化能力，属于难题．