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初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试学案
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这是一份初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试学案，文件包含212解一元二次方程讲义学生版docx、212解一元二次方程讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共35页， 欢迎下载使用。
（1）掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．
（2）掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程
（3）掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．
（4）掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法
教学重难点
教学重点：配方法、公式法；
教学难点：注意各种解法容易出错的地方，灵活选用适当的方法解答；
知识点一：用直接开平方法解一元二次方程
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例题：一元二次方程（x+2017）2=1的解为（ ）
A．﹣2016，﹣2018B．﹣2016C．﹣2018D．﹣2017
变式1：方程4x2﹣1=0的根是（ ）
A．B．C．2D．±2
变式2：一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2，则a的值是 4 ．
知识点二：用配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例题：一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1B．（y﹣）2=1C．（y+）2=D．（y﹣）2=
变式1：用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=0D．（x﹣）2=
变式2：把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m= ，n= ．
知识点三：用求根公式法解一元二次方程
把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
例题：利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（ ）
A．B．6，C．﹣6，D．﹣6，﹣
变式1：一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（ ）
A．4，3B．3，2C．2，1D．1，0
变式2：x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
知识点四：用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
变式1：一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
变式2：三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是 ．
知识点五：选择适当的方法解一元二次方程
例题：解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
变式1：解方程：3x2﹣2x﹣2=0．
变式2：解方程：x2﹣5x+3=0．
知识点六：一元二次方程根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根B．有两相等实数根
C．无实数根D．不能确定
变式1：若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1
变式2：关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是 ．
知识点七：一元二次方程根与系数关系
若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的两根时，
常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例题：若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
变式1：若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1B．﹣3C．3D．4
变式2：已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1B．x1•x2=﹣1C．|x1|＜|x2|D．x12+x1=
拓展点一：用多种方法解一元二次方程
例题：解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
变式1：解方程：x2﹣6x+5=0．
变式2：解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
拓展点二：配方法的应用
用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
例题：一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7B．m=2．n=7C．m=﹣2，n=1D．m=2．n=﹣7
变式1：对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．不能确定
变式2：若代数式x2﹣6x+b可化为（x+a）2﹣5，则a+b的值为 ．
拓展点三：一元二次方程根的判别式的应用
例题：若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
变式1：关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
变式2：已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m为正整数时，求方程的根．
拓展点四：根与系数关系的应用
例题：已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
变式1：关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，求出a的值和方程的另一个根．
【分析】将x=0代入原方程可求出a值，设方程的另一根为x1，利用两根之和等于﹣即可求出x1的值，此题得解．
变式2：已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+=﹣1，求k的值．
易错点一：形如ax2＋bx＋c=0的方程，若未指明a的取值范围，可能是一次方程，也可能是二次方程，需要分类讨论。
例题1：已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原方程为一元一次方程．
变式1：已知关于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0．
（1）当m为何值时是一元一次方程．
（2）当m为何值时是一元二次方程．
变式2：当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
（1）掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．
（2）掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程
（3）掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．
（4）掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法
教学重难点
教学重点：配方法、公式法；
教学难点：注意各种解法容易出错的地方，灵活选用适当的方法解答；
知识点一：用直接开平方法解一元二次方程
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例题：一元二次方程（x+2017）2=1的解为（ ）
A．﹣2016，﹣2018B．﹣2016C．﹣2018D．﹣2017
变式1：方程4x2﹣1=0的根是（ ）
A．B．C．2D．±2
变式2：一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2，则a的值是 4 ．
知识点二：用配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例题：一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1B．（y﹣）2=1C．（y+）2=D．（y﹣）2=
变式1：用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=0D．（x﹣）2=
变式2：把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m= ，n= ．
知识点三：用求根公式法解一元二次方程
把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
例题：利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（ ）
A．B．6，C．﹣6，D．﹣6，﹣
变式1：一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（ ）
A．4，3B．3，2C．2，1D．1，0
变式2：x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
知识点四：用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
变式1：一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
变式2：三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是 ．
知识点五：选择适当的方法解一元二次方程
例题：解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
变式1：解方程：3x2﹣2x﹣2=0．
变式2：解方程：x2﹣5x+3=0．
知识点六：一元二次方程根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根B．有两相等实数根
C．无实数根D．不能确定
变式1：若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1
变式2：关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是 ．
知识点七：一元二次方程根与系数关系
若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的两根时，
常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例题：若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
变式1：若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1B．﹣3C．3D．4
变式2：已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1B．x1•x2=﹣1C．|x1|＜|x2|D．x12+x1=
拓展点一：用多种方法解一元二次方程
例题：解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
变式1：解方程：x2﹣6x+5=0．
变式2：解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
拓展点二：配方法的应用
用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
例题：一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7B．m=2．n=7C．m=﹣2，n=1D．m=2．n=﹣7
变式1：对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．不能确定
变式2：若代数式x2﹣6x+b可化为（x+a）2﹣5，则a+b的值为 ．
拓展点三：一元二次方程根的判别式的应用
例题：若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
变式1：关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
变式2：已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m为正整数时，求方程的根．
拓展点四：根与系数关系的应用
例题：已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
变式1：关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，求出a的值和方程的另一个根．
【分析】将x=0代入原方程可求出a值，设方程的另一根为x1，利用两根之和等于﹣即可求出x1的值，此题得解．
变式2：已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+=﹣1，求k的值．
易错点一：形如ax2＋bx＋c=0的方程，若未指明a的取值范围，可能是一次方程，也可能是二次方程，需要分类讨论。
例题1：已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原方程为一元一次方程．
变式1：已知关于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0．
（1）当m为何值时是一元一次方程．
（2）当m为何值时是一元二次方程．
变式2：当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
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