北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形课时练习

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2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）
5．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，填空∠B＝ °，∠C＝ °；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ °，∠C＝ °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
7．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
8．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD＝AB；
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．
9．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
11．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD＝DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
12．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
14．已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
15．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
16．图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；
如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗？说明理由；
如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？
说明理由．
17．在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC＝AE，AD、BE交于点F，
（1）请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论；
（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论．
18．如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．
（ I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
19．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．
（1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；
（2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
21．如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
22．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；
（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．
参考答案
1．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
2．（1）证明：连接BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
3．（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE＝．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．
（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
4．解：（1）∵DF⊥AC，BG⊥AC，
∴DF∥BG，
∵D是BC的中点，
∴DF＝BG＝．
连接AD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝．
∴DE+DF＝．
∴DE+DF＝BG．
（2）延长FD，使FM＝BG，
∵DF⊥AC，BG⊥AC，
∴四边形BMFG是矩形，
∴BG＝MF，
∵∠EDB+∠ABD＝90°，∠FDC+∠C＝90°，∠ABC＝∠C，
∴∠EDB＝∠FDC，
∵∠FDC＝∠BDM，
∴∠EDB＝∠BDM．
∵∠BED＝∠BMD，BD＝BD，
∴△EBD≌△MBD，
∴ED＝MD．
∴BG＝DE+DF．
（3）BG＝DE﹣DF．
5．解：（1）∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，
故答案为：36；72；
（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，
∴∠BAD＝36°，
在△ACD中，∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝72°，
∴∠CAD＝36°，
∴∠BAD＝∠CAD＝36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
∴∠AEN＝∠ANE＝54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD＝BN+CE．
证明：由①知AN＝AE，
又∵BA＝BC，DB＝AC，
∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，
∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，
即CD＝BN+CE．
6．解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
8．证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD．
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC＝DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+CD＝DB+CD＝BC＝AB，即CE+CD＝AB；
（2）CE+AB＝CD．
理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE．
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC＝DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+AB＝DB+BC＝CD，即CE+AB＝CD．
9．证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
10．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠BDE＝45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°．
∴∠BFD＝45°＝∠BDE．
∴BF＝DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
即BF＝CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF＝∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°．
即AD⊥CF．
（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵CF＝AD，
∴CF＝AF，
∴△ACF是等腰三角形．
11．（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
12．解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
3﹣t＝t，t＝2（秒）．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
13．（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝2（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
14．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
15．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图2，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得t＝；
如图3，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得t＝．
综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
16．解：（1）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝BC，
又∵∠ACN＝∠MCN+60°，∠MCB＝∠MCN+60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN＝BM．
（2）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝BC，
∵C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，
∴点M，C，N这三点共线，
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN＝BM．
（3）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝BC，
又∵∠ACN＝∠MCN+60°，∠MCB＝∠MCN+60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN＝BM．
17．解：（1）∠BFD＝60°
在三角形ABE与三角形CDA中，AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD，
∴△AEB≌△CDA．
∴∠AEB＝∠CDA，
又∠DAC+∠ADC＝180°﹣∠C＝120°，
∴∠AEB+∠DAC＝120°，
∴∠AFE＝∠BFD＝60°
（2）∵∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAB＝∠ACD＝120°，
在△ABE和△ACD中，
△ABE≌△ACD，
∴∠E＝∠D，
∵∠EAF＝∠CAD，∠CAD+∠D＝60°，
∴∠EAF+∠E＝60°，
∴∠BFD＝60°．
18．解：（1）MN＝BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE＝BM（或延长AB至E，使得BE＝CN），并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，
又BD＝DC，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
在△MBD与△ECD中，
∵，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD＝DE，∠BDM＝∠EDC，
∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠NDC＝60°，
∴∠NDC+∠EDC＝60°，即∠NDE＝60°，
∴∠MDN＝∠NDE，
∵MD＝DE，DN＝DN，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN＝NE＝NC+CE＝NC+BM．
（2）按要求作出图形，（1）中结论不成立，应为MN＝NC﹣BM．
在CA上截取CE＝BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠CBD＝30°，
∴∠MBD＝∠DCE＝90°，
在△BMD和△CED中
∵，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴MD＝DE，∠BDM＝∠EDC，
∵∠BDC＝120°，即∠BDE+∠EDC＝120°，
∴∠BDE+∠BDM＝120°，即∠MDE＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠NDE＝60°，
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
∵，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE＝NC﹣CE＝NC﹣BM．
19．解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC
∴BC•AM＝AB•PD+AC•PF
即 BC•h＝AB•h1+AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC＝AB＝AC，
∴h＝h1+h2；
（2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下：
如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC•AM＝AB•PD+AC•PE+BC•PF
即BC•h＝AB•h1+AC•h2+BC•h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC．
∴h＝h1+h2+h3；
点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3．
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，
即BC•AM＝AB•PD+AC•PE﹣BC•PF，
∵AB＝BC＝AC，
∴h1+h2﹣h3＝h，
即h1+h2﹣h3＝h．
20．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
21．解：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．
理由是：
∵AB＝AC＝BC＝6cm，∴当点Q到达点C时，BP＝3cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA（等边三角形三线合一的性质）．
（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP＝PQ＝BQ，
∴6﹣t＝2t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△BPQ是个等边三角形．
22．解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
23．（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵EG⊥BC，
∴∠CEG＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°，
∵∠A＝50°，∠D＝30°，
∴∠CEF＝∠A+∠D＝50°+30°＝80°，
∴∠GEF＝∠CEF﹣∠CEG＝80°﹣25°＝55°；
（2）证明：过点E作EH∥AB交BC于H，
则∠ABC＝∠EHC，∠D＝∠FEH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EHC＝∠C，
∴EC＝EH，
∵BD＝CE，
∴BD＝EH，
在△BDF和△HEF中，
，
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴BF＝FH，
又∵EC＝EH，EG⊥BC，
∴CG＝HG，
∴FG＝FH+HG＝BF+CG．