数学必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性示范课课件ppt

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1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图像特征解决一些简单问题.
通过函数奇偶性的学习，让学生结合实例，利用图像抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
2.填空　(1)偶函数的定义及图像特征 ①偶函数的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且______________________，则称y＝f(x)为偶函数.②偶函数的图像特征：偶函数的图像关于______对称.反之，图像关于y轴对称的函数一定是____函数.
(2)奇函数的定义及图像特征①奇函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且________________________，则称y＝f(x)为奇函数.②奇函数的图像特征：奇函数的图像关于______对称.反之，图像关于原点对称的函数一定是____函数.
f(－x)＝－f(x)
温馨提醒　(1)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性.(2)既是奇函数，又是偶函数的函数如：f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
3.做一做　判断正误(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )提示　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )提示　函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.(3)奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.( )(4)判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
角度1　一般函数奇偶性的判断
题型一　函数奇偶性的判定
解　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
解　(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
角度2　分段函数奇偶性的判定
解　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数.
角度3　抽象函数奇偶性的判断
例3 (1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
证明　(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x), ∴f(－x)＝－f(x)，又x∈R，关于原点对称，∴f(x)是奇函数.
(2)若函数f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
证明　∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，可见f(－x)的定义域也是(－l，l).若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于坐标原点对称的.又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
判断函数奇偶性的四种方法：(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系.(2)图像法：观察函数的图像是否关于原点或y轴对称.(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.
训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
解　函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
解　(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
例4 (1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值为(　　)
题型二　奇、偶函数的图像特征
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使f(x)＜0的解集为__________________.
(－2，0)∪(2，5)
(1)先判断函数的奇偶性；(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
题型三　利用函数奇偶性求参数(值)
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，整理得2a＝8，∴a＝4.
利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决.(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R，等式恒成立的特征求参数.
解析　由题意可知2b－5＋2b－3＝0，即b＝2.又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＋2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0，
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列说法中错误的个数为(　　)①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图像关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图像一定过坐标原点；④偶函数的图像一定与y轴相交.A.4 B.3C.2 D.1
2.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　)A.f(x)f(－x)>0B.f(x)f(－x)<0C.f(x)f(－x)
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
3.(多选)下列函数为偶函数的是(　　)
5.如果f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)不恒为0，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)A.y＝x＋f(x) B.y＝xf(x)C.y＝x2＋f(x) D.y＝x2f(x)
解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).令y＝g(x).对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，又y＝g(x)的定义域为R，∴y＝x＋f(x)是奇函数.对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，又y＝g(x)的定义域为R，
∴y＝xf(x)是偶函数.对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数.对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，又y＝g(x)的定义域为R，∴y＝x2f(x)是奇函数.
6.下列函数为偶函数的是________(只填序号).
7.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
解析　∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，∴f(－2)＝－f(2)＝－(4＋1)＝－5.又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5＋0＝－5.
8.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
解析　在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.
9.判断下列函数的奇偶性：
解　f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称.又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，∴f(x)＝x4－3x2是偶函数.
10.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，求证：g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数.
证明　∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx，其定义域为R，又g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x).∴g(x)为奇函数.
11.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　)
13.已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值.
14.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝ ________，单调递减区间是________.
解析　根据题意，f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，