人教版(B版2019课标)高中数学必修三7.2任意角的三角函数 学案
展开任意角三角函数的定义 【学习目标】 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2.理解任意角的三角函数不同的定义方法; 3.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 【学习重点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义。 【学习难点】 任意角的三角函数不同的定义方法;已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 【学习过程】 知识链接: 1:用弧度制写出终边在下列位置的角的集合。 (1)坐标轴上; (2)第二象限。 2:锐角的三角函数如何定义? y P(a,b) r O M 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限。在的终边上任取一点,它与原点的距离。 过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为。 则; = ; = 。 新课导学: 1.任意角的三角函数的定义 问题1: 将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为: ; ; 。 问题2:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。 那么,角的概念推广以后,我们应该如何推广到任意角呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 ,然后就可以类似锐角三角函数求得该角的三角函数值。 新知:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆。 问题3:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1) 叫做的正弦(sine),记做; (2) 叫做的余弦(cossine),记做; (3)_______叫做的正切(tangent),记做。 即:,,。 试试:角与单位圆的交点坐标为 ,则 , , 。 反思: ①当时,α的终边在 轴上,终边上任意一点的横坐标都等于 ,所以 无意义。 ② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,则: ;= ; = 。 典例解析: 求角的正弦、余弦和正切值。 变式练习: 求角的正弦、余弦和正切值。 已知角的终边经过点P(-3,-4),求sin、cos、的值。 变式练习:已知角的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sin+cos的值; 当堂检测: 1.( )。 A.1 B. C. D. 2.( )。 A. B. C. D. 3.如果角α的顶点在原点,始边在x轴的正半轴重合,终边在函数的图象上,那么的值为( )。 A.5 B.-5 C. D. 4. 。 5.已知点在角α的终边上,则= 。 【学习小结】 1.单位圆定义任意角的三角函数; 2.作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求。 能力提升: 1.已知角α的终边过点P(-1,2),cosα的值为( ) A.- B.- eq \r(5) C. D. 2.α是第二象限角,P(x, eq \r(5) ) 为其终边上一点,且cosα=x,则sinα的值为( ) A. B. C. D.- 3.角α的终边上有一点P(m,5),且,则sinα+cosα=______。 4.已知角θ的终边在直线y=x 上,则sinθ= ;= 。