辽宁省沈阳市东北育才学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019-2020学年学校高一第二学期期中数学试卷

一、选择题

1.的值是（        ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式得到答案.

【详解】

故答案选A

点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题型.

2.已知向量，，若与的夹角为，则（    ）

A. 2 B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

分析】

先计算与的模，再根据向量数量积的性质即可计算求值.

【详解】因为，，

所以，.

又

，

所以，故选B.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.

3.△ABC的内角、、的对边分别为、、,若,,,则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知利用余弦定理可求值,利用等腰三角形的性质可求的值.

【详解】解：∵,,,

∴由余弦定理可得,

求得：c＝1.

∴

∴.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.

4.已知平面向量满足，若，则向量与的夹角为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用公式进行求解即可

【详解】

，解得，

答案选D

【点睛】本题考查形如向量模长的求法，主要根据进行求解，这也是高考中常考点

5.把函数的图象向左平移后，所得函数的解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知，可以根据函数图像的变换规律得出结论。

【详解】根据题意，把函数的图像向左平移后，所得到的函数的解析式为：

，

故选：A

【点睛】本题主要考查由的图像得到（其中）的图像的过程。

6.已知函数一条对称轴为直线，一个对称中心为点，则有（   ）

A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值1 D. 最大值1

【答案】A

【解析】

【分析】

将代入余弦函数对称轴方程，可以算出关于的一个方程，再将代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个关于的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案.

【详解】由满足余弦函数对称轴方程可知

，

再由满足对称中心方程可知

，综合可知的最小值为2，故选A.

【点睛】正弦函数的对称轴方程满足，对称中心满足；余弦函数的对称轴方程满足，对称中心满足；解题时一定要注意这个条件，缩小范围.

7.已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（    ）

A.  B. 10 C.  D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】

在上的投影（正射影的数量）为可知，可求出，求的最小值即可得出结果.

【详解】因为在上的投影（正射影的数量）为，

所以，

即，而，

所以，

因为

所以，即，故选D.

【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.

8.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出

【详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有

，所以，所以

，选C.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．

9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用面积公式，以及余弦定理对已知条件进行转化，再利用同角三角函数关系，将正余弦转化为正切，解方程即可求得.

【详解】△ABC中，∵S△ABC，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，

且 2S＝（a+b）2﹣c2，∴absinC＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），

整理得sinC﹣2cosC＝2，∴（sinC﹣2cosC）2＝4．

∴4，化简可得 3tan2C+4tanC＝0．

∵C∈（0，180°），∴tanC，

故选：C．

【点睛】本题考查余弦定理以及面积公式的使用，涉及同角三角函数关系，属基础题.

10.如图，已知是半径为1，圆心角为扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．

【详解】

作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．

则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2．

 又∵C1C2=

而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150°

∴==．

∴△ABC的周长的最小值为．

故选B．

【点睛】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．

11.函数f（x）＝cos（2x）的图象的一条对称轴方程为（    ）

A. x B. x C. xπ D. x

【答案】BC

【解析】

【分析】

由余弦函数的性质，令2xkπ，k∈Z，解得：x，k∈Z，讨论即可求解.

【详解】令2xkπ，k∈Z，则解得：x，k∈Z，

当k＝1时，x，当k＝2时，x.

故选：BC.

【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，还考查了函数思想和运算求解的能力，属于基础题.

12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC不可能为（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

【答案】BD

【解析】

【分析】

由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得B为钝角，进而可判断.

【详解】由正弦定理可得，，

整理可得，

所以

故

因为，所以，即B为钝角，

则△ABC为钝角三角形.

∴△ABC不可能为直角三角形或等边三角形.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，属于基础试题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.设向量，，若，则实数=___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可确定的值.

【详解】由题意可得：，即：，

据此有：.

故答案为：．

【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14.已知函数的部分图象如图所示，则_______，_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

由图像知道函数的半周期为，故周期为将函数零点代入得到

因为，故得到．

故答案为(1).     (2). ．

点睛：这个题目考查的是已知三角函数图像求解析式的问题．一般是通过图像可得到振幅，周期，进而得到w，根据图像的最值点或者零点求得函数中的角；有最值首选最值，无最值再选零点，零点分第一零点和第二零点，注意区分即可．

15._____

【答案】

【解析】

【分析】

利用三角函数公式化简,即可求出结果.

【详解】，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查运用三角函数公式化简求值，倍角公式的应用，考查运算求解能力.

16.△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC，BC＝3，则•的值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC.可得（），，代入，化简整理即可得出.

【详解】取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC，

（），，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了向量三角形与平行四边形法则、数量积运算性质、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用同角三角函数的基本关系把化简成为关于的式子即可得到答案；

（2）利用诱导公式化简原式，约分即可求解．

【详解】（1）由于，所以．

（2）原式．

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式的应用，属于基础题．

18.已知 是同一平面内的三个向量，其中.

（1）若，求 ；

（2）若与共线，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．

（2）根据向量共线的条件即可求出．

【详解】（1）因为

（2）由已知：

【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．

19.已知，，，，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

(1)由题意整理所给的三角函数式求得的值，然后结合角的范围即可确定的值；

(2)首先由同角三角函数基本关系求得的值，然后结合(1)中的结论和诱导公式、二倍角公式即可确定的值.

【详解】（1）.

因为，所以，所以，所以.

（2）因为，，所以，所以

.

【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，二倍角公式与诱导公式的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20.设的内角的对边分别为,且.

（1）求角的大小;

（2）若,求的周长.

【答案】（1） ； （2） .

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简得，即得结果，（2）由正弦定理得 ，再根据余弦定理解得，最后求周长.

【详解】（1）

由正弦定理得

在中，

，即；

（2） ，由正弦定理得

又

，

解得（负根舍去），  

的周长

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

21.已知函数.

（1）求的值；

（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1). (2)

【解析】

【分析】

（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，代入即可求得结果；（2）根据三角函数左右平移原则可得解析式，利用的范围求出的范围，结合正弦函数的图象可得的值域；由不等式恒成立可得、与最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果.

【详解】（1）

（2）

当时，  

即

又恒成立    ，解得：

实数的取值范围为：

【点睛】本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解；涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识；解决本题中恒成立问题的关键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果.

22.如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.

（1）当点分别时边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值；

（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）分别表示出和，根据公式得到的值，然后得到的值，从而得到的值；（2）设，表示出，表示出，再利用公式表示出，整理化简后得到定值，所以为定值，所以得到为定值.

【详解】（1）由题意可知，

所以，

由题意可知，所以，

所以.

（2）设，所以

在直角三角形中，

所以，

整理得

，

所以

将代入上式可得，

所以，

所以为定值.

【点睛】本题考查几何图形里正切的表示，两角和的正切公式，属于中档题.