第3章 一次方程与方程组（压轴必刷30题7种题型专项训练）-七年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）

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第3章 一次方程与方程组（压轴必刷30题7种题型专项训练） 一．一元一次方程的解（共3小题） 1．（2022秋•定远县期中）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程． 请根据上述规定解答下列问题： （1）判断3x＝4.5是否是差解方程； （2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值． 【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解恰好相等，所以是差解方程； （2）解方程，根据差解方程的定义列式，解出即可． 【解答】解：（1）∵3x＝4.5， ∴x＝1.5， ∵4.5﹣3＝1.5， ∴3x＝4.5是差解方程； （2）5x＝m+1， x＝， ∵关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程， ∴m+1﹣5＝， 解得：m＝． 【点评】本题考查了一元一次方程的解与新定义：差解方程，解好本题是做好两件事：①熟练掌握一元一次方程的解法；②明确差解方程的定义，即b﹣a＝方程的解． 2．（2022秋•颍州区校级期中）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值． 【解答】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程， ∴＝m+3， 解得：m＝﹣． （2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n， ∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n， 解得m＝﹣3，n＝﹣． 【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组． 3．（2022秋•裕安区校级期中）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0． （1）求A、B所表示的数； （2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解． ①求线段BC的长； ②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据|a+3|+（b﹣2）2＝0，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数； （2）①根据2x+1＝x﹣8可以求得x的值，从而可以得到点C表示的数，从而可以得到线段BC的长； ②根据题意可以列出关于点P表示的数的关系式，从而可以求得点P表示的数． 【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， 解得，a＝﹣3，b＝2， 即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2； （2）①2x+1＝x﹣8 解得，x＝﹣6， ∴BC＝2﹣（﹣6）＝8， 即线段BC的长为8； ②存在点P，使PA+PB＝BC， 设点P的表示的数为m， 则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8， ∴|m+3|+|m﹣2|＝8， 当m＞2时，解得，m＝3.5， 当﹣3＜m＜2时，无解， 当m＜﹣3时，m＝﹣4.5， 即点P对应的数是3.5或﹣4.5． 【点评】本题考查数轴、一元一次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数相结合的思想解答问题． 二．解一元一次方程（共2小题） 4．（2022秋•定远县校级月考）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b， 规定a☆b＝ab2﹣2ab+a．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4． （1）求（﹣2）☆5的值； （2）若☆3＝8，求a的值； （3）若m＝4☆x，n＝（1﹣2x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m　≥　n（用不等号填空）． 【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算展开，再求出m、n，即可得出答案． 【解答】解：（1）（﹣2）☆5 ＝（﹣2）×52﹣2×（﹣2）×5+（﹣2） ＝﹣50+20﹣2 ＝﹣32； （2）☆3＝8， ×32﹣2××3+＝8， 9（a+1）﹣6（a+1）+a+1＝16， 9a+9﹣6a﹣6+a+1＝16， 4a＝12， a＝3； （3）∵m＝4☆x＝4•x2﹣2×4x+4＝4x2﹣8x+4，n＝（1﹣2x）☆3＝（1﹣2x）•32﹣2（1﹣2x）•3+1﹣2x＝﹣8x+4， m﹣n＝4x2≥0， ∴m≥n， 故答案为：≥． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 5．（2022秋•蚌山区月考）已知关于x的方程（m+2）x|m|﹣1+5＝0是一元一次方程，求m的值及另一个方程的解． 【分析】根据一元一次方程的定义得出|m|﹣1＝1，且m+2≠0，求出m，代入方程，根据当时的性质求出方程的解即可． 【解答】解：由已知的|m|﹣1＝1，且m+2≠0， 解得：m＝2， 即方程是：﹣＝1， 去分母得，3（3x+2）﹣2（x+4）＝12， 去括号得：9x+6﹣2x﹣8＝12， 移项、合并同类项得：7x＝14， 解得：x＝2． 【点评】本题主要考查对一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，当时的性质等知识点的理解和掌握，能求出m和正确解一元一次方程是解此题的关键． 三．一元一次方程的应用（共13小题） 6．（2021秋•颍东区期末）下表所示是2019年元月的月历表．下列结论： ①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7； ②可以框出一竖列上相邻的三个数（如图所示），这三个数的和是24； ③不可以框出一个2×2的矩形块的四个数（如图所示），这四个数的和是82； ④任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是　①②③④　（把所有正确的序号都填上）． 【分析】①观察图表，每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7； ②可以通过①中的规律设出一竖列上相邻的三个数分别为a﹣7，a，a+7，相使其加等于24．若a的值为正整数，则本题正确，否则错误； ③仿照②题，设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8，相使其加等于82．若b的值为正整数，则本题正确，否则错误； ④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8，使其相加等于9c，求解即可． 【解答】解： ①每一数列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；①正确 ②设这一数列上相邻的三个数分别是a﹣7，a，a+7 a﹣7+a+a+7＝24 解得a＝8 ∴a﹣7＝1，a+7＝15 ∴可以框出一数列相邻的三个数，分别是1，8，15，这三个数的和是24；②正确 ③设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8 b+b+1+b+7+b+8＝82 解得b＝16.5 ∵b不是整数 ∴不可以框出一个2×2的矩形块的四个数，这四个数的和是82；③正确 ④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8 ∴c﹣8+c﹣7+c﹣6+c﹣1+c+c+1+c+6+c+7+c+8＝9c 得9c＝9c ∴任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍；④正确 ∴其中正确的是①②③④ 故填：①②③④ 【点评】本题考查一次方程的应用，重点是通过观察规律设出恰当的未知数（比如a），并用这个未知数（比如a）的式子来表示其他的未知数（比如a+7），从而能够建立一元一次方程． 7．（2022秋•包河区月考）2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？ 【分析】（1）运用分别购票的费用和﹣联合购票的费用就可以得出结论； （2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元”建立方程求出其解即可； （3）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买101张门票．分别求出三种方案的付费，比较即可． 【解答】解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080（元）， 则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080＝1420（元）； （2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人． 依题意得：50x+60×（102﹣x）＝5500， 解得：x＝62． 则乙单位人数为：102﹣x＝40． 答：甲单位有62人，乙单位有40人； （3）方案一：各自购买门票需50×60+40×60＝5400（元）； 方案二：联合购买门票需（50+40）×50＝4500（元）； 方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040（元）； 综上所述：因为5400＞4500＞4040． 故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱． 【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用，解答时建立方程求出各单位人数是关键． 8．（2022秋•亳州期末）为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表： 如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元． （1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？ （2）甲、乙两班各有多少名同学？ 【分析】（1）若甲、乙两班联合起来购买服装，则每套是40元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）设甲班有x名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲班每套服装是50元，乙班每套服装是60元．根据等量关系：①共92人；②两校分别单独购买服装，一共应付5020元，列方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意，得：5020﹣92×40＝1340（元）． 即两班联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1340元． （2）设甲班有x名学生准备参加演出（依题意46＜x＜90），则乙班有学生（92﹣x）人． 依题意得：50x+60（92﹣x）＝5020， 解得：x＝50． 于是：92﹣x＝42（人）． 答：甲班有50人，乙班有42人． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 9．（2022秋•定远县校级月考）数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度，每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0． （1）请直接写出a＝　5　，b＝　6　； （2）如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动，同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点若MP＝MA，求t的值； （3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t时M运动到点A的右侧，若此时以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为142，求此时点M对应的数． 【分析】（1）根据非负数的性质解答； （2）分三种情况解答：①点M未到达O时（0＜t≤2时），NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t； ②点M到达O返回时当（2＜t≤4时），OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t；③点M到达O返回时，即t＞4时，不成立； （3）当M在A右侧，根据两点间的距离公式列出方程并解答． 【解答】解：（1）∵|a﹣5|+（b﹣6）2＝0． ∴a﹣5＝0，b﹣6＝0 ∴a＝5，b＝6 故答案为：5，6． （2）①点M未到达O时（0＜t≤2时）， NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t， 即3t+10﹣5t＝5t，解得t＝； ②点M到达O返回时（2＜t≤4时）， OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t， 即3t+5t﹣10＝20﹣5t，解得t＝； ③当点B到达O返回，且到A右侧时，即t＞4时，不成立； （3）当M在A右侧时， NO+OA+AM+AN+OM+MN＝6t+5t+11t+10+6t+5t＝142， 解得 t＝4，点M对应的数为20． 答：此时点M对应的数为20． 【点评】本题考查学生对数轴相关知识的掌握情况及利用一元一次解决实际问题的能力．本题涉及数轴即路程为题，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．另外要注意路程相等的几种情况． 10．（2021秋•明光市校级月考）某商场用2500元购进了A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示： （1）这两种台灯各购进多少盏？ （2）若A型台灯按标价的九折出售，B型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部出售完后，商家共获利多少元？ 【分析】（1）设购进A型台灯x盏，则购进B型台灯（50﹣x）盏，根据商场用2500元购进了A，B两种新型节能台灯共50盏列方程得40x+65（50﹣x）＝2500，然后解方程即可； （2）利用销售额减成本进行计算． 【解答】解：（1）设购进A型台灯x盏，则购进B型台灯（50﹣x）盏，依题意列方程得：40x+65（50﹣x）＝2500 解得：x＝30， 则50﹣x＝50﹣30＝20， 答：购进A型台灯30盏，则购进B型台灯20盏； （2）60×0.9×30+100×0.8×20﹣2500＝720， 答：商家共获利720元． 【点评】本题考查了利用一元一次方程的应用．方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 11．（2021秋•庐江县期末）盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： （1）从表中可以看出，负一场积　1　分，胜一场积　2　分 （2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律并计算即可； （2）仔细观察表格中的数据发现规律并设出未知数列出一元一次方程求解即可． 【解答】解 （1）由题意可得， 负一场积分为：22÷22＝1（分）， 胜一场的积分为：（34﹣10×1）÷12＝2（分）， 故答案为：1，2； （2）设胜x场，负22﹣x场， 由题知 2x＝2（22﹣x）， 解得x＝11． 答：胜场数为11场时，胜场的积分等于负场的2倍． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解． 12．（2020秋•定远县期末）整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，再增加2人和他们一起做8h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8小时的工作＝全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程． 【解答】解：设应先安排x人工作， 根据题意得： 解得：x＝2， 答：应先安排2人工作． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 13．（2020秋•全椒县期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8小时的工作＝全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程． 【解答】解：设应先安排x人工作， 根据题意得：+＝1 化简可得：+＝1， 即：x+2（x+2）＝10 解可得：x＝2 答：应先安排2人工作． 【点评】本题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 14．（2020秋•庐阳区校级期末）先填空再解答 某村去年种植的油菜籽亩产量达150千克，含油率为40%．今年改种新选育的油菜籽后亩产量提高了30千克，含油率提高了10百分点．今年与去年相比，油菜的种植面积减少了40亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高了20%． （1）求今年油菜的种植面积． 设今年油菜的种植面积是x亩．完成下表后再列方程解答； （2）已知油菜种植成本为200元/亩，菜油收购价为6元/千克．试比较这个村去今两年种植油菜的纯收入． 【分析】（1）今年的亩产量为150+30＝180，去年的种植面积为x+40，去年油菜籽的总产量为150（x+40），今年油菜籽的总产量为180x，今年的含油率为40%+10%＝50%，去年的产油量＝150（x+40）×40%， 今年的产油量＝180x×50%；等量关系为：去年的产油量×（1+20%）＝今年的产油量； （2）纯收入＝总收入﹣总成本． 【解答】解：（1）从左往右依次填：180；x+40；150（x+40）；180x；50%；60x+2400；90x； 列方程为：1.2×150×40%×（x+40）＝（150+30）×（40%+10%）x 解得：x＝160； （2）去年种植成本为：200（x+40）＝200×（160+40）＝40000（元）； 去年售油收入为：150×（160+40）×40%×6＝72000（元）； 去年油菜种植纯收入为：72000﹣40000＝32000（元） 今年种植成本为：200×160＝32000（元）； 今年售油收入为：72000×1.2＝86400（元）； 今年油菜种植纯收入为：86400﹣32000＝54400（元）． 答：今年与去年相比，种植成本减少了，而纯收入增加了． 【点评】找到所求量的等量关系，相应的等量关系是解决问题的根据． 15．（2019秋•瑶海区期末）十一期间，各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示： 根据以上活动信息，解决以下问题： （1）三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？ （2）黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款额也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ （3）丙商场又推出“先打折”，“再满100减50元”的活动．张先生买了一件标价为630元的上衣，张先生发现竟然比没打折前多付了18.5元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动？ 【分析】（1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可； （2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可； （3）先设丙商场先打了x折后再参加活动，折后减50n（0≤n＜6），根据打折后比没打折前多付了18.5元钱，列方程求解． 【解答】解：（1）选甲商城需付费用为（290+270）×0.6＝336（元）； 选乙商城需付费用为290+（270﹣200）＝360（元）； 选丙商城需付费用为290+270﹣5×50＝310（元）． ∵310＜336＜360， ∴选择丙商城最实惠． （2）设这条裤子的标价为x元， 根据题意得：（380+x）×0.6＝380+x﹣100×3， 解得：x＝370， 答：这条裤子的标价为370元． （3）设丙商场先打了x折后再参加活动，折后减50n（0≤n＜6且n为整数）， 根据题意得：（630×﹣50n）﹣（630﹣6×50）＝18.5， 整理得63x﹣50n＝348.5， 当n＝0时，63x＝348.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝0矛盾，舍去 当n＝1时，63x＝398.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝1矛盾，舍去 当n＝2时，63x＝448.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝2矛盾，舍去 当n＝3时，63x＝498.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝3矛盾，舍去 当n＝4时，63x＝548.5，可再优惠5×50＝250元，与n＝4矛盾，舍去 当n＝5时，63x＝598.5，满足题意， 此时x＝9.5 答：丙商场先打了9.5折后再参加活动． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程进行求解． 16．（2022秋•天长市校级月考）某校有住宿生若干人，若每间宿舍住8人，则有5人无处住；若每间宿舍增加1人，则还空35张床位，求共有多少间宿舍？有多少住宿生？ 【分析】首先设共有x间宿舍，根据关键语句“每间宿舍住8人，则有5人无处住；若每间宿舍增加1人，则还空35张床位”可得方程8x+5＝9x﹣35，再解方程即可． 【解答】解：设共有x间宿舍，由题意得： 8x+5＝9x﹣35， 解得：x＝40， 8×40+5＝325（人）， 答：共有40间宿舍，有325住宿生． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 17．（2022秋•安庆期末）某校体育组长王老师，到家乐福超市为学校购买乒乓球拍、羽毛球拍共三次，有一次购买时，乒乓球拍、羽毛球拍同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买乒乓球拍、羽毛球拍数量及费用如表： （1）按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第几次购买？ （2）求乒乓球拍、羽毛球拍的标价； （3）若乒乓球拍、羽毛球拍的折扣相同，问家乐福超市是打几折出售的？ 【分析】（1）根据图表可得按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第三次购买； （2）设乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为x元、y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； （3）设家乐福超市是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9副乒乓球拍和8副羽毛球拍共花费1062元，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第三次购买； 理由：∵王老师到家乐福超市为学校购买乒乓球拍、羽毛球拍共三次，只有一次购买时，乒乓球拍、羽毛球拍同时打折，其余两次均按标价购买， 且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高， ∴按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第三次购买； （2）设乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为x元、y元， 根据题意，得， 解方程组，得． 所以，乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为90元，120元； （3）设家乐福超市是打a折出售的．根据题意，得 （90×9+120×8）＝1062， 解得a＝6． 所以家乐福超市是打六折出售的． 【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 18．（2021秋•花山区校级期中）如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12． （1）写出数轴上点A，B表示的数：　﹣10　，　2　； （2）动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． ①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，点P，Q相距6个单位长度． 【分析】（1）点B表示的数是6﹣4，点A表示的数是2﹣12，求出即可； （2）①求出AP，CQ，根据A、C表示的数求出P、Q表示的数即可；②利用“点P，Q相距6个单位长度”列出关于t的方程，并解答即可． 【解答】解：（1）∵点C对应的数为6，BC＝4， ∴点B表示的数是6﹣4＝2， ∵AB＝12， ∴点A表示的数是2﹣12＝﹣10． 故答案为：﹣10；2； （2）①由题意得：AP＝4t，CQ＝2t，如图所示： 在数轴上点P表示的数是﹣10+4t， 在数轴上点Q表示的数是6﹣2t； ②当点P，Q相距6个单位长度时：|（﹣10+4t）﹣（6﹣2t）|＝6， 解得t＝或t＝． 所以当t＝或t＝时，点P，Q相距6个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，主要考查学生综合运用定义进行计算的能力，有一定的难度． 四．二元一次方程组的解（共1小题） 19．（2022秋•安庆期末）已知关于x、y的方程组的解也是二元一次方程x﹣y＝3的解，请求出方程组的解及m的值． 【分析】此题可先将方程组的m消去，然后与x﹣y＝3联立，根据二元一次方程组的解法来求出x、y，将其代入②，可得出m． 【解答】解：消去m得方程组为 解这个方程组，得， 代入3x+4y＝m，得：m＝23 【点评】此题考查的是对二元一次方程组的解的计算，通过代入x、y的值即可得出答案． 五．解二元一次方程组（共2小题） 20．（2022秋•定远县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组． （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值． 【分析】（1）由②得出3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，把①代入③得出15﹣2y＝9，求出y，把y＝3代入①求出x即可； （2）由①求出x2+4y2＝③，把③代入②求出xy＝2，①﹣②得出x2﹣3xy+4y2＝11，即可求出答案． 【解答】解：（1）， 由②得：3（2x﹣3y）﹣2y＝9③， 把①代入③得：15﹣2y＝9， 解得：y＝3， 把y＝3代入①得：2x﹣9＝5， 解得：x＝7， 所以原方程组的解为； 由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47， 化简得：， 把③代入②得：， 解得：xy＝2， 把xy＝2代入③得x2+4y2＝17， ∴x2+4y2﹣xy＝15． 【点评】本题考查了解高次方程组、解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识点，能够整体代入是解此题的关键． 21．（2021秋•蚌山区月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5 即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 （2）已知x，y满足方程组． （i）求x2+4y2的值； （ii）求+的值． 【分析】（1）模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可； （2）方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可． 【解答】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19③， 把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2， 把y＝2代入①得：x＝3， 则方程组的解为； （2）（i）由①得：3（x2+4y2）＝47+2xy，即x2+4y2＝③， 把③代入②得：2×＝36﹣xy， 解得：xy＝2， 则x2+4y2＝17； （ii）∵x2+4y2＝17， ∴（x+2y）2＝x2+4y2+4xy＝17+8＝25， ∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5， 则+＝＝±． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键． 六．二元一次方程组的应用（共8小题） 22．（2021秋•宣州区校级期末）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）与这个人年龄n（岁）满足关系式：S＝an+b，其中a、b均为常数． （1）根据图中提供的信息，求a、b的值； （2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？ 【分析】（1）根据年龄15岁最高心跳为164次，年龄45岁最高心跳为144次列出a和b的二元一次方程组，解方程求出a和b的值即可； （2）首先求出年龄为63岁时最高心跳，然后求出该人实际心跳，再作出对比即可． 【解答】解：（1）根据题意，得 解这个方程组，得 所以，a＝﹣，b＝174． （2）当n＝63时，S＝﹣×63+174＝132（次/分）． 即63岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为132次/分． 而26×＝156（次/分）＞132（次/分）． 所以，他有危险． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 23．（2022秋•定远县校级月考）平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%；乙种商品每件进价80元，售价128元． （1）求甲种商品每件的进价；（利润率＝×100%） （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如表的优惠促销活动： 按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【分析】（1）根据题意即可得甲种商品每件进价； （2）首先设出购进甲商品的件数，然后根据“同时购进甲、乙两种商品共50件”表示出购进乙商品的件数；然后根据“恰好用去3800元”列方程求出未知数的值，即可得解； （3）分类讨论：小华一次性购买乙种商品超过480元，但不超过680元；超过680元，根据优惠条件分别计算． 【解答】解：（1）设甲种商品的进价为a元，则 98﹣a＝40%a． 解得a＝70． 答：甲种商品的进价为70元； （2）设该商场购进甲种商品x件，根据题意可得： 70x+80（50﹣x）＝3800， 解得：x＝20； 乙种商品：50﹣20＝30（件）． 答：该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件． （3）设小华在该商场购买乙种商品b件， 根据题意，得 ①当过480元，但不超过680元时，480+（128b﹣480）×0.6＝576， 解得b＝5． ②当超过680元时，128b×0.75＝576， 解得b＝6． 答：小华在该商场购买乙种商品5或6件． 【点评】考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题关键． 24．（2022秋•包河区月考）小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表所示， （1）在这三次购物中，第 　三　次购物打了折扣； （2）求出商品A、B的标价； （3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【分析】（1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． 故答案为：三； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：． 答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元； （3）设商店是打a折出售这两种商品， 由题意得，（9×90+8×120）×＝1062， 解得：a＝6． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 25．（2022秋•定远县期中）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？” 译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？” 请列方程组解答上面的问题． 【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【解答】解：设雀、燕每1只各重x斤、y斤．根据题意，得 整理，得 解得 答：雀、燕每1只各重斤、斤． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程组求解． 26．（2021秋•宣州区校级期末）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？ 【分析】题中有两个等量关系：第一季度生产甲种机器台数+生产乙种机器台数＝480，第二季度生产甲种机器台数+生产乙种机器台数＝554，直接设未知数，根据等量关系列出方程组． 【解答】解：设该厂第一季度生产甲种机器x台，乙种机器y台． 依题意得：，（5分） 解得．（7分） 故该厂第一季度生产甲种机器220台，乙种机器260台．（8分） 【点评】关键是弄清题意，找到等量关系：第一季度生产甲种机器台数+生产乙种机器台数＝480，第二季度生产甲种机器台数+生产乙种机器台数＝554．尤其注意如何求出改进生产技术后甲，乙第二季度的产量． 27．（2020秋•定远县月考）某中学为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），已知购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元．求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ 【分析】设一个足球、一个篮球分别为x、y元，就有3x+2y＝310和2x+5y＝500，由这两个方程构成方程组求出其解即可． 【解答】解：设一个足球为x元、一个篮球为y元，根据题意得 ， 解得：， 答：一个足球需要50元、一个篮球需要80元． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系是解答本题的关键． 28．（2022秋•定远县校级月考）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【分析】（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性订客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 解得：． 答：该店有客房8间，房客63人； （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16＝320钱； 若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288钱＜320钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 29．（2022秋•包河区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 　64　张，B型板材 　38　张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中a与b的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4， 所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生B型板材为：2×4＝8， 所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张）， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个， 则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个， 所以， 解得． 【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组． 七．三元一次方程组的应用（共1小题） 30．（2021秋•蚌埠期末）合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员A：月销售件数200件，月总收入4500元； 营业员B：月销售件数300件，月总收入5000元． 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元． （1）求x、y的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需1620元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入4500元，月销售件数300件，月总收入5000元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需16200元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用． 【解答】解：（1）根据题意得：， ， （2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元， 根据题意得：， （①+②）÷4，得：a+b+c＝780． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需780元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 数量（张）1﹣5051﹣100101张及以上单价（元/张）60元50元40元购买服装的套数1套至45套46套至90套91套以上每套服装的价格60元50元40元类型价格A型B型进价（元/盏）4065标价（元/盏）60100院系篮球赛成绩公告比赛场次胜场负场积分2212103422148362202222亩产量（千克/亩）种植面积（亩）油菜籽总产量（千克）含油率产油量（千克）去年150　　　　40%　　今年　　x　　　　　　商场优惠活动甲全场按标价的6折销售乙实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金 （如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券）丙实行“满100元减50元的优惠”（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元）乒乓球拍的数量（副）羽毛球拍的数量（副）总费用（元）第一次购买651140第二次购买371110第三次购买981062打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于480元不优惠超过480元，但不超过680元其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠超过680元按购物总额给予7.5折优惠购买商品A的数量/个　　购买商品B的数量/个购买总费用/元　第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062