浙江省金华市东阳中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com东阳中学2020年上学期期中考试卷

（高一数学）

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2．在答题卷指定区域填写班级、姓名；所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在等差数列中，若，则（    ）

A. 6 B. 10 C. 7 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质，可得，然后由，简单计算结果.

【详解】由题可知：

又，所以

故选：B

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，若，则，考验计算，属基础题.

2.在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知，，，则边长（　　　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知利用正弦定理即可求解．

【详解】解：，，，

由正弦定理，可得．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

3.已知向量，且，则实数的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量共线定理的坐标表示，可求实数的值.

【详解】∵，，且，

∴，

∴.

故选：A.

【点睛】本题考查向量共线定理的坐标表示，考查运算求解能力，是基础题.

4.已知，，且，不为0，那么下列不等式成立的是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：根据不等式的性质，可知，则，故选D.

考点：不等式的性质.

5.在△ABC中，,则△ABC一定是（ ）

A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意首先利用正弦定理边化角，然后结合正切函数的性质即可确定△ABC的形状.

【详解】由结合正弦定理可得：，

即，

结合正切函数的性质可知：，

则△ABC是等边三角形.

故选D.

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形形状的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)

A. 4 B. 2 C. 8 D. 16

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由，有，则，当且仅当 等号成立，故选B．

考点：基本不等式.

【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

7.已知=(23)，=(3，t)，=1，则=

A -3 B. -2

C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.

【详解】由，，得，则，．故选C．

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．

8.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可

【详解】时，不等式可化为；

当时，不等式为，满足题意；

当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，

所以，即；

当时，恒成立；

综上所述，实数的取值范围是

答案选A

【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法

9.已知数列满足，，若，则（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由递推公式得出，计算出，利用递推公式推导得出（为正奇数），（为正偶数），利用定义判断出数列和的单调性，进而可得出结论.

【详解】，，，

，

且，.

，则，则，

如此继续可得知，则，

所以，数列单调递增；

同理可知，，数列单调递减.

对于A选项，且，，A选项错误；

对于B选项，且，则，B选项错误；

对于C选项，，，则，C选项正确；

对于D选项，，，则，D选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列和的单调性，考查推理能力，属于难题.

10.设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．

【详解】恒成立，

即为恒成立，

当时，可得的最小值，

由，

当且仅当取得最小值8，即有，则；

当时，可得的最大值，

由，

当且仅当取得最大值，即有，则，

综上可得．故选．

【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力．

二、填空题：

11.已知向量满足，则________，的上的投影等于________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

计算，得到，再根据投影公式计算得到答案.

【详解】，故；的上的投影等于.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了向量的运算，向量投影，意在考查学生的计算能力.

12.在中，，，所对的边为，，，点为边上的中点，已知，，，则______；______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

对于第一空，根据余弦定理的推论即可求出的值；对于第二空，利用向量法，两边平方可得即可求出结果.

【详解】由题意，

又因为，所以；

又，

两边平方可得

故答案为:，.

故答案为： ，.

【点睛】该题主要考查利用余弦定理解三角形，考查了平面向量在解三角形中的应用，考生务必掌握这些基本解题思路解决三角形问题，属于简单题目.

13.实数，满足不等式组，则的最小值是______，的最大值为______．

【答案】    (1).     (2). 21

【解析】

【分析】

画出不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义，确定出最优解，代入即可求解.

【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示（阴影部分，包含边界），

可得三个顶点坐标分别为，

又由，可看成平面区域内的点与圆的的连线的斜率，

结合图象，可得点与原点的连线的斜率最小，即的最小值为，

设目标函数，可化为，

当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，最小值为；

当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，最大值为；

所以目标函数的取值范围是，则

则的最大值为.

故答案为：，.

【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象确定出最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.

14.已知数列，，且，，，则______；设，则的最小值为______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据等差数列的定义得出的通项公式，由累加法得出的通项公式，进而得出，利用作商法证明数列单调性，即可得出最小值.

【详解】

数列为等差数列，即

累加得，则

即

当时，

当时，

，故

当时，数列为递增数列，

的最小值为

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了由定义求等差数列的通项公式，累加法求通项公式，确定数列的最小项，关键是利用作商法证明数列的单调性，属于较难题.

15.已知，求与的夹角.

【答案】

【解析】

【分析】

根据可求出，再根据求夹角，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，

即，所以，

因此，

所以与的夹角为.

【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.

16.不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为        ．

【答案】

【解析】

试题分析：∵，其最小值为2，又∵的最大值为1，故不等式| 恒成立，有，解得，故答案为

考点：1含绝对值不等式;2基本不等式．

17.已知平面向量、、满足：，，，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

分析】

由可得出，进而可得出，由此可解得的取值范围.

【详解】，，

，由，可得，

上述两个等式相加得，

，

，即，

，解得，因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量模的取值范围，建立不等式组是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.在中，内角所对的边分别是，已知.

（1）求的值；

（2）若，的面积为9，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由正弦定理，，得，；（2）由三角函数关系求得，由正弦定理得，结合面积公式，解得．

试题解析：

（1）由正弦定理，，得，则；

（2）由（1）知，，

.

由正弦定理，，，

因为

所以

19.等比数列中，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，分别为等差数列的第2项和第4项，试求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．

（2）由（1）可得等差数列第2项和第4项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．

【详解】（1）∵，，∴公比，∴

∴该等比数列的通项公式；

（2）设等差数列的公差为，则，∴，

∵，∴，

∴数列的前项和

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，等差数列的通项公式以及求和公式，属于简单题目.

20.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为.

(1)求的值;

(2)求的最小值.

【答案】(1);(2)

【解析】

【分析】

（1）建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由，，三点共线，即，列方程即可求出的值；
（2）由(1)得，由面积可得，利用基本不等式可得最小值.

【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，设，，

则，，

由得，

故，

由得，

所以，

因为，，三点共线，所以，

所以，

解得.

(2)由(1)得，

因为，

所以，

所以，

所以，当且仅当，时取得等号.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题.

21.在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A ；  

（2）求的取值范围．

【答案】（1） ；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理即可求解.

（2）由，以及两角和与差的公式，则sin2B+sin2C＝1sin（2B），

 再由，求出B即可求解.

【详解】（1）在锐角△ABC中，∵b＝3，a2＝c2﹣3c+9，

∴可得c2+b2﹣a2＝bc，

∴由余弦定理可得：cosA，

∴由A为锐角，可得A．

（2）∵sin2B+sin2C＝sin2B+sin2（B）＝sin2B+（cosBsinB）2＝1（sin2Bcos2B）＝1sin（2B），

又∵，可得B，

∴2B∈（，），

∴sin（2B）∈（，1]，

∴sin2B+sin2C＝1sin（2B）∈（，]，

即sin2B+sin2C的取值范围是（，]．

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形以及三角恒等变换两角和与差的公式，解题的关键是利用三角形的内角和求出的取值范围，此题属于中档题.

22.已知等差数列的公差不为零，且，、、成等比数列，数列满足

（1）求数列、的通项公式；

（2）求证：.

【答案】（1），，；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到，可令，求得，再将换为，相减可得；

（2）原不等式转化为，应用数学归纳法证明，注意检验时不等式成立，再假设时不等式成立，证明时，不等式也成立，注意运用分析法证明.

【详解】（1）等差数列的公差不为零，，可得，

、、成等比数列，可得，即，

解方程可得，则.

数列满足，可得，

当时，由，

可得，

相减可得，则，也适合，则，；

（2）证明：不等式即为

，

下面应用数学归纳法证明.

（i）当时，不等式的左边为，右边为，左边右边，不等式成立；

（ii）假设时，不等式成立，

当时，，

要证，

只要证，

即证，

即证，

由，可得上式成立，可得时，不等式也成立.

综上可得，对一切，，

故.

【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.