安徽省池州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

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高一数学（文科）试卷

满分：150分考试时间：120分钟

一、选择题（60分）

1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.

【详解】根据图像可知，阴影部分表示，，所以.

故选：B

【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.

2.若，下列不等式一定成立的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.

【详解】若，，则，错误；

，则，错误；

，，则，错误；

，则等价于，成立，正确

本题正确选项：

【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.

3.在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是（    ）

A. 30 B. 35 C. 36 D. 42

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意总结规律可得该数列第项为，即可得解.

【详解】由题意可发现：，，，，

总结规律，该数列第项为，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了根据规律写出数列的某一项，考查了观察能力与推理能力，属于基础题.

4.不等式组表示的平面区域是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

结合二元一次不等式组表示平面区域，进行判断，即可求解，得到选项．

【详解】由题意，不等式表示在直线的下方及直线上，

不等式表示在直线的上方，所以对应的区域为，

故选B．

【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，其中解答中结合条件判断区域和对应直线的关系是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．

5.在中，给出下列关系式：

①②③

其中正确的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合三角形内角和、三角函数诱导公式逐项判断，即可得解.

【详解】在中，，

对于①，，故①正确；

对于②，，故②错误；

对于③，，故③正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用，关键是对于公式的准确识记，属于基础题.

6.记等差数列的前n项和为.若，则（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】

由可得值，可得可得答案.

【详解】解：由，可得，

所以，从而，

故选D.

【点睛】本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.

7.已知满足对，，且时，，则的值为

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得是周期为2的周期函数，则，结合函数的解析式分析可得答案.

【详解】根据题意，满足对，，则是周期为2的周期函数，

则，

故选：C.

【点睛】本题考查函数的周期性和对数的运算，注意分析函数的周期，属于基础题.

8.在中，已知三个内角A，B，C满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合正弦定理得，再由余弦定理即可得解.

【详解】由结合正弦定理可得，

设，则，，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

9.在中，已知、、分别是角、、的对边，若，则的形状为

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由，利用正弦定理可得，进而可得sin2A=sin2B，由此可得结论．

【详解】∵，

∴由正弦定理可得

∴sinAcosA=sinBcosB

∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A+2B=π

∴A=B或A+B=

∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形

故选D．

【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

10.若满足约束条件，则的最小值是（    ）

A. 0 B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.

11.已知数列的前项和为，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列的通项公式，最后求出，选出答案即可.

【详解】因为，所以当时，，两式相减化简得：，而，所以数列是以

为首项，为公比的等比数列，因此有，所以，故本题选A.

【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.

12.如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

通过题意可知：，设山高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.

【详解】由题意可知：.

在中，.

中，.

在中，由余弦定理可得：

（舍去），故本题选D.

【点睛】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.

二、填空题（20分）

13.已知，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

令可求得，代入即可求得结果.

【详解】令，则   

本题正确结果：

【点睛】本题考查函数值的求解，可采用整体对应法快速求解，属于基础题.

14.已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，若6、a、b、c、2成等差数列，则该三角形的面积为_________．

【答案】6

【解析】

【分析】

由题意结合等差数列的性质可得、、，由勾股定理逆定理可得三角形ABC为直角三角形，且为其斜边，即可得解.

【详解】6、a、b、c、2成等差数列，，，，

由可得三角形ABC为直角三角形，且为其斜边，

该三角形的面积.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对等差数列性质的熟练掌握，属于基础题.

15.若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据等差，等比数列的几何性质，可求得,，代入求值.

【详解】等差数列，

是等比数列，

，

，

.

故答案为.

【点睛】本题考查等差和等比数列的几何性质，意在考查基础知识的掌握水平，属于基础题型.

16.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记、、、、的长度构成数列，则______，____________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用勾股定理可得且，求出数列的通项公式，进而可得出的值.

【详解】在中，由勾股定理可得，即，可得，且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，

，，则.

故答案为：；.

【点睛】本题考查数列通项的求解，考查了等差数列通项公式的应用，根据题意得出数列的递推公式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题（70分）

17.已知不等式的解集为．

（1）求的值；

（2）若向量，，证明：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）首先根据题意得到的根为和，再利用韦达定理即可得到答案.

（2）首先求出的坐标，再计算即可证明.

【详解】（1）依题意知的根为和，

由韦达定理得，解得.

（2）因为，所以，

所以

所以.

【点睛】本题第一问考查根据一元二次不等式的解集求参数，第二问考查平面向量的数量积，同时考查了平面向量的垂直关系，属于简单题.

18.已知函数是定义在R上的奇函数（其中e是自然对数的底数）．

（1）求实数m的值；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据奇函数的性质得到即可求出实数的值.

（2）首先根据为奇函数得到，再根据函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）是定义在的奇函数，

，即.

（2）∵函数为奇函数，

所以..

又因为，都为上增函数，

所以在上单调递增，

，即，

.

【点睛】本题第一问考查根据函数的奇偶性求参数，第二问考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于简单题.

19.锐角的内角、、所对的边分别为、、，若.

（1）求；

（2）若，，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想，结合两角和的正弦公式可计算出的值，结合为锐角，可得出角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求出，利用余弦定理得出，由此可得出的周长.

【详解】（1）依据题设条件的特点，由正弦定理，

得，有，

从而，解得，为锐角，因此，；

（2），故，

由余弦定理，即，

，，

故的周长为．

【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查余弦定理和三角形面积公式解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形所适用的基本类型，同时在解题时充分利用边角互化思想，可以简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.

20.已知等比数列为递增数列，，，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用等比数列的下标性质，可以由，得到，通过解方程组，结合已知可以求出的值，这样可以求出公比，最后可以求出等比数列的通项公式，最后利用对数的运算性质可以求出数列的通项公式；

（2）利用错位相消法可以求出数列的前项和．

【详解】解（1）∵是等比数列

∴

又∵

由是递增数列解得，

且公比

∴

（2）

，两式相减得：

∴

【点睛】本题考查了等比数列下标的性质，考查了求等比数列通项公式，考查了对数运算的性质，考查了错位相消法，考查了数学运算能力.

21.在等差数列{}中，=3，其前项和为，等比数列{}的各项均为正数，=1，公比为q,且b2+ S2=12，．

（1）求与的通项公式；

（2）设数列{}满足，求{}的前n项和．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列{}中，=3，其前项和为，等比数列{}的各项均为正数，=1，公比为q,且b2+ S2=12，，设出基本元素，得到其通项公式；（2）由于，所以，那么利用裂项求和可以得到结论.

【详解】（1） 设：{}的公差为,

因为，所以，

解得=3或=-4（舍）,=3．

故，；

（2）因为

故

.

本题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和，以及数列求和的综合运用.

22.如图，在平面四边形中，，，的面积为．

（1）求AC的长；

（2）若，（），当的面积最大时，求BD的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；

（2）由（1）可得三角形的相关量，结合三角形的面积判断面积取最大值时即为最大时，AB最大，从而求得结果.

【详解】（1）∵，，的面积为

∴，

∴.

∴由余弦定理得

∴.

（2）由（1）知中，，，∴

∵，∴.

中，，所以只需AB最大即可.

最大时，AB最大，所以当时，面积最大.

此时，，连结BD，在中，，所以.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．