沪科版第3章 一次方程与方程组综合与测试单元测试练习

沪科版初中数学七年级上册第三章《一次方程与方程组》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 对于为常数，表述正确的是(    )

A. 当时，方程的解是 B. 当，时，方程有无数解
C. 当，，方程无解 D. 以上都不正确

2. 已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数有个．(    )

A.  B.  C.  D.

3. 有辆客车及个人，若每辆客车乘人，则还有人不能上车，若每辆客车乘人，则只有人不能上车，有下列四个等式：；；；，其中符合题意的是 (    )

A.  B.  C.  D.

4. 一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打折出售，结果获利元，如果设这件夹克衫的成本价是元，那么根据题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知是关于，的方程组的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若方程组的解中与互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 九章算术中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为(    )

A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱

9. 喜迎“二十大”，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出元钱全部用于购买甲、乙两种奖品两种奖品都购买，奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10. 喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．计划用元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品钱全部用尽，两种笔记本都买，已知甲种笔记本每本元，乙种笔记本每本元，则购买方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

11. 我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”则鸡和兔的只数分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

12. 被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等只雀、只燕重量为斤．问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为          ．
14. 一家商店将某种商品按成本价加价作为标价，又以九折销售，如果实际售价为元，那么该种商品的进价为______元．
15. A、、三地依次在同一直线上，，两地相距千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向匀速行驶．行驶小时两车相遇，再经过小时，甲车到达地，然后立即调头，并将速度提高后与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达地，则，两地相距______千米．
16. 已知关于、的方程组的解互为相反数，则常数的值为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定如．
    求的值；
    若，求的值；
    若，求的值．
18. 定义一种新运算“”如：． 求的值；
    若，求的值．
19. 某超市要购进一批保温饭盒出售，现有甲、乙两个批发商处可进货，且每件均要价元．为了招揽顾客，甲批发商说：“凡来我处进货一律九折”；乙批发商说：“如果超出件，则超出的部分打八折”．
    购进多少件时去两个批发商处进货价钱一样多？
    若超市第一次购件，第二次比第一次的倍少件，且每次只能在一个批发商处进货，如果你是超市经理应该如何进货更划算？共花费多少元？
20. 某人自驾车从市前往市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，后十分之一路段也是县道．已知汽车在县道上行驶的速度为在高速公路上行驶的速度为，汽车从市前往市一共行驶了小时．求、两市之间的路程．
21. 先阅读材料，然后解方程组．

材料：解方程组

由，得

把代入，得，解得．

把代入，得．

原方程组的解为

这种方法称为“整体代入法”．

你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用整体代入法解方程组：

22. 已知关于，的方程组．
    请直接写出方程的所有正整数解；
    若方程组的解满足，求的值；
    无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解．
23. 为满足防疫需要，学校要储备抗疫物资，购进甲、乙两款医用口罩共盒，甲、乙两款医用口罩分别是元盒、元盒，共花了元．
    甲、乙两款医用口罩各购进多少盒？
    已知甲、乙两款医用口罩每盒的口罩数量分别是个盒、个盒，按照防疫要求，学校必须储备足够使用天的口罩，学校师生共人，按每人每天储备个口罩计算，问购买的口罩数量是否满足防疫要求？
24. 新冠疫情肆虐春城期间，全市有大批志愿者不畏艰险加入到抗疫队伍中来．“大白”们的出现，给封控小区居民带来了信心，为他们的生活提供了保障．已知某社区在甲小区原有志愿者名，在乙小区原有志愿者名．现有来自延边州支援该社区的志愿者名，分别去往甲小区和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多名，求延边州志愿者去住甲小区的人数．
25. 打折前，买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元．
    打折前，买一件商品和一件商品各需多少元？
    打折后，买件商品和件商品用了元，比不打折少花了多少钱？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元一次方程的概念及解一元一次方程，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次项系数不等于．
为常数，当时，它不是一元一次方程，当时，它是一元一次方程．分两种情况进行讨论．
【解答】
解：、当时，方程的解是，故错误；
B、当，时，方程无解，故错误；
C、当，时，方程有无数解，故错误；
D、以上都不正确．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元一次方程的解，将看做已知数表示出是解本题的关键．
把看做已知数表示出方程的解，根据方程的解为整数确定出整数的值，即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
解得：，
方程有整数解，
为整数，
，，，，，，共个．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查一元一次方程的应用，能够根据不同的等量关系列方程是解题的关键；首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析即可得到答案．
【解答】
解：根据总人数列方程，应是，错误，正确；
根据客车数列方程，应该为，错误，正确；
所以正确的是．
故选D．

4.【答案】 

【解析】解：设这件夹克衫的成本价是元，
由题意得，，
即．
故选A．
设这件夹克衫的成本价是元，根据题意可得，利润标价成本价，据此列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
当，则，．
，．
，．
．
故选：．
根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求得，，进而求得与，再代入求值．
本题主要考查绝对值、偶次方、解二元一次方程组，熟练掌握绝对值的非负性、偶次方的非负性、二元一次方程的解法是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入，
得，
得，即，
得，即，
所以．
故选：．
把、的值代入原方程组可转化成关于、的二元一次方程组，即可求出和的值．
本题考查二元一次方程组的解和代数式求值，把、的值代入原方程组可转化成关于、的二元一次方程组是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程组的解中与互为相反数，
．
解这个方程组，得．
把代入方程，
得．
解这个方程，得．
故选：．
先解二元一次方程组求出、的值，再把、的值代入方程，最后求出的值．
本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设共有人合伙买羊，羊价为钱，
依题意，得：，
解得：．
故选：．
设共有人合伙买羊，羊价为钱，根据“若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
由题意得：，
，
又，均为正整数，
或或或或或，
购买方案有种，
故选：．
设购买件甲种奖品，件乙种奖品，由题意：现计划拿出元钱全部用于购买甲、乙两种奖品两种奖品都购买，甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设可以购进甲种笔记本本，乙种笔记本本，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故选：．
设可以购进甲种笔记本本，乙种笔记本本，利用总价单价数量，列出二元一次方程，结合，均为正整数，求出正整数解，即可得出购买方案的个数．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设鸡有只，兔有只，
由题意得：，
解得：，
即鸡有只，兔有只，
故选：．
设鸡有只，兔有只，由题意：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
设每只雀有斤，每只燕有斤，根据五只雀、六只燕，共重斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】
解：设每只雀有斤，每只燕有斤，
由题意得，
故选C．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元一次方程的解、倒数的定义及代数式求值的知识，属于基础题，解答本题的关键是理解方程解得含义：即满足方程左右两边相等的未知数的值．先得出方程的解，根据倒数的定义可得出方程的解，进而代入解关于的方程即可得出的值，代入代数式可得出答案．
【解答】
解：，
解得：，
方程的解为，
代入可得：，
解得：，
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：设该种商品的进价是元，由题意得：
，
解得：，
即：该种商品的进价是元．
故答案是：．
首先设该种商品的进价是元，根据题意可得等量关系：进价打折实际销售价，根据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

15.【答案】 

【解析】解：设乙车的平均速度是千米时，则
．
解得
即乙车的平均速度是千米时．
设甲车从地到地需要小时，则乙车从地到地需要小时，则

解得．
所以千米
故答案是：．
设乙车的平均速度是千米时，根据甲的平均速度乙的平均速度列出方程并求得乙车的行驶平均速度；设甲车从地到地需要小时，则乙车从地到地需要小时，根据它们行驶路程相等列出方程并求得的值；然后由路程时间速度解答．
考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到，即可结合原方程组求出的值．
【解答】
解：根据题意可得，代入原方程组可得：

所以，
解得．
故答案为．  

17.【答案】解：，



；
，
，，
解得，，





；
由题意，得，
解得． 

【解析】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，非负数的性质，弄清题中的新定义是解本题的关键．
原式利用题中的新定义计算即可求出值；
先根据非负数的性质求出、的值，原式利用已知的新定义计算即可求出值；
已知等式利用已知的新定义计算求出的值即可．
 

18.【答案】解：


，
去括号得：，
移项合并得：，
解得． 

【解析】此题考查了新定义运算、一元一次方程的解法，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为，求出解．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
已知等式利用题中的新定义计算，求出解即可得到的值．
 

19.【答案】解：设购进件时去两个批发商处进货价钱一样多，依题意得：
，
解得：，
答：购进件时去两个批发商处进货价钱一样多；
当两次都在甲处购买时，元，
当两次都在乙处购买时，元，
当第一次在甲处购买，第二次在乙处购买时，元，
当第一次在乙处购买，第二次在甲处购买时，元，
则，
故两次都在甲处购买更划算，共花费元． 

【解析】可设购进件时去两个批发商处进货价钱一样多，根据总价单价数量可求解；
分种情况讨论：两次都在甲处购买；两次都在乙处购买；第一次在甲处购买，第二次在乙处购买；第一次在乙处购买，第二次在甲处购买，求出种情况的部价再比较即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
 

20.【答案】解：设、两市之间的路程为，
根据题意可知，，
解得：，
答：、两地的距离为千米． 

【解析】设、两市之间的路程为，根据“汽车从市前往市一共行驶了小时”建立方程，求解即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间解答．
 

21.【答案】解：由，得 
把代入，得，
解得．
把代入，得，
解得．
原方程组的解为 

【解析】见答案
 

22.【答案】解：方程，，
解得：，
当时，；当时，，
方程的所有正整数解为：，；
由题意得：，
解得，
把代入，
，
解得；
，
，
当时，即时，，
即固定的解为：． 

【解析】将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解．
将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值；
当含项为零时，取，代入可得固定的解．
此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
 

23.【答案】解：设购进甲医用口罩盒，乙医用口罩盒，
根据题意得：，
解得：，
答：购进甲款医用口罩盒，乙款医用口罩盒．
依题意，储备天的口罩所需数量：个，
购进甲、乙两款医用口罩的数量是：个，
，
购买的口罩数量满足防疫要求，
答：购买的口罩数量满足防疫要求． 

【解析】设购进甲医用口罩盒，乙医用口罩盒，由题意：购进甲、乙两款医用口罩共盒，甲、乙两款医用口罩分别是元盒、元盒，共花了元．列出二元一次方程组，求解即可．
计算储备数量，购买数量，比较判断即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

24.【答案】解：设延边州志愿者去住甲小区的人数为名，去住乙小区的人数为名，
由题意得：，
解得：，
答：延边州志愿者去住甲小区的人数为名． 

【解析】设延边州志愿者去住甲小区的人数为名，去住乙小区的人数为名，由“在甲小区原有志愿者名，在乙小区原有志愿者名．现有来自延边州支援该社区的志愿者名，分别去往甲小区和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多名”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
 

25.【答案】解：打折前，买一件商品元，一件商品元，
根据题意，得，
解得，
答：打折前，买一件商品元，一件商品元；
打折前，买件商品和件商品需要元，
元，
答：比不打折少花了元． 

【解析】打折前，买一件商品元，一件商品元，根据打折前，买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元列二元一次方程组，求解即可；
先求出打折前买件商品和件商品所需费用，进一步求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．