429 解一元二次方程（讲师版）学案

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解一元二次方程 知识定位 掌握一元二次方程的四种解法； 掌握和熟练运用因式分解的四种方法； 学会用公式法分解二次三项式的方法步骤； 知识梳理 1 一元二次方程的定义及 4 种解法：1、因式分解法 ①移项：使方程右边为 0 适用能因式分解 ②因式分解：将方程左边因式分解； 方法：一提，二套，三十字，四分组 a a ③由 A∙B=0，则 A=0 或 B=0，解两个一元一次方程 2、直接开平方法 x2  a (a  0) x1  x2    适用无一次项的 x  b2  a (xab0)  a 解两个一元一次方程  3、配方法 ①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移．项．要．变．号．） ②同除：方程两边同除二次项系（每．项．都．要．除．） ③配方：方程两边加上一次项系．数．一．半．的．平．方． ④开平方：注意别忘根号和正负 ⑤解方程：解两个一元一次方程 4、公式法 ① 将方程化为一般式 ② 写出 a、b、c ③ 求出b 2  4ac ， ④ 若 b2-4ac＜0，则原方程无实数解 b  b2  4ac ⑤ 若 b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式 x= ⑥ 若 b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式 x  b 2a 求解 2a 求解。  知识梳理 2 一元二次方程的应用题步骤： 审题：读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系 设元：就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量 ,并用字母（X)表示出来,设元又分直接设元和间接设元 列方程：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程 解方程：求出所列方程的解 验根：检验未知数的值是否符合题意 写出答案 【题目】解下列方程． （1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=0 1 【答案】 （1）x1=0，x2=- 2 ．（2）x1=0，x2=-2． 【解析】上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是： 1 （1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x2=- 2 ． （2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2． #对应知识梳理 1 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目】当 a b c 是实数时，求证：方程 x2  (a  b)x  (ab  c2 )  0 必有两个实数根，并求两根相等的条件． 【答案】见解析 【解析】：   [(a  b)]2  4(ab  c2 )  a2  2ab  b2  4ab  4c2  a2  2ab  b2  4c2  (a  b)2  4c2 , (a  b)2  0,4c2  0,  0, ．‘．方程 x2  (a  b)x  (ab  c2 )  0 必有两个实数根， 当方程两根相等时，   (a  b)2  4c2  0, (a  b)2  0 且4c2  0,a  b 且c   ．。．原方程两根相等的条件是 a  b 且c  0. #对应知识梳理 1 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目】解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 11 【答案】（1） x1=0，x2= 4 （2）x1=2，x2=4 【解析】 （1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0 或 4x-11=0 11 x1=0，x2= 4 （2）移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得 x-2=0 或 x-4=0 x1=2，x2=4 #对应知识梳理 1 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2  【题目】 我们知道 x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么 x2-（a+b）x+ab=0 就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程． （1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0 【答案】（1）x1=4，x2=-1（2）x1=6，x2=1（3）x1=-5，x2=1 【解析】解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1） ∴（x-4）（x+1）=0 ∴x-4=0 或 x+1=0 ∴x1=4，x2=-1 （2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1） ∴（x-6）（x-1）=0 ∴x-6=0 或 x-1=0 ∴x1=6，x2=1 （3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1） ∴（x+5）（x-1）=0 ∴x+5=0 或 x-1=0 ∴x1=-5，x2=1 #对应知识梳理 1 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目】解方程x 2  3x  2  0 【答案】1,2 【解析】 解法一： x 2  3x  2  0 ， (x－2)(x－1)＝0， x－2＝0，x－1＝0， ∴ x1 1，x 2  2 ． #对应知识梳理 2 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目】解关于 x 的方程x 2  m(3x  2m  n)  n 2  0  【答案】 ． x1  2m  n，x 2  m  n  【解析】把原方程左边展开，整理，得 x 2  3mx  (2m2  mn  n 2 )  0 ． ∵a＝1，b＝－3m， c  2m2  mn  n 2 ， ∴ b2  4ac  (3m)2  4 1 (2m2  mn  n 2 )  m2  4mn  4n 2  (m  2n)2  0 ． 3m  (m  2n)2 x  ∴ 2  3m  (m  2n) 2 ． ∴ x1  2m  n，x 2  m  n ． #对应知识梳理 2 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2  【题目】已知方程 2x 2  4x  m  0 的两根平方和是 34，求 m 的值 【答案】-30 m 【解析】设方程的两根为x1、x 2 ，则 x1  x 2  2，x1  x 2  2 ．  x2  x2  (x  x )2  2x x ∵ 1 2 1 2 1 2 ， ∴ 2x1x 2  (x1  x 2 )2  (x 2  x 2 ) 1 2  (2)2  34 ＝－30． m x1x 2  ∵ 2 ， ∴m＝－30． #对应知识梳理 2 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目】 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2、10 【答案】 x 2 12x  20  0 【解析】 设所求的方程为x 2  px  q  0 ． ∵2＋10＝－p，2×10＝q， ∴p＝－12，q＝20． ∴所求的方程为x 2 12x  20  0 #对应知识梳理 2 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 习题演练 7 【题目】已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数 【答案】 4  7和4    【解析】设这两个数为 x1、x  2 ，以这两个数为根的一元二次方程为 x 2  px  q  0 ．  ∵ x1  x 2  8  p，x1  x 2  q ， 7 ∴方程为x 2  8x  9  0 ． 7 解这个方程得x1  4  7，x 2  4  ，  ∴这两个数为 4  7和4  ．  【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【题目】下列方程中是一元二次方程的序号是 ． ①x2  4 ②2x2  y  5 ③ 33x  x2 1  0 ④5x2  0  ⑤3x 2  x  5 2 ⑥ 1  x  4 x 2  ⑦3x3  4x2 1  0。。。。⑧x(x  5)  x2  2x  【答案】 ①, ③, ④, ⑤ 【解析】判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 ①含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2; ③ 整式方程．若同时符合这三个条件的就是一元 次方程，否则缺一不可．其中方程②含两个未知数，不符合条件①；方程⑥不是整式方程，lil 不符合条件③；方程 ⑦中未知数的最高次数是 3 次，不符合条件②；方程⑧经过整理后；次项消掉，也不符合条件②． 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2  【题目】已知，关于 2 的方程(a  5)x2  2ax  1是一元二次方程，则 a 【答案】  5 【解析】方程(a  5)x2  2ax  1既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数的最高次数是 2，因此，二次项系数 a  5  0, 故a  5. 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2  【题目】方程 x2  2x  3  0 的根是 【答案】 1.3 1 【解析】 x2  2x  3  0, x2  2x 1  4,(x 1)2  4. 所以 x   1, x2   3.  【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2  【题目】不解方程，判断一元二次方程  3x2   6x   2x  2  0 的根的情况是 ．  ◆答案：有两个不相等的实数根 6 【答案】有两个不相等的实数根  【解析】原方程化为 3x2  (  2)x  2  0,  6 b2  4ac  [(  2)]2  4  2  8  4    0,  3 3 64 48 ．‘．原方程有两个不相等的实数根． 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【题目】若关于 X 的方程 x2  5x  k  0 有实数根，则 k 的取值范围是 k  25 【答案】 4 【解析】 方程有实根， b2  4ac  52  4k  0, k  25  4 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【题目】.若 a 的值使得 x2  4x  a  (x  2)2 1成立，则 a 的值为( ) A．5 8．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】(x  2)2 1  x2  4x  4 1  x2  4x  3,  a 的值使得 x2  4x  a  (x  2)2 1  x2  4x  3,a  3, 故 C 正确． 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】2 【题目】关于 X 的一元二次方程 错误!未找到引用源。 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A.k  1 B.k  1 C.k  0 D.k  1且k  0  【答案】D  k  0, 【解析】由题意知4  4k  0. 解得 k  1且 k  0. 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【题目】元二次方程 (1 k)x2  2x 1  0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A.k  2 B.k  2 且 k  1 C.k  2 D.k  2 且 k  1  【答案】B 【解析】．‘方程有两个不相等的实根,b2  4ac  (2)2  4 (1  k) (1)  8  4k  0, k  2 且 k  1, 故 B 正确． 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2   (1)3x 2  12x 15  0; (2)2x 2 11x  5  0; 【题目】用因式分解法解方程： (3)8x(2x  1)  15. 【答案】见解析 【解析】 (1)原方程化为  x2  4  x  5  0,(x  2)2  9, x   5, x2   1.  1 (2)(x  5)(2x 1)  0, x1  5, x2  1  2 16x2  8x 15  0, x2  1 x  15 , (x  1)2  1.x   5 , x  3  (3)原方程化为 2 16 4 1 4 2 4 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】随堂练练 【难度系数】3 【题目】解关于 2 的方程： (1)mx(x  c)  (c  x)  0(m  0); (2)mx2  (m  n)x  n  0(m  0). 【答案】见解析 【解析】(1)原方程整理为 mx(x  C)  (x  c)  0,(x  c)(mx 1)  0, x  c  0或 mx 1  0,  m  0, x1  c, x2  1 ; m  (2)原方程化为(x 1)(mx  n)  0, x 1  0 或 mx  n  0,  m  0, x1  1, x2   n  m  【知识点】解一元二次方程 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3 【题目】不解方程，判别下列方程根的情况． (1)2x(x  3)  5 (2)x2  2 5x  3  0;  (3)9x2 12x  4  0; (4)(2y 1)2  y( y  2)  0. 【答案】（1）（2）有两个不等实根，（3）两个相等实根（4）无实根 【解析】(1)原方程可化为 2x2  6x  5  0, b2  4ac  62  4  2 (5)  36  40  0, 原方程有不相等两实根； (2)b2  4ac  (2 5)2  4 1(3)  20 12  0,原方程有不相等两实根；  (3)b2  4ac  122  4  9  4  144 144  0,原方程有相等两实根； (4)原方程化为： 5y 2  2 y 1  0, b2  4ac  (2)2  4  51  4  20  0, 原方程无实根． 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3 【题目】已知关于 z 的方程 x2  (2k 1)x  k 2  3  0, 当 k 为何值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根? k   13 【答案】（1) 4 (2) k   13 ; 4 k   13 (3) 4 k   13 【解析】b2  4ac  (2k 1)2  4(k 2  3)  4k 13. 当 b2  4ac  4k 13  0时， 4 k   13 ; 当 b2  4ac  4k 13  0时， 当 b2  4ac  4k 13  0 时， k   13 4 k   13 ; 4 当 4 时，原方程有两个不相等的实数根； k   13 当 4 时，原方程有两个相等的实数根； k   13 当 4 时，原方程无实根． 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】2 【题目】求证：关于 2 的方程 x2  (2m  3)x  3m 1  0 有两个不相等的实数根 【答案】见解析  【解析】 b2  4ac  (2m  3)2  4(3m 1)  4m2 12m  9 12m  4  4m2 13,4m2  0,  b2  4ac  4m2 13  0,原方程有两个不相等的实数根 【知识点】解一元二次方程 【适用场合】阶段测验 【难度系数】2