高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性学案，共13页。

知识点 偶、奇函数
1．偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且________，则称y＝f(x)为奇函数．
3．奇、偶函数的图像特征
(1)奇函数的图像关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图像关于________对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
状元随笔 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
基础自测
1.(多选)设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中错误的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(x)·f(－x)＜0D．f(0)＝0
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝|x|B．y＝3－x
C．y＝1x3D．y＝－x2＋14
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )
A．－2B．2
C．0D．不能确定
4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 函数奇偶性的判断[教材P102例1]
例1 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2)f(x)＝x2＋1；
(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1，3].
【解析】 (1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．
(2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x2＋1是偶函数．
(3)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－1)＝0，f(1)＝2，所以f(－1)≠f(1)且f(－1)≠－f(1)，
因此函数f(－x)＝－x＋1既不是偶函数也不是奇函数．
(4)因为函数的定义域为[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3∉[－1，3]，所以函数f(x)＝x2，x∈[－1，3]既不是奇函数也不是偶函数．
教材反思
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝1-x2x；
(4)f(x)＝x+1，x＞0，-x+1，x＜0.
先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．
题型2 函数奇偶性的图像特征[经典例题]
例2 设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．
根据奇函数的图像关于原点对称作图，再求出f(x)＜0的解集．
方法归纳
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
跟踪训练2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小．

方法一利用偶函数补全图像，再比较f(1)与f(3)的大小；
方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图像判断大小．
题型3 利用函数奇偶性求参数[经典例题]
利用定义法求a，也可利用特值法f(－1)＝－f(1)．
例3 (1)设函数f(x)＝x+1x+ax为奇函数，则a＝________；
(2)已知函数f(x)＝-x2+x，x＞0，ax2+x，x＜0是奇函数，则a＝________．
方法归纳
由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．
(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0，0)对称．
(2)f(0)＝0？
题型4 函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]
例4 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1，1)，在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0.
状元随笔 1.由奇函数得f(－x)＝－f(x)．
2．函数单调递减，若f(x1)＜f(x2)得x1＞x2.
3．定义域易忽略．
方法归纳
1．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
跟踪训练4 (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求实数a的取值范围．
(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
状元随笔 (1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．
(2)两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．
3．1.3 函数的奇偶性
新知初探·自主学习
知识点
2．－x∈D f(－x)＝－f(x)
3．(1)原点 (2)y轴
[基础自测]
1．解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，
所以f(－x)－f(x)＝0正确，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．
f(－x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，
f(0)＝0不一定成立．故选ACD.
答案：ACD
2．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
答案：C
3．解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
答案：B
4．解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
答案：(2)(4) (1)(3)
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪0，1.
即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f(－x)＝1--x2-x＝－1-x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪0，+∞，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪0，+∞，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
例2 【解析】 由奇函数的性质知，其图像关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图像如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2【答案】 {x|－2跟踪训练2 解析：方法一 因函数f(x)是偶函数，
所以其图像关于y轴对称，补全图如图．
由图像可知f(1)方法二 由图像可知f(－1)又函数y＝f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(1)例3 【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知f(－x)＝－f(x)，
即-x+1-x+a-x＝－x+1x+ax.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即-1+1-1+a-1＝－1+11+a1，
整理得a＝－1.
(2)(特值法) 由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，
即a×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)，
整理得a－1＝0，解得a＝1.
【答案】 (1)－1 (2)1
跟踪训练3 解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝23.
又f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，
即－b2a＝0，解得b＝0.
(2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，
所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0.
即2ax2＝0，所以a＝0.
答案：(1)23 0 (2)0
例4 【解析】 ∵y＝f(x)，x∈(－1，1)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＋f(1－3x)<0可化为f(1－x)<－f(1－3x)，
即f(1－x)又∵y＝f(x)在(－1，1)上是减函数，
∴f(1－x)3x-1⇔00跟踪训练4 解析：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴-1≤1-a2≤1，-1≤1-a≤1，-1≤a-1≤1，1-a2>a-1，解得0≤a2≤2，0≤a≤2，-2∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0，1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于-2≤1-m≤2，-2≤m≤2，1-m>m，解得－1≤m<12.
∴实数m的取值范围是-1，12.
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．