人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集学案

  2.1.1　等式的性质与方程的解集

最新课程标准：(1)掌握等式的性质及常用的恒等式．(2)会用因式分解解一元二次方程．

知识点一　等式的性质

(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；

(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．

　用符号语言和量词表示上述等式的性质：

(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；

(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.

知识点二　恒等式

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．

　初中学习的恒等式

(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)；

(2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(两数和的平方公式)；

(3)(a＋b)c＝ac＋bc；

(4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)．

知识点三　方程的解集

方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．

[基础自测]

1．分解因式a2＋8ab－33b2得(　　)

A．(a＋11)(a－3)　　　　　　

B．(a＋11b)(a－3b)

C．(a－11b)(a－3b) 

D．(a－11b)(a＋3b)

解析：a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．

答案：B

2．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是(　　)

A．1＋3x－4y  B．－1－3x－4y

C．1－3x－4y  D．－1－3x＋4y

解析：－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，

所以另一个因式是(1－3x－4y)．

答案：C

3．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a的值为(　　)

A．－      B.

C．－或  D．不存在

解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，

即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.

所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.

解得a＝－或a＝.

答案：C

4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．

解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，

所以x＝3或x＝－5.

所以方程的解集为{3，－5}．

答案：{3，－5}

题型一　因式分解[经典例题]

例1　把下列各式因式分解：

(1)6x2＋11x－7；

(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；

(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2.

【解析】　(1)由图，得

所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．

(2)(＋6)(－)；

(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z).

利用十字相乘法因式分解

方法归纳

对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．

跟踪训练1　把下列各式分解因式：

(1)x2－3x＋2＝________；

(2)x2＋37x＋36＝________；

(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；

(4)4m2－12m＋9＝________.

解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；

(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)；

(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28

＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]

＝(a－b＋4)(a－b＋7)；

(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.

答案：(1)(x－1)(x－2)　(2)(x＋1)(x＋36)

(3)(a－b＋4)(a－b＋7)　(4)(2m－3)2

题型二　一元一次方程的解集[经典例题]

例2　求下列方程的解集：

(1)4－3(10－y)＝5y；

(2)＝－1.

【解析】　(1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.

合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.

所以该方程的解集为{－13}．

(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.

去括号，得4x－2＝2x＋1－6.

移项，得4x－2x＝1－6＋2.

合并同类项，得2x＝－3.

系数化为1，得x＝－.

所以该方程的解集为.

把方程化成ax＝b的形式，求x＝.

方法归纳

解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．

跟踪训练2　如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值．

解析：解方程－8＝－，

去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，

去括号，得2x－8－48＝－3x－6，

移项、合并同类项，得5x＝50，

系数化为1，得x＝10.

把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，

得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.

当a＝－4时，a－＝－4－＝－.

题型三　因式分解法解一元二次方程[教材P45例2]

例3　求方程x2－5x＋6＝0的解集．

【解析】　因为x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)＝0，

从而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝2或x＝3，因此方程的解集为{2,3}.

教材反思

用因式分解法解一元二次方程的步骤

(1)将方程右边化为0；

(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；

(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．

[提醒]　①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．

跟踪训练3　用因式分解法求下列方程的解集：

(1)x＝x；

(2)(x－3)2＋2x－6＝0；

(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.

解析：(1)x＝0，

即x＝0，

所以x1＝0，x2＝，

所以该方程的解集为.

(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，

(x－3)(x－3＋2)＝0，

所以x－3＝0或x－1＝0，

所以x1＝3，x2＝1，

所以该方程的解集为{3,1}．

(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，

所以(10x－1)(2x＋19)＝0，

所以10x－1＝0或2x＋19＝0，

所以x1＝，x2＝－.

所以该方程的解集为.

课时作业 7

一、选择题

1．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得(　　)

A．(a＋b＋10)(a＋b－2)　　B．(a＋b＋5)(a＋b－4)

C．(a＋b＋2)(a＋b－10)  D．(a＋b＋4)(a＋b－5)

解析：(a＋b)2＋8(a＋b)－20＝[(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．

答案：A

2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是(　　)

A．a＝10，b＝2      B．a＝10，b＝－2

C．a＝－10，b＝－2  D．a＝－10，b＝2

解析：因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，

所以即.

答案：C

3．方程2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)的解集为(　　)

A.      B.

C．{－2}  D．{2}

解析：因为2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)，

所以2x－x－10＝5x＋2x＋2，

即－6x＝12，

所以x＝－2.

答案：C

4．多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是(　　)

A．x－1   B．x＋1

C．x2－1  D．(x－1)2

解析：∵mx2－m＝m(x2－1)＝m(x＋1)(x－1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，∴公因式为x－1，故选A.

答案：A

二、填空题

5．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________．

解析：因为3x(x－2)＝2－x，

所以3x(x－2)－(2－x)＝0，

即3x(x－2)＋(x－2)＝0，

所以(x－2)(3x＋1)＝0，

所以x＝2或x＝－，

所以方程的解集为.

答案：

6．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．

解析：因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，

所以2－13(m－1)＝2，

即m＝1.

所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)等于(x－3)－2＝2x－5.

解得x＝0.

所以方程的解集为{0}．

答案：{0}

7．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________.

解析：设a＋b＝x，则原方程可化为4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，

解得x1＝－，x2＝1.则a＋b＝－或1.

答案：－或1

三、解答题

8．因式分解：

(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y.

(2)4xy＋1－4x2－y2.

解析：(1)x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y

＝(x＋2y)(x＋y)＋2(x＋2y)

＝(x＋2y)(x＋y＋2)．

(2)4xy＋1－4x2－y2

＝1－(4x2－4xy＋y2)

＝1－(2x－y)2

＝(1＋2x－y)(1－2x＋y)．

9．用因式分解法求下列方程的解集：

(1)x2－10x＋9＝0；

(2)2(x－3)＝3x(x－3)；

(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；

(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；

(5)2x2－16＝x2＋5x＋8；

(6)(3x－1)2＋3(3x－1)＋2＝0.

解析：(1)(x－1)(x－9)＝0，

所以x1＝1，x2＝9；

所以该方程的解集为{1,9}．

(2)整理，得(x－3)(2－3x)＝0，

所以x－3＝0或2－3x＝0，

所以x1＝3，x2＝；

所以该方程的解集为.

(3)4(3x－2)(x＋1)－3(x＋1)＝0，

所以(x＋1)(12x－11)＝0，

所以x1＝－1，x2＝；

所以该方程的解集为.

(4)(2x－3)[2(2x－3)－3]＝0，

(2x－3)(4x－9)＝0，

所以x1＝，x2＝；

所以该方程的解集为.

(5)2x2－x2－5x－16－8＝0，

x2－5x－24＝0，

(x－8)(x＋3)＝0，

所以x1＝8，x2＝－3；

所以该方程的解集为{8，－3}．

(6)[(3x－1)＋1][(3x－1)＋2]＝0，

3x(3x＋1)＝0，

所以x1＝0，x2＝－；

所以该方程的解集为.

[尖子生题库]

10．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n.求m－n的值．

解析：将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为

(2 0182x＋1)(x－1)＝0，

所以x1＝－，x2＝1，

所以m＝1.

同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0可得

(x＋2 019)(x－1)＝0，

所以x1＝－2 019，x2＝1，

所以n＝－2 019，

所以m－n＝2 020.