初中数学人教版八年级上册14.3.1 提公因式法测试题

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14.3.1提公因式法 培优卷


一、单选题
1．已知a+b=,ab=2,则3a2b+3ab2的值为（ ）
A． B． C．6+ D．2+
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意先因式分解（提公因式）可得3a2b+3ab2=3ab（a+b），整体代入可得原式=3×2×=6.
故选：A.
点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.
2．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）
【答案】C
【详解】
把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
3．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )

A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】D
【分析】
先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】
解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选D．
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
4．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：A、，是因式分解，故此选项正确；
B、（x+2）（x+3）=x2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；
C、4a2-9b2=（2a-3b）（2a+3b），故此选项错误；
D、m2-n2+2=（m+n）（m-n）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．
5．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用因式分解的定义结合整式乘法运算法则进而分析得出答案．
【详解】
解：A、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、，从左到右是因式分解，符合题意；
C、，从左到右变形是整式的乘法运算，故此选项错误；
D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．
6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是(　　　)
A．a(4﹣y2)=4a﹣ay2
B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣(2x﹣3y)2
C．x2+3x﹣1=x(x+3)﹣1
D．x2+y2=(x+y)2﹣2xy
【答案】B
【分析】
根据因式分解的意义，可得答案．
【详解】
解：A．属于整式乘法运算，不属于因式分解；
B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣(2x﹣3y)2，属于因式分解；
C．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解；
D．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键．
7．下列分解因式正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用平方差公式以及完全平方公式分别分解因式得出答案．
【详解】
A、，分解因式不彻底，故此选项错误；
B、，正确；
C、，是整式的乘法，故此选项错误；
D、不能分解因式，故此选项错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
8．多项式各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】
=6a2x2（2-3a2x），
6a2x2是公因式，
故选：D．
【点睛】
此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“-1”．


二、填空题
9．（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×________.
【答案】（a-b+x-y）
【详解】
运用公因式的概念，把多项式（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2运用提取公因式法因式分解（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.
故答案为（a-b+x-y）.
点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.
10．把多项式(x－2)2－4x＋8分解因式，哪一步开始出现了错误____
解：原式＝(x－2)2－(4x－8)…A
＝(x－2)2－4(x－2)…B
＝(x－2)(x－2＋4)…C
＝(x－2)(x＋2)…D
【答案】C
【解析】
根据题意，第一步应是添括号（注意符号变化），解法正确，第二步先对后面因式提公因式4，再提取公因式（x-2）这时出现符号错误，所以从C步出现错误.
故选C.
11．5(m－n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．
【答案】 (m-n)4， （5+m-n）
【解析】把多项式5(m－n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m－n)4-(n-m)5=(m－n)4（5+m-n）.
故答案为：(m-n)4，（5+m-n）.
12．当时，________.
【答案】
【解析】
【分析】
先对绝对值内进行化简，然后根据，判断绝对值内部的正负性，从而去根据去绝对值法则去绝对值即可.
【详解】
，
∵，
∴且，
∴
∴
【点睛】
本题考查去绝对值，对于任意一个数或式a都有 ，去绝对值时需先对绝对值内的式子进行化简，再判断其正负性.
13．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
【答案】
【分析】
根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【详解】
解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
14．（1）已知，，则______．
（2）对于一切实数，等式均成立，则的值为______．
（3）已知多项式可以分解为的形式，则的值是______．
（4）如果，则______．
【答案】（1）; （2）9; （3）; （4）0.
【分析】
（1）根据积的乘方和幂的乘方，将整体代入即可；
（2）将等式后面部分展开，即可求出p、q的值，代入即可；
（3）根据多项式乘法法则求出，即可得到关于m、n的方程组，解之即可求得m、n、的值，代入计算即可；
（4）4个一组提取公因式，整体代入即可.
【详解】
（1），，


（2）对一切实数均成立，
，

（3），


解得

（4），



故答案为 −5；9； ；0.
【点睛】
本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.
15．－3x2＋2x－1＝____________＝－3x2＋_________.
【答案】 －(3x2－2x＋1) (2x－1)
【解析】根据提公因式的要求，先提取负号，可得－(3x2－2x＋1)，再把2x-1看做一个整体去括号即可得（2x-1）.
故答案为：－(3x2－2x＋1) ，(2x－1).
16．已知，，则代数式的值是__________．
【答案】-6
【分析】
将所求的代数式利用提公因式法进行因式分解，然后代入求．
【详解】
解：∵，，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，以及因式分解——提公因式法，口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．

三、解答题
17．请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）
【答案】（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）
【解析】试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；
（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；
（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；
（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；
（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；
（6）运用提取公因式法因式分解即可；
（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.
试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)
（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2
（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)
（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)
（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；
（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）
18．（1）已知，求的值．
（2）如果，求的值．
【答案】（1）4; （2）0.
【分析】
将第一个式子变形后代入第二个式子，化简变形后整体代入已知等式求解；
将所求式子分组后，提取公因式变形，将已知等式代入计算即可.
【详解】
（1），即，





（2），



【点睛】
本题考查的是整式的运算及分解因式，能正确的对算式进行变形及分解是关键.
19．化简：，且当时，求原式的值．
【答案】，-1
【分析】
原式逐步提取公因式，计算即可得到结果．
【详解】
解：原式

……

∴当时，原式．
【点睛】
此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
20．用提公因式法分解多项式：
【答案】
【解析】
试题分析：根据提公因式法--因式分解，确定公因式后提取公因式即可.
试题解析：.
21．
【答案】
【分析】
用提取公因式分解即可.
【详解】
解：
=
=
=
=
=
【点睛】
本题考查了用提取公因式分解因式，解题的关键找到公因式并彻底分解.
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）；(3) (x＋1)
【分析】
（1）根据已知材料直接回答即可；
（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；
（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．
【详解】
（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
故答案为提公因式法，2次；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]
⋯
=
=（1+x）2005，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
故答案为（x+1）n+1．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
23．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次；
（2）若分解，则需应用上述方法______次，结果是______；
（3）分解因式：.（为正整数）
【答案】(1)提取公因式法 ，2；(2)2014 ， ；(3)
【分析】
（1）根据已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案；（2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案；（3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案.
【详解】
（1）上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次；
（2）
=
=
=
=…
=
∴分解，需应用上述方法2014次，结果是；
（3）
=
=
=
=…
=
=
【点睛】
本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解答此题的关键.
24．把一个各个数位均不为0的正整数重新排列各数位上的数字，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为．例如，357的差数，2133的差数
（1）＝__________﹐＝_________．
（2）已知一个三位数（其中）的差数，且这个三位数各数位上的数字之和为7的倍数，求这个三位数：
（3）若一个两位数，一个三位数，（其中，，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数，当m的个位数字的3倍与的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中的最大值．
【答案】（1）；；（2）824；（3）396
【分析】
（1）根据原数的差数的定义即可求解；
（2）根据原数的差数的定义求出a的值，根据这个三位数各数位上的数字之和为7的倍数求出b的值，即可；
（3）根据两位数m=11a+b，一个三位数n=111a+b+199得出的表达式，根据能被11整除及1≤a≤4，1≤b≤5，讨论出a和b的值，从而可得T（n）的最大值．
【详解】
解：（1）T（426）=642246=396，
T（3152）=53211235=4086，
故答案为：396，4086．
（2），
∴，
∴，
∵，为7的倍数
∴，
∴
∴这个三位数为824；
（3）根据题意，∵，
∴，
∴
∴

∵，
∴
∵为11的倍数
∴，22，33
解得：或
∴，，
，，
∴的最大值为396；
【点睛】
本题考查了用提取公因式法进行因式分解在新定义类问题与数论问题中的应用，分类讨论是解答本题的重要方法，本题具有一定的难度．
25．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最大的“和平数”是___．
(2)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．
设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值 ，“相关和平数”值是 ．
求证：任意的两个“和平数”与“相关和平数”之和是1111的倍数．
(3)求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
【答案】(1)9999；(2)1000a+100b+10c+d，1000b+100a+10d+c，证明见解析；(3) 2754和4848
【分析】
(1)根据题意即可得到结论；
(2)根据题目意思表示出“和平数”和“相关和平值”即可，设任意两个“相关和平数”为，（a、b、c、d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论；
(3)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，再分情况讨论即可得出结果．
【详解】
解：(1)由题知：最大的“和平数”9999；
(2)“和平数”：1000a+100b+10c+d，“相关和平数”：1000b+100a+10d+c，
设任意两个“相关和平数”为，（a、b、c、d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
∴+=1100（a+b）+11（c+d），
∵a+b=c+d，
∴+=1100（a+b）+11（a+b）=1111（a+b），
∴两个“相关和平数”之和是1111的倍数；
(3)设这个“和平数”为，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
则a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，
当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5，b=7，
当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4，b=8，
综上所述：这个数为2754和4848．
【点睛】
本题主要考查的是定义新运算以及因式分解，掌握以上两个知识点是解题的关键．
26．分解因式： （m,n均为大于1的整数）
【答案】
【解析】
试题分析：根据m,n均为大于1的整数，确定出指数最小的是哪一项，然后确定公因式再提取公因式即可.
试题解析：