高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数本章综合与测试导学案

7.2.5  综合复习（1）

【学习重点】

角的推广及表示、弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式

【学习难点】

同角三角函数关系式和诱导公式的综合应用

题型1：弧长公式与面积公式的应用

1.在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝，所以          ，即弧长等于其所对应的圆心角的          与          的积．

2. 若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是         

例1．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.

（1）若，，求扇形的弧长l；

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【变式练习】

已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.

（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；

（2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？

题型2：定义法求三角函数值

对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r=          ，称          为角α的正弦，记作sin α；称          为角α的余弦，记作cos α，因此sin α＝          ，cos α＝          .

当角α的终边不在y轴上时，称          为角α的正切，记作tan α，即tan α＝          .

角α的                都称为α的三角函数．

例2.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.

（1）求的值；

（2）设，角的终边与角的终边关于对称，求的值.

【变式练习】

已知角终边上一点，且，求和的值.

题型3：利用三角函数符号判断角所在象限

当且仅当α的终边在                    时，sin α>0；当且仅当α的终边在              时，

sin α<0.

当且仅当α的终边在                    时，cos α>0；当且仅当α的终边在              时，cos α<0.

当且仅当α的终边在          时，tan α>0；当且仅当α的终边在          时，tan α<0.

如图所示：

例3（1）已知角是第三象限角，且，则角的终边在  （    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

 (2) 在中，若，则是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形

【变式练习】

（1）．已知，则角的终边所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）．已知A为的一个内角，且，则的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定

题型4：商数关系和平方关系求三角函数值

如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的点，记r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝，由此可得sin2 α＋cos2 α＝          ，          ＝.

例4.设A是三角形的内角，且sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根.

(1)求a的值；

(2)求tanA的值．

【变式练习】

已知关于的方程的两个根为

求： （1）的值；

（2）实数的值；

（3）方程的两个根及此时的值

题型5：齐次法求值

例5．已知＝2，计算下列各式的值.

(1) ；           (2)sin2α－2sin αcos α＋1.

【变式练习】

已知，

（1）求的值；

（2）求的值.

题型6：整体代换法诱导公式求值

诱导公式（一）                            诱导公式（二）

诱导公式（三）                            诱导公式（四）

诱导公式（五）                            诱导公式（六）

诱导公式（七）                            诱导公式（八）

例6.已知＝2，计算下列各式的值.

(1) ；           (2)sin2α－2sin αcos α＋1.

【变式练习】

已知，

（1）求的值；

（2）求的值.