2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期末数学试卷

一．单项选择题:共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•南京期末）若复数满足，则　　

A．1 B． C．2 D．

2．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）（2021春•南京期末）某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为　　

A．18 B．20 C．22 D．24

4．（5分）（2021春•南京期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•南京期末）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021春•南京期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）（2021春•南京期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则面积的最大值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）（2021春•南京期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求　　

A． B． C． D．

二．多选题:本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

9．（5分）（2021春•南京期末）已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为　　

A． B． C． D．

10．（5分）（2021春•南京期末）在中，．若，则的值可以等于　　

A． B． C．2 D．3

11．（5分）（2021春•南京期末）已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是　　

A．棱台的侧面积为 

B．棱台的高为 

C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 

D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为

12．（5分）（2021春•南京期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，，当取到最大值时，则下列说法正确的是　　

A．的最大值是 B．的最大值是 

C． D．

三．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13．（5分）（2021春•南京期末）计算：　　．

14．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，则　　．

15．（5分）（2021春•南京期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，是边长为4的正三角形，，是边上的一动点，则的最小值为 　　．

16．（5分）（2021春•南京期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，（单位：米），则　　；四边形的面积为 　　（平方米）．

四．解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•南京期末）在①，②为纯虚数，③且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若______，求实数的值或取值范围．

18．（12分）（2021春•南京期末）已知的最小正周期为．

（1）求的值，并求的单调递增区间；

（2）求在区间上的值域．

19．（12分）（2021春•南京期末）如图，在平行四边形中，，，．

（1）求；

（2）求．

20．（12分）（2021春•南京期末）百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目．100年来，中国社会沧桑巨变．今年是我国建党一百周年，某班（共50名同学）举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩（均在之间）绘制成频率分布直方图如图．

（1）求的值，并求在，的学生总人数；

（2）若从成绩在，的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在，的概率．

21．（12分）（2021春•南京期末）如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面．

（1）求证：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

22．（12分）（2021春•湖北期末）如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，，，剩余部分需做绿化，设．

（1）若，求的长；

（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由．

2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．单项选择题:共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•南京期末）若复数满足，则　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

2．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，

根据正弦定理得：，解得．

故选：．

3．（5分）（2021春•南京期末）某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为　　

A．18 B．20 C．22 D．24

【解答】解：根据分层抽样原理，抽取容量为60的样本时，

应从高二年级抽取的学生人数为（人．

故选：．

4．（5分）（2021春•南京期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，

由正弦定理

可化成，

，由余弦定理可得：

，

故选：．

5．（5分）（2021春•南京期末）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，底面是正方形，则，几何体是正方体，可知

，，

平面，

平面，

，

异面直线、所成角是．

故选：．

6．（5分）（2021春•南京期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由向量与平行得，

由正弦定理得，又，，

，在中，．

故选：．

7．（5分）（2021春•南京期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则面积的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

根据正弦定理得，，且，

，且，

，

时，面积取最大值．

故选：．

8．（5分）（2021春•南京期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，具题意构造直角梯形，设，，令，，，

，分别是，的中点，，分别是，的中点，如图建立平面直角坐标系，

则，，，，所以，，，，

所以，，所以．

故选：．

二．多选题:本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

9．（5分）（2021春•南京期末）已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为复数的实部与虚部之和为，

则，即，

所以或，

又，所以或或．

故选：．

10．（5分）（2021春•南京期末）在中，．若，则的值可以等于　　

A． B． C．2 D．3

【解答】解：

，

，

化简可得，

解得或，

若，为的内角，，

，，，

；

若，由正弦定理得，，

综上所述，的值为或3．

故选：．

11．（5分）（2021春•南京期末）已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是　　

A．棱台的侧面积为 

B．棱台的高为 

C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 

D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为

【解答】解：由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，

取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，

在等腰梯形中，，，，

则，，

故棱台的侧面积为，故正确，

易知为棱台的高，在中，，，

在△中，，故错误，

棱台的侧棱与底面所成角为，，故正确，

棱台的侧面与底面所成锐二面角为，，故错误，

故选：．

12．（5分）（2021春•南京期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，，当取到最大值时，则下列说法正确的是　　

A．的最大值是 B．的最大值是 

C． D．

【解答】解：延长，交线段于点；

设，则，，，

则

，

故当时，有最大值为，

故错误，正确；

当时，，

则，

又，，

，，；

故错误，正确．

故选：．

三．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13．（5分）（2021春•南京期末）计算：　　．

【解答】解：，

．

故答案为：．

14．（5分）（2021春•南京期末）在中，若，则　　．

【解答】解：如图：

由知四边形是菱形，和都是等边三角形，

．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•南京期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，是边长为4的正三角形，，是边上的一动点，则的最小值为 　　．

【解答】解：如图，连结，

因为平面平面，平面平面，，

所以平面，又平面，

所以，则，

要使得的值最小，则求的最小值即可，

在中，当时，有最小值，

此时，

又，

所以的最小值为．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•南京期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，（单位：米），则　　；四边形的面积为 　　（平方米）．

【解答】解：如图，连接，由题意可得，

可得，

由余弦定理可得，即，

解得：，

所以，

所以，可得，，

所以四边形的面积（平方米）．

故答案为：，．

四．解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•南京期末）在①，②为纯虚数，③且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若______，求实数的值或取值范围．

【解答】解：若选①：

因为且，

所以，即，

则或；

若选②：

因为且为纯虚数，

所以且，

则；

若选③：

因为，

又对应的点在第一象限内，

则有，所以或．

18．（12分）（2021春•南京期末）已知的最小正周期为．

（1）求的值，并求的单调递增区间；

（2）求在区间上的值域．

【解答】解：（1）由的最小正周期为，则，

，所以，，则，令，则，

函数的单调递增区间为，

由，得，

因此，函数的单调递增区间为；

（2）因为，所以，，

则，故函数的值域为，．

19．（12分）（2021春•南京期末）如图，在平行四边形中，，，．

（1）求；

（2）求．

【解答】解：（1）平行四边形中，，，．

．

（2），

．

所以．

20．（12分）（2021春•南京期末）百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目．100年来，中国社会沧桑巨变．今年是我国建党一百周年，某班（共50名同学）举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩（均在之间）绘制成频率分布直方图如图．

（1）求的值，并求在，的学生总人数；

（2）若从成绩在，的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在，的概率．

【解答】（1）根据竞赛成绩落在之间频率和为1可得：，解得．

根据频率分布直方图可得成绩落在，的学生人数为；

（2）根据频率分布直方图可得成绩落在，和，的人数分别为．和．

在，和，的人分别记作、和、、、，

从中随机选出2人的所有情况为：，，，，，，

，，，，，，，，共15种．

至少有一人成绩在，的概率为．

21．（12分）（2021春•南京期末）如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面．

（1）求证：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：因为垂直于圆所在的平面，即平面，

又平面，所以，

因为是以为直径的半圆上一点，

所以，

又，，平面，

所以平面；

（2）解：连结，在半圆中，因为，所以，

又是的中点，则，

在中，过点作，垂足为，连结，

则平面，

所以即为二面角的平面角，

因为，由，则，可得，

所以，

在中，，

所以二面角的余弦值为．

22．（12分）（2021春•湖北期末）如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，，，剩余部分需做绿化，设．

（1）若，求的长；

（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由．

【解答】解：（1）设千米，当时，为等边三角形，所以，

由，，得，

中，，，所以，所以，

所以，解得，

所以千米；

（2）中，，由正弦定理得，

解得；

中，，由正弦定理得，

解得；

由，得，

即，

解得；

由，

所以当取得最小值时，

的面积取得最小值为（平方千米）．

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