2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第十章 §10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题　培优课

§10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题 题型一　概率、统计与数列的综合问题 例1　为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为eq \f(1,2).每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为eq \f(2,3)，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为eq \f(1,3)，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分． (1)若m＝2，求分数X的分布列与均值．(若结果不为整数，用分数表示) (2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G(n)，如G(1)＝eq \f(1,3). ①求G(2)； ②问是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}为等比数列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出λ；若没有，请说明理由． 解　(1)进行一次试验， 获得0分的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)， 获得1分的概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)， 获得2分的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)， 进行两次试验，X的所有可能取值为0,1,2,3,4， P(X＝4)＝eq \f(1,6)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,36)， P(X＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,6)×2＝eq \f(1,9)， P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,6)×2＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,18)， P(X＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2＝eq \f(1,3)， P(X＝0)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4). 所以分数X的分布列为 E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(5,18)＋3×eq \f(1,9)＋4×eq \f(1,36)＝eq \f(4,3). (2)①G(2)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,18)， ②据题意有， G(n)＝eq \f(1,6)G(n－2)＋eq \f(1,3)G(n－1)，其中n≥3， 设G(n)－λG(n－1)＝eq \f(1,6)G(n－2)＋eq \f(1,3)G(n－1)－λG(n－1) ＝eq \f(1,6)G(n－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－λ))G(n－1) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－λ))[G(n－1)－λG(n－2)]． 比较系数得－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－λ))λ＝eq \f(1,6)， 解得λ＝eq \f(1±\r(7),6)， 所以{G(n)－λG(n－1)}是公比为eq \f(1,3)－λ的等比数列，其中n∈N*，n≥2，λ＝eq \f(1±\r(7),6). 思维升华　高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键． 跟踪训练1　(2022·大连模拟)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步． (1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次， ①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率； ②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值． (2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为pn，求pn的最大值． 解　(1)①设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z， 则P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝eq \f(1,4)， P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝eq \f(1,2)， P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝eq \f(1,4)， 所以P(Y>Z)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))＝eq \f(5,16)，所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率为eq \f(5,16). ②由①知X的所有可能取值为4,5,6,7,8， 所以P(X＝4)＝eq \f(1,16)，P(X＝5)＝eq \f(1,4)， P(X＝6)＝eq \f(3,8)， P(X＝7)＝eq \f(1,4)，P(X＝8)＝eq \f(1,16)， 随机变量X的分布列为 E(X)＝4×eq \f(1,16)＋5×eq \f(1,4)＋6×eq \f(3,8)＋7×eq \f(1,4)＋8×eq \f(1,16)＝6. (2)由题意得p1＝eq \f(1,2)，p2＝eq \f(3,4)， 当n≥3时， pn＝eq \f(1,2)pn－1＋eq \f(1,2)pn－2， pn－pn－1＝－eq \f(1,2)(pn－1－pn－2) ＝eq \f(1,4)(pn－2－pn－3)＝… ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－2(p2－p1) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n， 所以pn＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋eq \f(2,3)(n≥3)， 因为p1＝eq \f(1,2)，p2＝eq \f(3,4)， 所以pn＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋eq \f(2,3)(n∈N*)， 当n为奇数时，eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n<0， pn<eq \f(2,3)； 当n为偶数时， p2＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋eq \f(2,3)＝eq \f(3,4)>eq \f(2,3)，且数列{pn}为递减数列，所以pn的最大值为eq \f(3,4). 题型二　概率、统计与函数的综合问题 例2　(2021·新高考全国Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)． (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义． (1)解　E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. (2)证明　设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0， 因为p3＋p2＋p1＋p0＝1， 故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0， 若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1， 故p2＋2p3≤p0. f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)， 因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0， f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0， 故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2， 且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0， 故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减， 若x2＝1，因为f(x)在(x1，x2)上单调递减且f(1)＝0， 而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上单调递减，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0， 故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根， 若x2>1，因为f(1)＝0且在(0，x2)上单调递减，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根， 综上，若E(X)≤1，则p＝1. 若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1， 故p2＋2p3>p0. 此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0， f′(1)＝p2＋2p3－p0>0， 故f′(x)有两个不同零点x3，x4， 且x3<00； x∈(x3，x4)时，f′(x)<0， 故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减， 而f(1)＝0，故f(x4)<0， 又f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)上存在一个零点 p，且p<1. 所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p<1， 故当E(X)>1时，p<1. (3)解　意义：每一个该种微生物若繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后灭绝的概率小于1. 思维升华　在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现． 跟踪训练2　(2022·唐山模拟)某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制．双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局．各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛．对阵秩序表如图所示： 赛前通过抽签确定选手编号为1～16，在胜者组进行第一轮比赛．每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，…，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A，B，…，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者． (1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？(直接写结果) (2)选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其均值E(X)； (3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？ 参考知识：正整数n>1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))n<eq \f(1,e)，e为自然对数的底数，e≈2.718 28. 解　(1)30,7. (2)X的所有可能取值为2,3,4,5,6,7. P(X＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)， P(X＝3)＝Ceq \o\al(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,4)， P(X＝4)＝Ceq \o\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq \f(3,16)， P(X＝5)＝Ceq \o\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq \f(3,16)， P(X＝6)＝P(X＝7)＝Ceq \o\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq \f(1,16)， X的分布列如下： 则E(X)＝2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,4)＋4×eq \f(3,16)＋5×eq \f(3,16)＋6×eq \f(1,16)＋7×eq \f(1,16)＝eq \f(15,4). (3)乙经败者组进入决赛的概率为 f(t)＝Ceq \o\al(1,4)(1－t)t5，00，f(t)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,6)))上单调递增， 当eq \f(5,6)0， 设f(x)＝ln x－eq \f(1,3)x， 则f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,3)＝eq \f(3－x,3x)， ∴当00， 当x>3时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减， 由于f(1)＝－eq \f(1,3)＜0， f(2)＝ln 2－eq \f(2,3)≈0.026 4＞0， f(4)＝ln 4－eq \f(4,3)≈0.053 0＞0， f(5)＝ln 5－eq \f(5,3)≈－0.057 3＜0， 故k的取值范围为2≤k≤4且k∈N*. 2．(2022·泉州模拟)某公司为了解年宣传费x (单位：十万元)对年利润y (单位：十万元)的影响，统计甲、乙两个地区5个营业网点近10年的年宣传费和利润相关数据，公司采用相关指标衡量宣传费是否产生利润效益，产生利润效益的年份用“＋”，反之用“－”号记录． (1)根据以上信息，填写下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为宣传费是否产生利润效益与地区有关？ (2)现将甲、乙两地相关数据作初步处理，得到相应散点图后，根据散点图分别选择eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(b,\s\up6(^))eq \r(x)和eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(c,\s\up6(^))＋eq \o(d,\s\up6(^))ln x两个模型拟合甲、乙两地年宣传费与年利润的关系，经过数据处理和计算，得到以下表格信息： 根据上述信息，某同学得出“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断，根据你所学的统计知识，分析上述判断是否正确，并给出适当的解释； (3)该公司选择上述两个模型进行预报，若欲投入36万元的年宣传费，如何分配甲、乙两地的宣传费用，可以使两地总的年利润达到最大． 参考公式：决定系数R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n, )yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n, )yi－\x\to(y)2). 附： χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d. 解　(1)根据题意填写列联表如下表所示： 零假设为H0：宣传费是否产生利润效益与地区无关，根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝eq \f(50×24×10－6×102,30×20×34×16)≈4.963＞3.841＝x0.05， ∴依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为宣传费是否产生利润效益与地区有关． (2)对于甲地，其模型决定系数Req \o\al(2,1)＝1－eq \f(\i\su(i＝1,10, )yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,10, )yi－\x\to(y)2)＝1－eq \f(0.032,1.021)≈0.968 7， 对于乙地，其决定系数Req \o\al(2,2)＝1－eq \f(\i\su(i＝1,10, )yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,10, )yi－\x\to(y)2)＝1－eq \f(0.142,11.614)≈0.987 8， ∴Req \o\al(2,1)0，ω(x)单调递增， 当eq \r(x)>1.2，即x>1.44时，ω′(x)<0，ω(x)单调递减， ∴当x＝1.44时，ω(x)取得最大值，最大值为1.8ln 2.16＋3.42. 故分配给甲地14.4万元，分配给乙地21.6万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大利润为(18ln 2.16＋34.2)万元． 3．某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0E6′， ∴戴口罩很有必要． 4．(2022·济南模拟)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k－1(k∈N*)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0eq \f(1,2)时，pk＋1－pk>0，pk单调递增， 即增加元件个数设备正常工作的概率变大， 当p≤eq \f(1,2)时，pk＋1－pk≤0， 即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大， 又因为y＝5apk， 所以当p>eq \f(1,2)时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润； 当p≤eq \f(1,2)时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．X01234Peq \f(1,4)eq \f(1,3)eq \f(5,18)eq \f(1,9)eq \f(1,36)X45678Peq \f(1,16)eq \f(1,4)eq \f(3,8)eq \f(1,4)eq \f(1,16)X234567Peq \f(1,4)eq \f(1,4)eq \f(3,16)eq \f(3,16)eq \f(1,16)eq \f(1,16)X0123Peq \f(8,27)eq \f(4,9)eq \f(2,9)eq \f(1,27)年份2011201220132014201520162017201820192020甲1＋＋－＋＋＋＋－＋＋甲2＋＋＋－＋＋－＋＋＋甲3＋＋－＋＋＋＋－＋＋乙1＋－－－＋＋－－＋＋乙2＋＋－－＋＋－－－＋产生利润效益未产生利润效益合计甲地乙地合计经验回归方程残差平方和eq \i\su(i＝1,10, )(yi－eq \o(y,\s\up6(^))i)2总偏差平方和eq \i\su(i＝1,10, )(yi－eq \x\to(y))2甲地eq \o(y,\s\up6(^))＝－0.28＋2eq \r(x)0.0321.021乙地eq \o(y,\s\up6(^))＝1.3＋1.8ln x0.14211.614α0.050.0250.010xα3.8415.0246.635产生利润效益未产生利润效益合计甲地24630乙地101020合计341650X0123Peq \f(1,27)eq \f(2,9)eq \f(4,9)eq \f(8,27)产量4a0设备运行概率pk1－pk产品类型高端产品一般产品产量(单位：件)apk3apk利润(单位：元)21