专题12 函数的表示法-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题12 函数的表示法
题组1 函数的表示法
1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是（　　）

A.[2，5]
B.{2，3，4，5}
C.（0，20]
D.N
【答案】B
2.若关于x的方程f（x）－2＝0在（－∞，0）内有解，则y＝f（x）的图象可以是（　　）

A.选项A
B.选项B
C.选项C
D.选项D
【答案】D
【解析】因为关于x的方程f（x）－2＝0在（－∞，0）内有解，
所以函数y＝f（x）与y＝2的图象在（－∞，0）内有交点，观察图象可知只有D中图象满足要求.
3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
【答案】D
【解析】从图中的直线看出：v甲＞v乙，s甲＝s乙，
甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲比乙先到达.
故选D.
4.已知函数f（x）满足：f（）＝8x2－2x－1，则f（x）等于（　　）
A.2x4＋3x2
B.2x4－3x2
C.4x4＋x2
D.4x4－x2
【答案】A
【解析】令t＝，得x＝，
故有f（t）＝8×－2×－1，
整理得f（t）＝2t4＋3t2，
即f（x）＝2x4＋3x2.
故选A.
5.已知f（x＋1）＝2x2＋1，则f（x－1）＝____________.
【答案】2x2－8x＋9
【解析】设x＋1＝t，则x＝t－1，
f（t）＝2（t－1）2＋1＝2t2－4t＋3，
f（x－1）＝2（x－1）2－4（x－1）＋3
＝2x2－4x＋2－4x＋4＋3
＝2x2－8x＋9.
故答案为2x2－8x＋9.
6.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件.
（1）写出函数y关于x的解析式；
（2）用列表法表示此函数，并画出图象.
【答案】（1）将代入y＝ax＋中，
得⇒⇒
所以所求函数解析式为y＝x＋（x∈N，0 （2）当x∈{1，2，3，4，5，…，20}时，列表：

依据上表，画出函数y的图象如图所示.

题组2 求函数的解析式
7.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，1），且过（2，2）点，则该二次函数的解析式为（　　）
A.y＝x2－1
B.y＝－（x－1）2＋1
C.y＝（x－1）2＋1
D.y＝（x－1）2－1
【答案】C
【解析】设二次函数为y＝a（x－1）2＋1，将（2，2）代入上式，得a＝1.所以y＝（x－1）2＋1.
8.如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x＝1对称，并过点（0，0），则此二次函数的解析式为（　　）
A.f（x）＝x2－1
B.f（x）＝－（x－1）2＋1
C.f（x）＝（x－1）2＋1
D.f（x）＝（x－1）2－1
【答案】D
【解析】根据已知选项可设f（x）＝（x－1）2＋c.由于点（0，0）在二次函数的图象上，∴f（0）＝（0－1）2＋c＝1＋c＝0，∴c＝－1，∴f（x）＝（x－1）2－1.
9.已知f（x－1）＝x2，则f（x）的解析式为（　　）
A.f（x）＝x2－2x－1
B.f（x）＝x2－2x＋1
C.f（x）＝x2＋2x－1
D.f（x）＝x2＋2x＋1
【答案】D
【解析】令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f（t）＝（t＋1）2＝t2＋2t＋1，即f（x）＝x2＋2x＋1.
20.若f（x）对于任意实数x恒有2f（x）－f（－x）＝3x＋1，则f（x）等于（　　）
A.x－1
B.x＋1
C.2x＋1
D.3x＋3
【答案】B
【解析】∵2f（x）－f（－x）＝3x＋1，①
将①中x换为－x，则有
2f（－x）－f（x）＝－3x＋1，②
①×2＋②得3f（x）＝3x＋3，
∴f（x）＝x＋1.
21.已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈（0，＋∞）时，有f（x）＝，则当x∈（－∞，－2）时，f（x）的解析式为（　　）
A.f（x）＝－
B.f（x）＝－
C.f（x）＝
D.f（x）＝－
【答案】D
【解析】设x<－2，则－x－2>0，由函数y＝f（x）的图象关于x＝－1对称，得f（x）＝f（－x－2）＝，所以f（x）＝－.
22.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（　　）
A.y＝[]
B.y＝[]
C.y＝[]
D.y＝[]
【答案】B
【解析】当x＝56时，y＝5，排除C，D；当x＝57时，y＝6，排除A.∴只有B正确.
23.若函数f（x）满足f（3x＋2）＝9x＋8，则f（x）的解析式是________.
【答案】f（x）＝3x＋2
【解析】令3x＋2＝t，则3x＝t－2，
故f（t）＝3（t－2）＋8＝3t＋2.
24.已知函数f（x）＝x2＋（a＋1）x＋b满足f（3）＝3，且f（x）≥x恒成立，求f（x）的解析式.
【答案】由f（3）＝3，得b＝－3a－9.
由f（x）≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝（a＋6）2≤0，
所以a＝－6，b＝9.
所以f（x）＝x2－5x＋9.
25.根据下列条件，求f（x）的解析式：2f（）＋f（x）＝x（x≠0）.
【答案】∵f（x）＋2f（）＝x，将原式中的x与互换，得f（）＋2f（x）＝.
于是得关于f（x）的方程组
解得f（x）＝－（x≠0）.
26.如果函数f（x）满足af（x）＋f＝ax，x≠0，a为常数，a≠1且a≠－1，求f（x）.
【答案】因为af（x）＋f（）＝ax，
将x换成得af（）＋f（x）＝a·，
由两式消去f，得（a2－1）f（x）＝a2x－，
由a≠1且a≠－1，得f（x）＝，
所以f（x）＝（x∈R且x≠0）.
27.（1）已知函数f（x）＝x2，g（x）为一次函数，且一次项系数大于0，若f（g（x））＝4x2－20x＋25，求g（x）的解析式.
（2）求满足f（）＝－1的函数f（x）.
（3）已知f（x）满足3f（x）＋2f（－x）＝4x，求f（x）的解析式.
【答案】（1）因为g（x）为一次函数，且一次项系数大于0，所以设g（x）＝ax＋b（a＞0）.
因为f（x）＝x2，f（g（x））＝4x2－20x＋25，
所以（ax＋b）2＝4x2－20x＋25，
即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25（a＞0），
解得a＝2，b＝－5，
所以g（x）＝2x－5.
（2）令t＝1＋（x≠0），则x＝（t≠1），
所以f（t）＝（t－1）2－1＝t2－2t（t≠1），
所以f（x）＝x2－2x（x≠1）.
（3）由题意得3f（x）＋2f（－x）＝4x，①
用－x代替x，得3f（－x）＋2f（x）＝－4x，②
①×3－②×2，得5f（x）＝20x，
所以f（x）＝4x.
28.求下列函数解析式.
已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）；
【答案】设f（x）＝ax＋b（a≠0），
则3f（x＋1）－2f（x－1）
＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f（x）＝2x＋7.
29.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x－1）＝f（3－x），且方程f（x）＝2x有两等根.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值.
【答案】（1）∵方程f（x）＝2x有两等根，
即ax2＋（b－2）x＝0有两等根，
∴Δ＝（b－2）2＝0，解得b＝2.
由f（x－1）＝f（3－x），得＝1，
∴x＝1是函数图象的对称轴，
而此函数图象的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f（x）＝－x2＋2x.
（2）∵函数f（x）＝－x2＋2x的图象的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当t≤1时，f（x）在[0，t]上是增函数，
∴f（x）max＝－t2＋2t.
当t>1时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f（a）max＝f（1）＝1.
综上，f（x）max＝
30.已知二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.
（1）求解析式f（x）；
（2）当x∈[－1，1]时，函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
【答案】（1）由f（x＋1）－f（x）＝2x，
令x＝0，得f（1）＝1；令x＝－1，得f（－1）＝3.
设f（x）＝ax2＋bx＋c，故解得
故f（x）的解析式为f（x）＝x2－x＋1.
（2）因为y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立.即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]恒成立.所以令g（x）＝x2－3x＋1＝（x－）2－，故g（x）在[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1 ，所以m<－1 .
31.已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x2＋x）＝f（x）－x2＋x.
（1）若f（2）＝3，求f（1）的值；又若f（0）＝a，求f（a）的值；
（2）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）＝x0，求函数f（x）的解析式.
【答案】（1）∵对任意x∈R，
有f（f（x）－x2＋x）＝f（x）－x2＋x，
∴f（f（2）－22＋2）＝f（2）－22＋2.
又由f（2）＝3，得f（3－22＋2）＝3－22＋2，即f（1）＝1.
若f（0）＝a，则f（a－02＋0）＝a－02＋0，即f（a）＝a.
（2）∵对任意f（f（x）－x2＋x）＝f（x）－x2＋x，
又∵有且只有一个实数x0，使得f（x0）＝x0，
∴对任意x∈R，有f（x）－x2＋x＝x0.
在上式中令x＝x0，得f（x0）－＋x0＝x0.
又∵f（x0）＝x0，∴x0－＝0，故x0＝0或x0＝1.
若x0＝0，则f（x）－x2＋x＝0，即f（x）＝x2－x.
但方程x2－x＝x有两个不同的实根，与题设条件矛盾，
故x0≠0.
若x0＝1，则f（x）－x2＋x＝1，即f（x）＝x2－x＋1.
易验证该函数满足题设条件.
综上可知，所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1（x∈R）.
32.如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.

（1）求y＝f（x）的解析式及定义域；
（2）求△APM面积的最大值及此时点P位置.

【答案】（1）根据题意得f（x）＝
f（x）的定义域为（0，1）∪[1，2）∪[2，）＝（0，）.
（2）易知f（x）在（0，1）上为增函数，在[1，）上为减函数，
∴当x＝1时，f（x）max＝－＝.
33.某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次.
（1）若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；
（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数.
【答案】（1）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b（k≠0），当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b，10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，∴y＝－2x＋24.
依题意有
解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}.
（2）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x（－2x＋24）＝－2x2＋24x＝－2（x－6）2＋72，x∈[0，12]且x∈N.所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920.
故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.

题组3 函数图像
34.给下图的容器甲均匀地注入水时，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系（　　）

A.B.C.D.
【答案】B
【解析】容器下端较窄，上端较宽，当均匀地注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，四个图象中只有B项符合特点.
35.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是（　　）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】B
【解析】由题意可知在0点到3点这段时间，每小时蓄水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错.
36.图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S＝S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（　　）

A.B.C.D.
【答案】C
【解析】根据图象可知在[0，1]上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；
在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，
而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度，
故选C.
37.如图，正方形ABCD的顶点A（0，），B（，0），顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两个部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数S＝f（t）的图象大致是（　　）

A.B.C.D.
【答案】C
【解析】当0≤t≤时，S（t）＝×t×2t＝t2；当＜t≤时，S（t）＝1－×（－t）×2（－t）＝－（t－）2＋1.故选C.
38.设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的为（　　）

A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
【答案】C
【解析】①的定义域不是M；④不是函数.
39.函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）·g（x）的图象可能是（　　）

A.B.C.D.
【答案】A
【解析】函数y＝f（x）·g（x）的定义域是函数y＝f（x）与y＝g（x）的定义域的交集（－∞，0）∪（0，＋∞），图象不经过坐标原点，故可以排除C、D，由题干中图象知函数y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，所以y＝f（x）·g（x）是奇函数，故选A.
40.设f（x）＝x2，在同一坐标系中画出：
（1）y＝f（x），y＝f（x＋1）和y＝f（x－1）的图象，并观察三个函数图象的关系；
（2）y＝f（x），y＝f（x）＋1和y＝f（x）－1的图象，并观察三个函数图象的关系.
【答案】解　（1）如图　　　　　　　　　　　（2）如图

观察图象得：y＝f（x＋1）的图象可由y＝f（x）的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f（x－1）的图象可由y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度得到；y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f（x）－1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到.
41.画出y＝（x＋1）2与y＝x2－1的大致图象，并说明这两个图象可由y＝x2的图象经过怎样的变换得到.
【答案】如图所示，在同一平面直角坐标系下，画出y＝x2，y＝（x＋1）2及y＝x2－1的大致图象.

观察图象可知y＝（x＋1）2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到，y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到.
42.画出函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；
（2）若x1 （3）求函数f（x）的值域.
【答案】因为函数f（x）＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：

连线，描点，得函数图象如图：

（1）根据图象，容易发现f（0）＝3，f（1）＝4，f（3）＝0，
所以f（3） （2）根据图象，容易发现当x1 有f（x1） （3）根据图象，可以看出函数的图象是以（1，4）为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为（－∞，4].