安徽省桐城市第八中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com桐城新八中2019~2020学年度第二学期期中考试

高一数学试卷

一､选择题：

1.不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

把分式不等式转化成整式不等式组求解即可.

【详解】解：不等式等价于, 解得或.

故选：B.

【点睛】本题考查了分式不等式求法，关键是成整式不等式或不等式组求解即可，属于基础题。

2.已知等差数列满足，则（    ）

A. 25 B. 15 C. 10 D. 20

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质求解.

【详解】由等差数列的性质得：

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.

3.下列说法正确的是（    ）

A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线

B. 棱柱的底面一定是平行四边形

C. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形

D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台

【答案】C

【解析】

分析】

根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断.

【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A不正确；

因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B不正确；

因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D不正确；

因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C正确.

故选：C

【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

4.若，，，则、、的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用幂函数和对数函数的单调性比较、、三个数与的大小关系，利用幂函数的单调性比较、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.

【详解】，即，

又，因此，.

故选：B.

【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数与幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.

5.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，，，则数列的公比为（    ）

A. 3 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设正项等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，进而得出公比的方程，即可求解.

【详解】设正项等比数列的公比为，

由，可得，因为，所以，

又因为，所以，

即，解得或，

又由，可得，所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式的应用，着重考查推理与计算能力.

6.若实数满足，则的最大值是（   ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案．

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

平移直线，当直线经过可行域上的顶点时，直线在轴上的截距取最大值，此时取最大值，即，故选D.

【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般通过作出可行域，平移直线，由直线在坐标轴上的截距的最值找出最优解来处理，考查数形结合数学思想，属于中等题．

7.在中,点D在线段上,,若(,),则（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】∵,

(,),所以.

又因为与不共线,所以且,所以,,所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,需要将所求的向量表达成所给的基底向量,属于基础题.

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图还原，可知几何体为一个大长方体去除一个小长方体，根据长方体体积的求解方法可求得结果.

【详解】由三视图可知，几何体为一个长为、宽为、高为的大长方体去除一个长为、宽为、高为的小长方体

该几何体体积

故选：

【点睛】本题考查几何体体积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体.

9.函数的图象大致为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.

【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.

故答案为D.

【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.

10.在边长为3的菱形中，，，则=（    ）

A.  B. -1

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.

【详解】

.

故选:C.

【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.

11.若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度所得图象过点，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出平移变换后的函数解析式为，将点代入函数的解析式，可得出关于的表达式，即可求得正数的最小值.

【详解】函数 的图象沿轴向右平移个单位长度得到函的图象.

由于函数的图象经过点，所以，

所以，解得，

又因为，当时，取最小值.

故选：D.

【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的对称中心求参数的最值，考查计算能力，属于中等题.

12.将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律,第10行从左向右的第2个数为（    ）

A. 47 B. 36 C. 45 D. 68

【答案】A

【解析】

【分析】

先分析前9行的数字个数,再分析第10行的从左向右的第2个数即可.

【详解】从第一行算起,每行的最后一个数依次组成数列,,,…,可以发现,,,…,,第9行最后的一个数为,第10行从左向右的第2个数为47.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了数列在数与式中的推理问题,包括等差数列的通项与求和等.属于基础题.

二､填空题

13.已知函数，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式求得和的值，相加可得出结果.

【详解】，，，因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.

14.已知向量.若与共线，则在方向上的投影为 ________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用共线向量的坐标表示求出参数，再依据投影的概念求出结果即可．

【详解】∵∴.

又∵与共线，∴，∴，∴，

∴在方向上的投影为.

【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．

15.若正实数x，y满足，则的最小值为________.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据题意将转化成，然后用基本不等式求解即可.

【详解】由x，y均为正实数，，所以可得

，

当且仅当，即，时，等号成立.

故答案：8

【点睛】本题主要考查基本不等式在最值问题中的的应用，基本不等式要把握好“一正，二定，三相等”的原则.

16.如图，海岸线上有相距10海里两座灯塔A､B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西方向，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西方向，与B相距10海里的C处，则甲､乙两船相距________海里.

【答案】

【解析】

【分析】

连接AC，∵，，∴，在△ACD中，，，，由余弦定理得的长度.

【详解】连接，在中，，，，

则，在中，，，

甲船位于灯塔A的北偏西方向, 与A相距海里的D处

，

由余弦定理，得

，

所以.

【点睛】本题考查用余弦定理解三角形，考查方位角的概念，属于基础题.

三､解答题

17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且.

（1）求c；

（2）求角A的大小.

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

（1）根据，且，由正弦定理得到求解.

（2）根据，和（1）的结论，由余弦定理求解.

【详解】（1）由正弦定理，得，

则，

所以.

（2）由余弦定理，得，

又因为，

所以.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.已知数列的前n项和为，且().

（1）求的最小值；

（2）求数列的前20项和.

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

(1)根据二次函数的最值问题求解即可.

(2)利用前n项和与通项的关系求解得，进而分析可得数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正，进而去绝对值求和即可.

【详解】（1），

又，所以当或时，取得最小值，且最小值为.

（2）当时，，

所以.

当时，满足上式，

所以.

由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正.

所以数列的前20项和为.

【点睛】本题主要考查了先负再正的等差数列的前n项和的最小值问题与前n项和，需要根据前n项和与通项的关系求解得，再分正负去绝对值求和.属于中档题.

19.已知向量，.

（1）若，求实数x的值；

（2）若，求与的夹角.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）求出向量与的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得；

（2）求出向量与的坐标，由向量夹角的坐标运算计算．

【详解】（1）因为，，

所以，.

因为，

所以，

解得.

（2）当时，，，

所以，

，.

设与的夹角为.

则.

又，所以，即与的夹角为.

【点睛】本题考查向量模坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．

20.已知函数的图象的一部分如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最值.

【答案】（1）；（2）最小值；最大值.

【解析】

【分析】

（1）由函数的图象，求得，，得到，再由，求得，即可得到函数的解析式；

（2）化简得到函数，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由函数的图象，

可得，，即，所以，可得，

又因为，即，可得，

又由，所以，

所以函数的解析式为.

（2）由题意，函数

.

因为，所以，

所以当，即时，取最小值；

当，即时，取最大值.

【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

21.已知数列满足，且（，且）.

（1）为何值时，数列是等比数列；

（2）若数列是等比数列，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设，可得出对于恒成立，进而可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；

（2）由（1）可知数列是公比为的等比数列，确定该数列的首项，求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项和.

【详解】（1）若数列是等比数列，则（为非零常数）.

即，对于恒成立，所以，解得.

所以时，数列是等比数列；

（2）由（1）可知，数列是公比为的等比数列，且首项为，

所以，，则，

所以.

【点睛】本题考查利用等比数列的定义求参数，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于中等题.

22.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D是边上的一点.

（1）求的值；

（2）若，，，，求λ的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由正弦定理，得到，进而可求出结果；

（2）先由余弦定理，根据题中条件，求出，得到是等腰三角形，再由余弦定理求出，可得，进而可求出结果.

【详解】（1）由，得，即，

由正弦定理，得.

因为，所以.

（2）在中，由余弦定理，

得，即，即，

所以是等腰三角形，，

在中，由余弦定理，得，

即，

化简，得，

解得，(舍).

又，所以，

即，

所以的值为2.

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.