2022年全国各地自招数学好题汇编之专题21 三角形（word版含答案）

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专题21 三角形
一．选择题（共10小题）
1．（2021•黄州区校级自主招生）直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．70°
2．（2020•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
3．（2020•西安自主招生）已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（　　）
A．110° B．70° C．55° D．70°或55°
4．（2019•柯桥区自主招生）平面上任意一点到边长为的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（　　）
A．3 B．6 C．4 D．8
5．（2019•霞山区校级自主招生）如图，△ABC中，AD为BC边上中线，DM，DN分别∠ADB，∠ADC的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系（　　）

A．BM+CN＝MN B．BM+CN＜MN C．BM+CN＞MN D．无法确定
6．（2019•汉阳区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1，h2，h3且满足h2+h3﹣h1＝18，那么等边△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．
7．（2019•顺庆区校级自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（　　）条．
A．5 B．7 C．9 D．10
8．（2019•武侯区校级自主招生）若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为（　　）
A．31个 B．32个 C．33个 D．34个
9．（2019•西湖区校级自主招生）已知a，b，c是△ABC的三条边长，则（a﹣b）2﹣c2的值是（　　）
A．正数 B．0 C．负数 D．无法确定
10．（2019•锦江区校级自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜ B． C． D．
二．填空题（共12小题）
11．（2021秋•余杭区月考）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是　 　．

12．（2020•西安自主招生）如图：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．则∠B＝　 　．

13．（2020•浙江自主招生）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC＝　 　．
14．（2020•浙江自主招生）设锐角△ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为　 　．
15．（2020•温江区校级自主招生）如图，若△OAC≌△OBD，且∠O＝68°，∠C＝20°，则∠OBD＝　 　°．

16．（2019•和平区校级自主招生）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是　 　．

17．（2019•徐汇区校级自主招生）求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为　 　个．
18．（2019•宝山区校级自主招生）设△ABC的三边a，b，c均为正整数，且a+b+c＝40，当乘积abc最大时，△ABC的面积为　 　．
19．（2018•武昌区校级自主招生）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为　 　．
20．（2018•市北区校级自主招生）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n≥3）．当an＝132时，n的值为　 　．

21．（2018•武侯区校级自主招生）如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝62°，则∠AEB的度数是　 　．

22．（2018•涪城区校级自主招生）如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为　 　．

三．解答题（共6小题）
23．（2017•渝中区校级自主招生）如图1，在等边△ABC中，AE⊥BC于点E，点D是AC的中点．延长AC至点P，使得DP＝AE．过点P作BC延长线的垂线，垂足为M，连接DM，过点D作DQ⊥DM交AE于点Q．
（1）求证：QE＝CM；
（2）如图2，连接QM，与AC交于点F，请猜想QF与AB之间的数量关系，并说明理由．

24．（2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

25．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．

26．（2020•南安市校级自主招生）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．

27．（2019•南岸区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝BC，两条高AD，BE交于点P过点E作EG⊥AB，垂足
为G，交AD于点F，过点F作FH∥AB，交BC于点H，交BE交于点Q，连接DE．
（1）若AD＝12，CD＝5，求DE的长．
（2）若∠ABC＝45°，求证：BE＝（1+）BQ．

28．（2018•即墨区自主招生）如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝45°，BE⊥CD于E，BE与AC交于F．
（1）求证：CF＝2BO；
（2）若DE＝1，求CF•FO的值．


专题21 三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：作CE∥a．

∵a∥b，
∴CE∥b，
∴∠2＝∠ACE，∠1＝∠ECB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∵∠1＝10°，
∴∠2＝50°，
故选：C．
2．【解答】解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．

3．【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°，
则底角为：（180°﹣70°）×＝55°，
∴底角为70°或55°．
故选：D．
4．【解答】解：如图，当点P为等边△ABC的中心时，PA+PB+PC＝6最小，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PD，
∵AP＝AD，∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴∠APD＝∠ADP＝60°，PD＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∵点P为等边△ABC的中心，
∴PA＝PB＝PC，
∴△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），
∴∠APB＝∠APC＝120°，
由旋转得：∠ADE＝∠APC＝120°，
∴∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝180°，
∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此时PA+PB+PC最小，
∵∠ABP＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AHB＝90°，
∴AH＝AC＝，
∴BH＝AH•tan∠BAC＝•tan60°＝3，
∵AE＝AC＝AB＝2，AH⊥BE，
∴BE＝2BH＝6，
在平面内任取一点P′，连接P′A，P′B，P′C，将△P′AC绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
连接P′D′，
∵BP′，P′D′，D′E不在同一条直线上，
∴BP′+P′D′+D′E＞PA+PB+PC＝6，
∵（3）2＝27，62＝36，27＜36，
∴3＜6，
故选：A．

5．【解答】解：延长ND至P，使DP＝ND，连接MP、BP，如图：
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
又∵∠BDP＝∠CDN，
∴△BDP≌△CDN（SAS），
∴BP＝CN，
∵DM，DN分别∠ADB，∠ADC的角平分线，∠ADB+ADC＝180°，
∴∠ADM+∠ADN＝×180°＝90°，
∴MD⊥PN，
∵DP＝DN，
∴MN＝MP，
∵BM+BP＞MP，
∴BM+CN＞MN，
故选：C．

6．【解答】解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，
则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC＝S△ABC，
从而ah3+ah2﹣ah1＝a2，
即a（h3+h2﹣h1）＝a2，
∵（h3+h2﹣h1）＝18，
∴a＝12，
∴S△ABC＝a2＝108．
故选：C．

7．【解答】解：如图：

∴最多画9条，
故选：C．
8．【解答】解：根据题意得三角形的三边都小于20，
设最小的两边为x≤y≤19，x+y＞20
当x＝2时，y＝19，
当x＝3时，y＝18，
当x＝4时，y＝17，18，
当x＝5时，y＝16，17，
当x＝6时，y＝15，16，17，
当x＝7时，y＝14，15，16，
当x＝8时，y＝13，14，15，16，
当x＝9时，y＝12，13，14，15，
当x＝10时，y＝11，12，13，14，15，
当x＝11时，y＝11，12，13，14，
当x＝12时，y＝12，13，14，
当x＝13时，y＝13，
符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1＝33，
故选：C．
9．【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），
∵a+c＞b，b+c＞a，
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2＜0．
故选：C．
10．【解答】解：首先要能组成三角形，易得 1＜x＜5
下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的情况．
3为斜边时，由勾股定理，22+x2＝32，得x＝√5 作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5 时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；
x 为斜边时，由勾股定理，22+32＝x2，得x＝√13，同样作图可得 当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．
综上可知，当√5＜x＜√13 时，原三角形为锐角三角形．
故选：B．
二．填空题（共12小题）
11．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故答案为：γ＝2α+β．

12．【解答】解：延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图所示：

∵AB+AC＝BE，
∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，
∴∠F＝∠BEF＝，
∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（9°+90°）＝81°，
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△AFE和△ACE中，
∵，
∴△AFE≌△ACE（SAS），
∴∠F＝∠ACE，
又∵∠ACE为△ABC的外角，
∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+18°，
∴∠F＝∠B+18°，
∴∠B+18°＝，
则∠B＝48°．
故答案为：48°
13．【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，
则有∠AEC＝∠BEC＝90°，
∵∠CAB＝45°，∠B＝30°，
∴∠ACE＝∠CAB＝45°，∠BCE＝60°，
∴AE＝CE，
∵AD为三角形的中线，
∴BD＝CD＝DE＝BC，
∴∠BED＝30°，
∴△CED是等边三角形，
∴DE＝CE＝AE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠BED＝15°，
∴∠ADC＝∠CDE﹣∠ADE＝45°．
故答案为：45°．

14．【解答】解：如图，设锐角△ABC最小的∠B的度数为x，
则AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝x，
∴∠ADC＝2x，
若AD＝AC，
∴∠ACB＝2x，
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠C＜90°，∠B+∠C＞90°，
∴，
∴30°＜x＜45°；
若CD＝AC，
∴∠DAC＝∠ADC＝2x，
∴∠BAC＝3x，
∴∠BAC＜90°，∠C＜90°，
∴∠DAC+∠ADC＞90°，
∴，
∴22.5°＜x＜30°，
若CD＝AD，
∴∠DAC＝∠DCA＝90°﹣x，
∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝x+90°﹣x＝90°，
不合题意，
故△ABC的最小内角的取值范围为30°＜x＜45°或22.5°＜x＜30°，
故答案为30°＜x＜45°或22.5°＜x＜30°．

15．【解答】解：∵△OAC≌△OBD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠O＝68°，∠C＝20°，
∴∠OAC＝∠OBD＝180°﹣20°﹣68°＝92°．
故答案为：92．
16．【解答】解：观察图形并分析数据可知：
第1个三角形数：3＝1+2，
第2个三角形数：6＝1+2+3，
第3个三角形数：10＝1+2+3+4，
第4个三角形数：15＝1+2+3+4+5，
……
那么，第6个三角形数就是1+2+3+4+5+6+7＝28．
故答案为：28．
17．【解答】解：设较小的两边长为x、y且x≤y，
则x≤y＜16，x、y∈N*．
当x＝1时，y＝1～15，三角形有15个；
当x＝2时，y＝2～15，三角形有27个；
当x＝3时，y＝3～15，三角形有36个；
当x＝4时，y＝4～15，三角形有42个；
当x＝5时，y＝5～15，三角形有45个；
当x＝6时，y＝6～15，三角形有45个；
当x＝7时，y＝7～15，三角形有42个；
…
当x＝15时，y＝15，三角形有1个．
所以不同三角形的个数为15+27+36+42+45+45+42+36+28+21+15+10+6+3+1＝372．
故答案为：372．
18．【解答】解：∵三角形的三边a、b、c均为整数，且a+b+c＝40，
∴当a＝10时，b＝c＝15，abc＝2250，
当a＝11时，b、c为14、15，abc＝2310，
当a＝12时，b、c为13、15或14、14，abc＝2340或2358，
当a＝13时，b、c为13、14，abc＝2366，
当a＝16时，b、c为12、12，或11，13，abc＝2304或2288，
∴当a＝13时，b、c为13、14，abc最大，
∴△ABC是等腰三角形，
∴△ABC的面积＝14，
故答案为：14．
19．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7．
故答案为7或8．
20．【解答】解：由图可知a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝5×6＝30，…an＝n（n+1），
可得：n（n+1）＝132，
解得：n＝11，
故答案为：11．
21．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝62°，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，
∴∠BCD＝∠ACE，△ACE≌△BCD，
∴∠DBC＝∠CAE，
∴62°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，
∴62°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣58°＝122°．
故答案为：122°．

22．【解答】解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分线，
可得∠ADB＝∠GDB＝90°，∠ABD＝∠GBD，BD为公共边，
∴△ADB≌△GDB，∴AB＝GB，
∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线，
同理可证；AC＝FC，
即△ABG和△ACF都是等腰三角形．
又因AG⊥BD，AF⊥CE，所以E、D分别是AF和AG的中点，
即ED是△AFG的中位线，∴FG＝2DE，
则△ABC的周长为：AB+BC+AC＝BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG
由BF＝2，ED＝3，GC＝4，FG＝2DE＝6得则△ABC的周长为30．
故答案为：30
三．解答题（共6小题）
23．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，
∴BD⊥AC，
∴∠BDN+∠CDN＝90°，
∵DN⊥DM，
∴∠CDM+∠CDN＝90°，
∴∠BDN＝∠PDM，
∵AE，BD是等边三角形的高，
∴AE＝BD，
∵AE＝DP，
∴BD＝DP，
在Rt△CPM中，∠PCM＝60°，
∴∠P＝30°＝∠DBN，
在△BDN和△PDM中，
，
∴△BDN≌△PDM（ASA），
∴DN＝DM，
∴∠DNE＝∠DMC＝45°，
∵E是BC中点，
∴△AEC是直角三角形，
∵E为AC中点，
∴DE＝CD＝AC，
∴∠DEC＝∠DCE＝60°，
∴∠DEN＝∠DCM，
在△DNE和△DMC中，
，
∴△DNE≌△DMC（AAS），
∴NE＝CM，
在Rt△QEN中，∠QNE＝∠NQE＝45°，
∴QE＝NE，
∴QE＝CM；
（2）QF＝AB，
理由：如图2，过点D作DH⊥AE，
设DH＝x，
在Rt△DHQ中，∠DQH＝∠EQN＝45°，
∴DQ＝x，
在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，
∴AD＝2x，
∵AD＝AC，DE＝BC＝AC，
∴DE＝AD＝2x，AB＝BC＝AC＝4x，
由（2）知，△DNE≌△DMC，
∴∠EDN＝∠CDM，
∵∠NDM＝90°，∠CDE＝60°，
∴∠EDN＝∠CDM＝15°，
∴∠FDQ＝∠EDN+∠CDE＝75°，
∵∠QEC＝∠QDM＝90°，
∴∠QEC+∠QDM＝180°
∴点E，M，D，Q共圆，
∴∠EMQ＝∠QDE＝15°＝∠CDM，
∴∠DMQ＝∠DME﹣∠EMQ＝30°，
∴∠DQM＝60°＝∠DEM，DM＝DQ＝x，
∵∠EMQ＝∠CDM，
∴△DQF∽△DEM，
∴＝，
∴＝＝，
Rt△DMN中，
MN＝DM＝•x＝2x，
由（2）知，NE＝CM，
∴NE＝CM＝＝＝x﹣x，
∴EM＝CM+CE＝x﹣x+2x＝x+x，
∴＝，
∴QF＝，
而AB＝4x，
∴QF＝AB．


24．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE＝FE，
∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
25．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
26．【解答】证明：∵AB＝BD+CF，
又∵AB＝BD+AD，
∴CF＝AD
∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F
在△ADE与△CFE中
，
∴△ADE≌△CFE（ASA）．
27．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝12，CD＝5，
∴AC＝13，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴DE＝AC＝6.5；

（2）连接DQ，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，
∵FH∥AB，
∴四边形ABHF是等腰梯形，
∴AF＝BH，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝67.5°，
∴∠PAE＝22.5°，
∵FH∥AB，
∴∠BOH＝∠ABE＝22.5°，
∵EG⊥AB，
∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝22.5°，
∴∠HBQ＝∠HQB＝∠FAE＝∠FEA＝22.5°，
∵BH＝AF，
∴△HBQ≌△FAE（AAS），
∴BQ＝AE，
∵∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∴△QBD≌△EAD（SAS），
∴DQ＝DE，∠BDQ＝∠ADE，
∴∠QDE＝∠ADB＝90°，
∴QE＝，
∵DE＝＝AE，
∴QE＝BQ，
∴BE＝BQ+EQ＝BQ+BQ＝（1+）BQ，
即BE＝（1+）BQ．

28．【解答】解：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴BD＝2BO，
∵BE⊥CD，
∴∠BOF＝∠CEF＝90°，
∵∠BFO＝∠CFE，
∴∠DBE＝∠FCE，
∵∠BCD＝45°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∴△BDE≌△CFE（ASA），
∴CF＝BD，
∴CF＝2BO；
（2）∵∠BOF＝∠FEC＝90°，
∠BFO＝∠CFE，
∴△BFO∽△CFE，
∴，
∴CF•OF＝BF•EF，
连接DF，则DF＝BF，
∵△BDE≌△CFE，
∴EF＝E＝1，
∴DF＝BF＝，
∴CF•FO＝BF•EF＝．