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人教版七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数教案设计
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这是一份人教版七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数教案设计，共10页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1．理解有理数的概念，掌握有理数的分类方法；(重点)
2．会把所给的有理数填入相应的集合；(难点)
3．经历对有理数进行分类探索的过程，初步感受分类讨论的数学思想．(重点)
教学过程
一、情境导入
某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为6℃，最低气温达到－10℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温－3℃～7℃，这里出现了哪些数？我们到目前为止学过了哪些数？你能试着将它们进行分类吗？今天我们要把大家学过的数进行分类命名．
二、合作探究
探究点一：有理数的有关概念
例1下列各数：－eq \f(4,5)，1，8.6，－7，0，eq \f(5,6)，－4eq \f(2,3)，＋101，－0.05，－9中，( )
A．只有1，－7，＋101，－9是整数
B．其中有三个数是正整数
C．非负数有1，8.6，＋101，0
D．只有－eq \f(4,5)，－4eq \f(4,5)，－0.05是负分数
解析：根据有理数的有关概念，整数包括：1，－7，0，＋101，－9，故选项A错误；正整数只有两个，即1和＋101，故选项B错误；非负数包括有1，8.6，＋101，0，eq \f(5,6)，故选项C错误；负分数包括－eq \f(4,5)，－4eq \f(2,3)，－0.05，故选项D正确．故选D.
方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数．
探究点二：有理数的分类
例2把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7eq \f(1,2)，3eq \f(3,4)，－10%，eq \f(3,101)，2，0，3.14，－67，eq \f(3,7)，0.618，－1，0.3080080008…
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
分数集合{ …}．
解析：要将各数填入相应的集合里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．在填入相应的集合时，要注意每个有理数，身兼不同的身份，所以解答时不要顾此失彼．
解：正数集合{8，3eq \f(3,4)，eq \f(3,101)，2，3.14，eq \f(3,7)，0.618，0.3080080008… …}；
负数集合{－10，－7eq \f(1,2)，－10%，－67，－1 …}；
整数集合{－10，8，2，0，－67，－1 …}；
分数集合{－7eq \f(1,2)，3eq \f(3,4)，－10%，eq \f(3,101)，3.14，eq \f(3,7)，0.618，0.3080080008… …}．
方法总结：在填数时要注意以下两种方法：
(1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象．
三、板书设计
1．有理数的概念
(1)整数：正整数、零和负整数统称整数．
(2)有理数：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数．
2．有理数的分类
①按定义分类为： ②按性质分类为：
有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,零,负整数)),分数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正分数,负分数)))) 有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,正分数)),零,负有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(负整数,负分数))))
教学反思
本节课是有理数分类的教学，要给学生较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习活动，亲自体验知识的形成过程．避免教师直接分类带来学习的枯燥性．要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是无遗漏、无重复的．
1．2.2 数 轴
教学目标
1．掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；(重点)
2．会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数；(难点)
3．会根据数轴上的点读出所表示的有理数；(难点)
4．感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的．
教学过程
一、情境导入
1．欣欣感冒了，医生用体温计测量了她的体温，并说：“37.8度”．
提出问题：医生为什么通过体温计就可以读出任意一个人的体温？
2．我们再一起去看看中秋节祖国各地的自然风光和温度情况(电脑分别显示嘉峪关、长白山、颐和园三个旅游景点的自然风光，温度分别为－3℃，0℃，20℃)
嘉峪关－3℃ 长白山0℃ 颐和园20℃
提出问题：那么要测量这种气温所需要的温度计的刻度应该如何安排？需要用到哪些数？
3．请尝试画出你想像中的温度计，并和其他同学交流，注意交流时要发表自己的见解．
提出问题：请找出一支温度计从外观上具有哪些不可缺少的特征？
二、合作探究
探究点一：数轴的概念
例1 下列图形中是数轴的是( )
A. B.
C. D.
解析：A中的没有单位长度，错误；B中没有正方向，错误；C中满足原点，正方向，单位长度，正确；D中没有原点，错误．故选C.
方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．
探究点二：有理数与数轴的关系
【类型一】 读出数轴上的点所表示的数
例2指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数．
解析：要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：(1)确定符号，在原点右边为正数，在原点左边为负数；(2)确定数字，即距离原点是几个单位长度．
解：由图可知，A点表示：－4.5；B点表示：4；C点表示：－2；D点表示：5.5；E点表示：0.5；F点表示7.
方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A、D这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个数之间．
【类型二】 在数轴上表示有理数
例3 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
－5，2.5，3，－eq \f(5,2)，0，－3，3eq \f(1,2).
解析：(1)画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；(2)用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离．
解：如图：
方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置．
【类型三】 数轴上两点间的距离问题
例4 数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是( )
A．5 B．±5
C．7 D．7或－3
解析：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是7或－3，故选D.
方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况．
三、板书设计
1．数轴
(1)原点
(2)正方向
(3)单位长度
2．数轴上的点与有理数间的关系
(1)原点表示零
(2)原点右边的点表示正数
(3)原点左边的点表示负数
教学反思
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学．让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律．
1．2.3 相反数
教学目标
1．借助数轴理解相反数的概念，并能求给定数的相反数；(重点)
2．了解一对相反数在数轴上的位置关系；(重点)
3．掌握双重符号的化简；(难点)
4．通过从数和形两个方面理解相反数，初步体会数形结合的思想方法．
教学过程
一、情境导入
1．让两个学生在讲台前背靠背站好(分左右)，规定向右为正(正号可以省略)，向右走2步，向左走2步各记作什么？
2．规定两个同学未走时的点为原点，用上一节课学的数轴将上述问题情境中的2和－2表示出来．
3．从数轴上观察，这两位同学各走的距离都是2步，但方向相反，可用2和－2表示，这两个数具有什么特点？
二、合作探究
探究点一：相反数的意义
【类型一】 相反数的代数意义
例1 写出下列各数的相反数：16，－3，0，－eq \f(1,2015)，m，－n.
解析：只需将各数前面的正、负号换一下即可，但要注意0的相反数是0.
解：－16，3，0，eq \f(1,2015)，－m，n.
方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0.
【类型二】 相反数的几何意义
例2(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________．
(2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______．
解析：(1)左边距离原点3个单位长度的点是－3；右边距离原点3个单位长度的点是3，∴距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，∴原点到点A与点B的距离相等，∵A、B两点间的距离是12.8，∴原点到点A和点B的距离都等于6.4.∵点A在点B的左侧，∴这两点所表示的数分别是－6.4，6.4.
方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧．
【类型三】 相反数与数轴相结合的问题
例3如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A、B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为( )
A．2 B．－4 C．－1 D．0
解析：由题意如图，
数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，∴点C所表示的数为－1，故应选C.
方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等．
探究点二：化简多重符号
例4 化简下列各数．
(1)－(－8)＝________；
(2)－(＋15eq \f(1,8))＝________；
(3)－[－(＋6)]＝________；
(4)＋(＋eq \f(3,5))＝________．
解：(1)－(－8)＝8；
(2)－(＋15eq \f(1,8))＝－15eq \f(1,8)；
(3)－[－(＋6)]＝－(－6)＝6；
(4)＋(＋eq \f(3,5))＝eq \f(3,5).
方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
三、板书设计
1．相反数
(1)只有符号不同的两个数．
(2)a的相反数是－a，0的相反数是0.
(3)互为相反数的两个数和为0.
2．多重符号的化简
(1)偶数个“－”号，结果为正数．
(2)奇数个“－”号，结果为负数．
教学反思
从具体的场景出发，利用数轴引导学生感受相反数的意义．通过教师的层层设问，充分展示学生的思维过程，让学生学会“理性”思考，从而归纳出互为相反数的意义．让学生意识到数学“源于生活，又高于生活”；在认识相反数的意义的过程中，通过数形结合，将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性．
1．2.4 绝对值
第1课时 绝对值
教学目标
1．理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法；(重点)
2．会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数；(难点)
3．通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的学习兴趣，提高学生对数学的好奇心和求知欲．
教学过程
一、情境导入
从一栋房子里，跑出有两只狗(一灰一黄)，有人在房子的西边3米处以及房子的东边3米处各放了一根骨头，两狗发现后，灰狗跑向西3米处，黄狗跑向东3米处分别衔起了骨头．
问题：1.在数轴上表示这一情景．
2．两只小狗它们所跑的路线相同吗？
3．两只小狗它们所跑的路程一样吗？
在实际生活中，有时存在这样的情况，有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向．在我们的数学中，就是不需要考虑数的正负性，比如：在计算小狗所跑的路程时，与狗跑的方向无关，这时所走的路程只需要用正数来表示，这样就必需引进一个新的概念——绝对值．
二、合作探究
探究点一：绝对值的意义及求法
【类型一】 求一个数的绝对值
例1 －3的绝对值是( )
A．3 B．－3 C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.故选A.
方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【类型二】 利用绝对值求有理数
例2 如果一个数的绝对值等于eq \f(2,3)，则这个数是__________．
解析：∵eq \f(2,3)或－eq \f(2,3)的绝对值都等于eq \f(2,3)，∴绝对值等于eq \f(2,3)的数是eq \f(2,3)或－eq \f(2,3).
方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外．
【类型三】 化简绝对值
例3 化简：|－eq \f(3,5)|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
解析：|－eq \f(3,5)|＝eq \f(3,5)；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.
方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a.
探究点二：绝对值的性质及应用
【类型一】 绝对值的非负性及应用
例4 若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
解析：由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2015|≥0，则有|a－3|＝|b－2015|＝0.
解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.
方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.
【类型二】 绝对值在实际问题中的应用
例5 第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
解析：由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．
解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．
(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球
|－0.15|＝0.15，合格品．
方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．
三、板书设计
1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.
2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a>0）,0（a＝0）,－a（a<0）))或|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0）,－a（a<0）))
教学反思
绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是一个难点内容．教材从几何的角度给出绝对值的概念，也就是从数轴上表示数的点的位置出发，得出定义的．
在数学教学过程中，要千方百计教给学生探索方法、使学生了解知识的形成过程，并掌握更多的数学思想、方法；教学过程中做到形数兼备、数形结合．
第2课时 有理数大小的比较
教学目标
1．掌握有理数大小的比较法则；(重点)
2．会比较有理数的大小，并能正确地使用“>”或“<”号连接；(重点)
3．能初步进行有理数大小比较的推理和书写．(难点)
教学过程
一、情境导入
某一天我国5个城市的最低气温如图所示：
(1)从刚才的图片中你获得了哪些信息？
(2)比较这一天下列两个城市间最低气温的高低(填“高于”或“低于”)．
广州______上海；北京______上海；北京______哈尔滨；武汉______哈尔滨；武汉______广州．
二、合作探究
探究点一：借助数轴比较有理数的大小
【类型一】 借助数轴直接比较数的大小
例1 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，eq \f(1,2)，－1eq \f(1,2)，4，0.
解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较．
解：如图所示：
因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－1eq \f(1,2)＜0＜eq \f(1,2)＜4＜＋5.
方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键．
【类型二】 借助数轴间接比较数的大小
例2 已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是( )
A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a
C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b
解析：由图可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，则有：－b＜a＜－a＜b.故选D.
方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小．
探究点二：运用法则比较有理数的大小
【类型一】 直接比较大小
例3 比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；
(2)－3和－5；
(3)－2.5和－|－2.25|；
(4)－eq \f(3,5)和－eq \f(3,4).
解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；
(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；
(3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；
(4)因为|－eq \f(3,5)|＝eq \f(3,5)，|－eq \f(3,4)|＝eq \f(3,4)，eq \f(3,5)＜eq \f(3,4)，所以－eq \f(3,4)<－eq \f(3,5).
方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小．
【类型二】 有理数的最值问题
例4 设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为( )
A．0，－1，1 B．1，0，－1
C．1，－1，0 D．0，1，－1
解析：因为a是绝对值最小的数，所以a＝0，因为b是最大的负整数，所以b＝－1，因为c是最小的正整数，所以c＝1，综上所述，a、b、c分别为0、－1、1.故选A.
方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1.
三、板书设计
1．借助数轴比较有理数的大小：
在数轴上右边的数总比左边的数大
2．运用法则比较有理数的大小：
正数与0的大小比较
负数与0的大小比较
正数与负数的大小比较
负数与负数的大小比较
教学反思
本节课的教学目标是让学生掌握比较有理数大小的两种方法，教学设计主要是从基础出发，从简单到复杂，层层递进，让学生更加深刻地认识和掌握有理数大小比较的方法．通过本节的教学，大部分学生能够理解法则的内容，但真正掌握有理数的大小比较的方法还需要一定量的练习进行巩固．同时在教学中还要充分发挥学生的主体意识，让学生逐步解决所设计的问题，并能举一反三．
一号球
二号球
三号球
四号球
五号球
六号球
－0.5
0.1
0.2
0
－0.08
－0.15
教学目标
1．理解有理数的概念，掌握有理数的分类方法；(重点)
2．会把所给的有理数填入相应的集合；(难点)
3．经历对有理数进行分类探索的过程，初步感受分类讨论的数学思想．(重点)
教学过程
一、情境导入
某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为6℃，最低气温达到－10℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温－3℃～7℃，这里出现了哪些数？我们到目前为止学过了哪些数？你能试着将它们进行分类吗？今天我们要把大家学过的数进行分类命名．
二、合作探究
探究点一：有理数的有关概念
例1下列各数：－eq \f(4,5)，1，8.6，－7，0，eq \f(5,6)，－4eq \f(2,3)，＋101，－0.05，－9中，( )
A．只有1，－7，＋101，－9是整数
B．其中有三个数是正整数
C．非负数有1，8.6，＋101，0
D．只有－eq \f(4,5)，－4eq \f(4,5)，－0.05是负分数
解析：根据有理数的有关概念，整数包括：1，－7，0，＋101，－9，故选项A错误；正整数只有两个，即1和＋101，故选项B错误；非负数包括有1，8.6，＋101，0，eq \f(5,6)，故选项C错误；负分数包括－eq \f(4,5)，－4eq \f(2,3)，－0.05，故选项D正确．故选D.
方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数．
探究点二：有理数的分类
例2把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7eq \f(1,2)，3eq \f(3,4)，－10%，eq \f(3,101)，2，0，3.14，－67，eq \f(3,7)，0.618，－1，0.3080080008…
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
分数集合{ …}．
解析：要将各数填入相应的集合里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．在填入相应的集合时，要注意每个有理数，身兼不同的身份，所以解答时不要顾此失彼．
解：正数集合{8，3eq \f(3,4)，eq \f(3,101)，2，3.14，eq \f(3,7)，0.618，0.3080080008… …}；
负数集合{－10，－7eq \f(1,2)，－10%，－67，－1 …}；
整数集合{－10，8，2，0，－67，－1 …}；
分数集合{－7eq \f(1,2)，3eq \f(3,4)，－10%，eq \f(3,101)，3.14，eq \f(3,7)，0.618，0.3080080008… …}．
方法总结：在填数时要注意以下两种方法：
(1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象．
三、板书设计
1．有理数的概念
(1)整数：正整数、零和负整数统称整数．
(2)有理数：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数．
2．有理数的分类
①按定义分类为： ②按性质分类为：
有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,零,负整数)),分数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正分数,负分数)))) 有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,正分数)),零,负有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(负整数,负分数))))
教学反思
本节课是有理数分类的教学，要给学生较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习活动，亲自体验知识的形成过程．避免教师直接分类带来学习的枯燥性．要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是无遗漏、无重复的．
1．2.2 数 轴
教学目标
1．掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；(重点)
2．会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数；(难点)
3．会根据数轴上的点读出所表示的有理数；(难点)
4．感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的．
教学过程
一、情境导入
1．欣欣感冒了，医生用体温计测量了她的体温，并说：“37.8度”．
提出问题：医生为什么通过体温计就可以读出任意一个人的体温？
2．我们再一起去看看中秋节祖国各地的自然风光和温度情况(电脑分别显示嘉峪关、长白山、颐和园三个旅游景点的自然风光，温度分别为－3℃，0℃，20℃)
嘉峪关－3℃ 长白山0℃ 颐和园20℃
提出问题：那么要测量这种气温所需要的温度计的刻度应该如何安排？需要用到哪些数？
3．请尝试画出你想像中的温度计，并和其他同学交流，注意交流时要发表自己的见解．
提出问题：请找出一支温度计从外观上具有哪些不可缺少的特征？
二、合作探究
探究点一：数轴的概念
例1 下列图形中是数轴的是( )
A. B.
C. D.
解析：A中的没有单位长度，错误；B中没有正方向，错误；C中满足原点，正方向，单位长度，正确；D中没有原点，错误．故选C.
方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．
探究点二：有理数与数轴的关系
【类型一】 读出数轴上的点所表示的数
例2指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数．
解析：要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：(1)确定符号，在原点右边为正数，在原点左边为负数；(2)确定数字，即距离原点是几个单位长度．
解：由图可知，A点表示：－4.5；B点表示：4；C点表示：－2；D点表示：5.5；E点表示：0.5；F点表示7.
方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A、D这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个数之间．
【类型二】 在数轴上表示有理数
例3 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
－5，2.5，3，－eq \f(5,2)，0，－3，3eq \f(1,2).
解析：(1)画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；(2)用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离．
解：如图：
方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置．
【类型三】 数轴上两点间的距离问题
例4 数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是( )
A．5 B．±5
C．7 D．7或－3
解析：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是7或－3，故选D.
方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况．
三、板书设计
1．数轴
(1)原点
(2)正方向
(3)单位长度
2．数轴上的点与有理数间的关系
(1)原点表示零
(2)原点右边的点表示正数
(3)原点左边的点表示负数
教学反思
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学．让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律．
1．2.3 相反数
教学目标
1．借助数轴理解相反数的概念，并能求给定数的相反数；(重点)
2．了解一对相反数在数轴上的位置关系；(重点)
3．掌握双重符号的化简；(难点)
4．通过从数和形两个方面理解相反数，初步体会数形结合的思想方法．
教学过程
一、情境导入
1．让两个学生在讲台前背靠背站好(分左右)，规定向右为正(正号可以省略)，向右走2步，向左走2步各记作什么？
2．规定两个同学未走时的点为原点，用上一节课学的数轴将上述问题情境中的2和－2表示出来．
3．从数轴上观察，这两位同学各走的距离都是2步，但方向相反，可用2和－2表示，这两个数具有什么特点？
二、合作探究
探究点一：相反数的意义
【类型一】 相反数的代数意义
例1 写出下列各数的相反数：16，－3，0，－eq \f(1,2015)，m，－n.
解析：只需将各数前面的正、负号换一下即可，但要注意0的相反数是0.
解：－16，3，0，eq \f(1,2015)，－m，n.
方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0.
【类型二】 相反数的几何意义
例2(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________．
(2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______．
解析：(1)左边距离原点3个单位长度的点是－3；右边距离原点3个单位长度的点是3，∴距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，∴原点到点A与点B的距离相等，∵A、B两点间的距离是12.8，∴原点到点A和点B的距离都等于6.4.∵点A在点B的左侧，∴这两点所表示的数分别是－6.4，6.4.
方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧．
【类型三】 相反数与数轴相结合的问题
例3如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A、B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为( )
A．2 B．－4 C．－1 D．0
解析：由题意如图，
数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，∴点C所表示的数为－1，故应选C.
方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等．
探究点二：化简多重符号
例4 化简下列各数．
(1)－(－8)＝________；
(2)－(＋15eq \f(1,8))＝________；
(3)－[－(＋6)]＝________；
(4)＋(＋eq \f(3,5))＝________．
解：(1)－(－8)＝8；
(2)－(＋15eq \f(1,8))＝－15eq \f(1,8)；
(3)－[－(＋6)]＝－(－6)＝6；
(4)＋(＋eq \f(3,5))＝eq \f(3,5).
方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
三、板书设计
1．相反数
(1)只有符号不同的两个数．
(2)a的相反数是－a，0的相反数是0.
(3)互为相反数的两个数和为0.
2．多重符号的化简
(1)偶数个“－”号，结果为正数．
(2)奇数个“－”号，结果为负数．
教学反思
从具体的场景出发，利用数轴引导学生感受相反数的意义．通过教师的层层设问，充分展示学生的思维过程，让学生学会“理性”思考，从而归纳出互为相反数的意义．让学生意识到数学“源于生活，又高于生活”；在认识相反数的意义的过程中，通过数形结合，将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性．
1．2.4 绝对值
第1课时 绝对值
教学目标
1．理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法；(重点)
2．会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数；(难点)
3．通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的学习兴趣，提高学生对数学的好奇心和求知欲．
教学过程
一、情境导入
从一栋房子里，跑出有两只狗(一灰一黄)，有人在房子的西边3米处以及房子的东边3米处各放了一根骨头，两狗发现后，灰狗跑向西3米处，黄狗跑向东3米处分别衔起了骨头．
问题：1.在数轴上表示这一情景．
2．两只小狗它们所跑的路线相同吗？
3．两只小狗它们所跑的路程一样吗？
在实际生活中，有时存在这样的情况，有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向．在我们的数学中，就是不需要考虑数的正负性，比如：在计算小狗所跑的路程时，与狗跑的方向无关，这时所走的路程只需要用正数来表示，这样就必需引进一个新的概念——绝对值．
二、合作探究
探究点一：绝对值的意义及求法
【类型一】 求一个数的绝对值
例1 －3的绝对值是( )
A．3 B．－3 C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.故选A.
方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【类型二】 利用绝对值求有理数
例2 如果一个数的绝对值等于eq \f(2,3)，则这个数是__________．
解析：∵eq \f(2,3)或－eq \f(2,3)的绝对值都等于eq \f(2,3)，∴绝对值等于eq \f(2,3)的数是eq \f(2,3)或－eq \f(2,3).
方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外．
【类型三】 化简绝对值
例3 化简：|－eq \f(3,5)|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
解析：|－eq \f(3,5)|＝eq \f(3,5)；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.
方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a.
探究点二：绝对值的性质及应用
【类型一】 绝对值的非负性及应用
例4 若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
解析：由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2015|≥0，则有|a－3|＝|b－2015|＝0.
解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.
方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.
【类型二】 绝对值在实际问题中的应用
例5 第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
解析：由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．
解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．
(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球
|－0.15|＝0.15，合格品．
方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．
三、板书设计
1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.
2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a>0）,0（a＝0）,－a（a<0）))或|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0）,－a（a<0）))
教学反思
绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是一个难点内容．教材从几何的角度给出绝对值的概念，也就是从数轴上表示数的点的位置出发，得出定义的．
在数学教学过程中，要千方百计教给学生探索方法、使学生了解知识的形成过程，并掌握更多的数学思想、方法；教学过程中做到形数兼备、数形结合．
第2课时 有理数大小的比较
教学目标
1．掌握有理数大小的比较法则；(重点)
2．会比较有理数的大小，并能正确地使用“>”或“<”号连接；(重点)
3．能初步进行有理数大小比较的推理和书写．(难点)
教学过程
一、情境导入
某一天我国5个城市的最低气温如图所示：
(1)从刚才的图片中你获得了哪些信息？
(2)比较这一天下列两个城市间最低气温的高低(填“高于”或“低于”)．
广州______上海；北京______上海；北京______哈尔滨；武汉______哈尔滨；武汉______广州．
二、合作探究
探究点一：借助数轴比较有理数的大小
【类型一】 借助数轴直接比较数的大小
例1 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，eq \f(1,2)，－1eq \f(1,2)，4，0.
解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较．
解：如图所示：
因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－1eq \f(1,2)＜0＜eq \f(1,2)＜4＜＋5.
方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键．
【类型二】 借助数轴间接比较数的大小
例2 已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是( )
A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a
C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b
解析：由图可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，则有：－b＜a＜－a＜b.故选D.
方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小．
探究点二：运用法则比较有理数的大小
【类型一】 直接比较大小
例3 比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；
(2)－3和－5；
(3)－2.5和－|－2.25|；
(4)－eq \f(3,5)和－eq \f(3,4).
解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；
(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；
(3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；
(4)因为|－eq \f(3,5)|＝eq \f(3,5)，|－eq \f(3,4)|＝eq \f(3,4)，eq \f(3,5)＜eq \f(3,4)，所以－eq \f(3,4)<－eq \f(3,5).
方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小．
【类型二】 有理数的最值问题
例4 设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为( )
A．0，－1，1 B．1，0，－1
C．1，－1，0 D．0，1，－1
解析：因为a是绝对值最小的数，所以a＝0，因为b是最大的负整数，所以b＝－1，因为c是最小的正整数，所以c＝1，综上所述，a、b、c分别为0、－1、1.故选A.
方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1.
三、板书设计
1．借助数轴比较有理数的大小：
在数轴上右边的数总比左边的数大
2．运用法则比较有理数的大小：
正数与0的大小比较
负数与0的大小比较
正数与负数的大小比较
负数与负数的大小比较
教学反思
本节课的教学目标是让学生掌握比较有理数大小的两种方法，教学设计主要是从基础出发，从简单到复杂，层层递进，让学生更加深刻地认识和掌握有理数大小比较的方法．通过本节的教学，大部分学生能够理解法则的内容，但真正掌握有理数的大小比较的方法还需要一定量的练习进行巩固．同时在教学中还要充分发挥学生的主体意识，让学生逐步解决所设计的问题，并能举一反三．
一号球
二号球
三号球
四号球
五号球
六号球
－0.5
0.1
0.2
0
－0.08
－0.15
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