6.4用样本估计总体的数字特征 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

6.4用样本估计总体的数字特征北师大版（  2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 中国营养学会把走路称为”最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：

则下列结论中正确的是(    )

A. 这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为
B. 乙的日步数星期四比星期三增加了倍以上
C. 这一星期内甲的日步数的平均值小于乙
D. 这一星期内甲的日步数的方差大于乙

2. 一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(    )

A. ，， B. ，
C. ，， D. ，

4. 某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，已知这组数据的平均数为，方差为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据记录数据都是正整数，单位：：

甲地：个数据的中位数为，极差不超过；

乙地：个数据的中位数为，总体均值为；

丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为．

其中肯定进入夏季的地区有(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知样本数据由小到大依次为，，，，，，，，，，且样本的中位数为，若使该样本的方差最小，则，的值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的天，再从每天生产的零件中分别随机抽取件，要求每天合格品均不低于件．若甲、乙、丙三人在其天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为，极差不超过；乙：平均数为，方差不超过；丙：众数为，方差不超过，则一定能通过试用期的有

A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙

8. 德州市政府部门为了解本市的“全国文明城市”创建情况，在本市县市、区中随机抽查了甲、乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核在两个县的量化考核中再各随机抽取个单位的量化考核成绩，得到下图数据以此为依据对甲乙两县的创城工作进行分析，关于甲乙两县的考核成绩，下列结论正确的是(    )

A. 甲县样本数据的平均数是
B. 甲县样本数据众数小于乙县样本数据众数
C. 甲县样本数据的分位数是
D. 不低于的数据个数，甲县多于乙县

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(    )

A. 甲地：中位数为，众数为
B. 乙地：总体平均数为，中位数为
C. 丙地：极差为，第百分位数为
D. 丁地：总体平均数为，总体方差为

10. 多选甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(    )

A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C. 甲的成绩的分位数等于乙的成绩的分位数
D. 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(    )

A. 甲地：总体平均数为，中位数为
B. 乙地：中位数为，众数为
C. 丙地：极差为，第百分位数为
D. 丁地：总体平均数为，总体方差为

12. 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了个用户的满意度评分，评分用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高用户对产品的满意度评分如下：，，，，，，，，，则下列说法正确的是(    )

A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的第百分位数为
C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的方差为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据记录数据都是正整数，单位：：

甲地：个数据的中位数为，极差不超过；

乙地：个数据的中位数为，总体均值为；

丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为．

其中肯定进入夏季的地区有___________填序号．

14. 已知数据的平均数与中位数相等，则这组数据的方差为          ．
15. 已知一组样本数据，，，且，平均数，则该组数据的标准差为          ．
16. 在一个容量为的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字未污损，即，，，，，那么这组数据的方差最大时，被污损的两个数据分别是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

通过简单随机抽样，得到户居民的月用水量数据单位：：这户居民平均用水量是，方差是其中用水量最少的户用水量为，，，，用水量最多的户用水量为，，，，．

求个样本数据的和分位数；

估计其它户居民的月用水量的平均数和方差．

18. 本小题分

某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示．

求直方图中的值，并估计复赛选手年龄的平均值同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数；

根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第百分位数；

决赛由名专业评审、名媒体评审和名大众评审分别打分，打分均采用分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差结果保留三位小数．

附：方差．

19. 本小题分
    某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
    
    
    
    根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数
    
    现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
    
    若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽名作为组长，求甲，乙两人至少有一人被选上的概率

若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．

20. 本小题分

某单位为了了解退休职工的生活情况，对名退休职工做了一次问卷调查满分分，并从中随机抽取了名退休职工的问卷，得分情况统计如下

试回答以下问题

求抽取的名退休职工问卷得分的均值和方差．

名退休职工问卷得分在与之间有多少人这些人占名退休职工的百分比为多少

若用样本估计总体，则名退休职工中问卷得分在之间的人数大约为多少

21. 本小题分

某单位为了了解退休职工的生活情况，对名退休职工做了一次问卷调查满分分，并从中随机抽取了名退休职工的问卷，得分情况统计如下：

试回答以下问题：

求抽取的名退休职工问卷得分的均值和方差；

名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占名退休职工的百分比为多少？

若用样本估计总体，则名退休职工中问卷得分在之间的人数大约为多少？

22. 本小题分

某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：

男：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

女：，，，，，，，，，，，，，，，，，．

分别计算和比较男、女生得分的平均数和标准差

分别计算男、女生得分的四分位数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了中位数，平均数以及方差的应用，涉及到折线统计图的应用，考查了学生的推理能力以及运算能力，属于中等题．
由图找出甲的中位数，计算甲乙的平均数，结合折线图逐项分析可得答案．

【解答】

解：由图可知，这一星期内甲的日步数按从小到大分别为：，，，，，，，共个数，由，所以中位数为这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为，故A错误；
乙星期四的日步数为，乙星期三的日步数，，故B错误；
甲的平均数为：，
乙的平均数为：，故C错误；
从折线图看，甲的日步数波动比较大，乙的日步数波动比较小，故甲的日步数的方差大于乙，故D正确．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查平均数和方差的性质，为中档题．
设出原来的数据为，，，，根据平均数和方差的性质，即可求解．

【解答】

解：设原来的数据为，，，，
则，
，
新数据的平均数为，
方差为，
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查样本标准差的计算，属于中档题．

根据各项数据，先求样本平均数，再计算标准差．

【解答】

解：中，平均数为，

标准差为，

同理可得中，平均数为，标准差为，
中，平均数为，标准差为，
中，平均数为，标准差为，
故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了样本的平均数与方差，属于中档题．
根据平均数及方差的计算公式列方程组求得，的关系式，通过换元法求出．

【解答】

解：由题意可得
整理得
设，，
则，
即，
解得，
即．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可，属于中档题．
根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．

【解答】

解：甲地：个数据的中位数为，极差不超过，
根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可以：，，，，．，均为整数，若有低于的，假设取，则极差就会超过，故其连续天的日平均温度均不低于，对；
乙地：个数据的中位数为，总体均值为．
当个数据为，，，，可知其连续天的日平均温度有低于的，故不确定；
丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，故对；
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平均数和方差的求法及应用，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知得，从而求出这组数据的平均数是，结合方差公式及二次函数求出使该总体的方差最小的， 

【解答】

解：因为样本数据由小到大依次为，，，，，，，，，，且样本的中位数为，
，即，
这组数据的平均数是
， 
要使该总体的方差最小，只要最小，
又
，
所以当时，最小，
此时， 
所以，时该样本的方差最小 
故选D 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查样本数据特征，属于基础题．
通过条件，逐个判断甲乙丙三天的数据有没有低于件即可．
【解答】
解：对甲，中位数为，极差不超过，则最小数值大于或等于，；
对乙，若最小数据小于，设三个数据分别为，则方差，不符，
则最小数值大于或等于；
对丙，若三个数分别为，，，符合条件，则最小数值小于，
故能通过试用期的是甲乙，
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查茎叶图和频率分布直方图，考查平均数，众数，百分位数，属于基础题．
求出甲县样本数据的平均数和众数即可判断；通过计算甲县样本数据的分位数判断；分别计算甲、乙两县样本数据中，不低于的数据，即可判断．
【解答】
解：对于，甲县样本数据的平均数，
所以A错误；
对于，甲县样本数据的众数为，乙县样本数据的众数估计为，所以B错误；
对于，因为，并且甲县样本数据从小到大分别为：
，
其中最后一个排在第位，排在第位，
所以甲县样本数据的分位数是，C正确；
对于，甲县样本数据中，不低于的数据有个，乙县样本数据中，不低于的数据有个，D错误．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查中位数、平均数、众数、极差、百分位数以及方差，属于中档题．
对四个选项逐个分析、判断，即可得解．

【解答】

解：中，甲地中位数为，众数为，可以有一天的感染人数为，例如当数据为，，，，，，，，，，时，故 A不正确；
中，乙地总体平均数为，中位数为，若有一个数据超过，因中位数为，按序排列后，第数据都要大于等于，总体平均数大于，与实际矛盾，所以不存在某天的数据超过，故B正确；
中，如果存在大于等于的数据，那么因为极差为，则最小的数据不小于，但第百分位数为，故显然不存在大于等于的数据，故C正确；
中，当丁地总体平均数是，若有一个数据超过，则，则方差就超过，所以总体平均数是，总体方差为时，没有数据超过，故D正确．
故选

10.【答案】 

【解析】解：由图可得， ， ，项错误，项正确
甲的成绩的分位数为，乙的成绩的分位数为 ，所以二者相等，所以项正确
甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差也为，项正确．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查中位数、平均数、众数以及方差，属于综合题．
对四个选项逐个分析、判断，即可得解．

【解答】

解：因为平均数和中位数不能保证某一天的病例不超过人，故A不正确；
乙地中位数为，众数为，可以有一天的感染人数为，故B不正确；
对于选项C：假设过去天新增疑似病例数据存在一个数据，，
而第百分位数为，则该数据从小到大排序后，第个数据小于等于，而，故极差不可能为，
故假设不成立，故符合没有发生大规模群体感染的标志，故正确；
当总体平均数是，若有一个数据超过，则，则方差就超过，
总体平均数是，总体方差为时，没有数据超过，故D正确．
故选CD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了数据的分析与应用问题，也考查了推理与判断能力，属于中档题．
把这组数从小到大排列后，再根据相关数字特征的定义求出众数、百分位数、极差和方差．

【解答】

解：对，这组数从小到大排列为，，，，，，，，，这组数的众数为，A正确；

对，因为，且第个数为，所以这组数据的第百分位数为，B错误；

对，这组数据的极差为，C正确；

对，这组数据的平均数，则这组数据的方差，D错误．

故选AC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可，属于中档题．
根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．

【解答】

解：对于甲地：个数据的中位数为，极差不超过，故最小数据一定大于等于，故甲地肯定进入夏季；
对于乙地：个数据的中位数为，总体均值为，故有个数据大于等于，若剩余两个数据大于等于，，则均值大于，故一定存在小于的数据，所以不符合题意；
对于丙地，：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为若有某一天的气温低于，则总体方差就大于，所以满足题意，
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了中位数与平均数的计算问题，也考查了方差的计算问题，属于中档题．
根据中位数与平均数的定义求出的值，再用方差的公式得出结果即可．

【解答】

解：数据，，，，，
若中位数是时，则平均数为，
解得，不合题意；
若中位数是时，则平均数为，
解得，不合题意；
若中位数是时，则平均数为，
解得，满足题意；
得这组数的方差是：．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查方差、标准差的计算，关键是掌握方差、标准差的计算公式，属于中档题．
根据题意，由方差公式计算可得数据的方差，进而分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，一组样本数据，，，
且，平均数，
则其方差

，
则其标准差，
故答案为：．

16.【答案】； 

【解析】

【分析】

本题考查平均数和方差的计算，属于中档题．
设这组数据的最后个分别是，，且，，根据平均数和方差的计算公式即可求解．

【解答】

解：设这组数据的最后个分别是，，
则，
解得，故，
即
，

分析知，，
所以当时，取得最大值，为，
所以这组数据的方差最大时，被污损的两个数据分别是，．
故答案为；．

17.【答案】解：，则分位数是第项数据，为．
，则分位数是第项和项数据的平均数，为．
设其它个样本为，，，，，，平均数记为，

所以，．
则其它户的用水量的平均数．
户居民的月均用水量数据的方差记为，所求户居民的月均用水量数据的方差记为，

解得．
所以．
所以这户的用水量的平均数，方差为． 

【解析】本题考查样本的数字特征，考查百分位数，平均数以及方差的计算，属于中档题．
根据百分位数的定义以及计算公式即可求解；
根据题意可得，结合方差公式即可求解．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图知，，
解得，
因此复赛选手年龄的平均值
岁．
通过计算知第百分位数落在区间内，设为，
则，
解得，即第百分位数为分
由
设该名选手最终的平均分为，最终方差为，
则分，



估计该选手最终得分为分，其得分方差为． 

【解析】本题考查了频率分布直方图，平均数和方差，属于中档题．
利用频率分布直方图得，再利用频率分布直方图，计算平均值得结论；
利用频率分布直方图，结合第百分位数的概念，计算得结论；
利用平均数和方差的计算公式，计算得结论．
 

19.【答案】解：设这人的平均年龄为，则

岁．

设第百分位数为，

由，解得．

由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙．
对应的样本空间为：

，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点．

设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则

，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点．

所以，．

设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，

则，，，，

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．

则，

．

因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．

据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为．

【解析】本题频率分布直方图、用样本估计百分位数，考查古典概型的计算与应用及方差的计算，属于中档题．
根据频率分布直方图求出平均数，设第百分位数为，由，即可求得的值；
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，写出对应的样本空间，可得“甲、乙两人至少一人被选上”的样本数，即可求得概率；
根据平均数及方差公式求出平均数及方差即可．
 

20.【答案】解：，
 

由知，，从而，

于是名职工问卷得分在与之间有人，所占百分比为；

由可知，名退休职工中问卷调查得分在之间的大约有人．

【解析】本题考查了平均数和方差以及频数分布表，考查计算能力，是一般题．
直接根据公式算出均值和方差；
结合和图表可以得出答案；
根据和公式得出答案．
 

21.【答案】解：，

由知，，从而，

于是名职工问卷得分在与之间有人，所占百分比为 

由可知，名退休职工中问卷调查得分在之间的大约有人．

【解析】本题考查了平均数和方差以及频率，是一般题．
直接根据公式算出均值和方差；
结合和图表可以得出答案；
根据和公式得出答案．
 

22.【答案】解：男生的数据从小到大的排为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，故男生的平均得分为．

男生的方差是，．

女生的数据从小到大排序为：，，，，，，，，，，，，，，，，，．

女生的平均得分是．

女生的方差是，．

男生的数据从小到大的排序为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，．
女生的数据从小到大排序为：，，，，，，，，，，，，，，，，，．
所以男、女生的四分位数分别为：

【解析】本题考查平均数，标准差、四分位数的计算，属于中档题．
利用平均数公式求平均数，再求方差、标准差；
先将得分按从小到大排列，利用求百分位数的方法逐一运算．