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新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第3章 培优课 不等式恒成立、能成立问题
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这是一份新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第3章 培优课 不等式恒成立、能成立问题，共10页。
培优课 不等式恒成立、能成立问题
在面临不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．
一、在R上的恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．∴解得－1
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．
反思感悟 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔
注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
跟踪训练1 若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；
当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0，
综上，－≤k≤0.
二、在给定区间上恒成立的问题
例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 {m|m<－5}
解析 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立．
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴m的取值范围是{m|m<－5}．
例3 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，则m的取值范围为________．
答案 m<
解析 y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
令t＝＝，
在1≤x≤3上的最小值为，
∴只需m<即可．
反思感悟 在给定区间上的恒成立问题
(1)a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
(2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．
跟踪训练2 若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______．
答案 a<0
解析 ax2－x－3<0等价于a<＝＋在－1≤≤－上恒成立，令m＝，即a<3m2＋m在－1≤m≤－上恒成立，二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－，即当m＝－时，y有最小值为0，故a<0.
三、简单的能成立问题
例4 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}．
反思感悟 能成立问题的解题思路
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m
答案 (－2，＋∞)
解析 由ax2＋x＋1>0，得ax2>－x－1，
因为x∈[1,2]，所以a>－－有解，
令f(x)＝－－＝－2＋，
则f(x)在[1,2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－2，所以a>－2.
1．知识清单：
(1)在R上的恒成立问题．
(2)给定区间上的恒成立问题．
(3)解决简单的能成立问题．
2．方法归纳：等价转换法、数形结合法．
3．常见误区：要注意端点值的取舍．
1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
答案 D
解析 不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2.
2．对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是( )
A．m≥2 B．0
答案 C
解析 令y＝，
当m＝0时，函数y＝，符合题意；
m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，
则即解得0
3．已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a>1
C．a≤1 D．a<1
答案 D
解析 因为1≤x≤2，故x>0，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.
4．定义运算＝ad－bc，则不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______________．
答案 －4
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要
2．若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m≤－2或m≥2}
B．{m|－2≤m≤2}
C．{m|m<－2或m>2}
D．{m|－2
解析 因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，
所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
3．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．{a|－4≤a≤4}
B．{a|－4
D．{a|a<－4或a>4}
答案 A
解析 由题意得，Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4.
4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4}
B．{a|－1
D．{a|－4≤a≤1}
答案 A
解析 由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4.
5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋
C．{m|－4
答案 D
解析 因为正实数x，y满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4，
由x＋4，
解得m>4或m<－1.
6．(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )
A．a<1 B．a≤1
C．a<2 D．a<0
答案 BC
解析 ∵ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0成立，由∴0
答案 1≤m≤9
解析 ∵x2＋(m－3)x＋m<0无解，
∴Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，
解得1≤m≤9.
8．若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－2
解析 由x2－4x－2－a≥0，
得a≤x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以当1≤x≤4时，(x－2)2－6∈[－6，－2]，
所以a≤－2.
9．∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
解 由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
所以m(x2－x)<1可化为m<，
因为x2－x＝2－≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
10．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
解 y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1<恒成立，
∴x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔
11．设p：“∀x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 ∵∀x∈R，x2－mx＋1>0，
∴Δ＝m2－4<0，
∴－2
12．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)，若∃x∈R使得(x－a)⊗(x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是( )
A．a<－或a> B．－
答案 A
解析 由题意知
(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]
＝－x2＋x＋a2－a＝－2＋a2－a＋，
若∃x∈R，使得不等式(x－a)⊗(x＋a)>1成立，则需函数y＝－2＋a2－a＋的最大值大于1，
即x＝时，y＝a2－a＋>1成立，
解得a<－或a>.
13．对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是( )
A．a<－3 B．a<－4
C．a<0 D．a>0
答案 C
解析 因为x2－2x＋a<0，
所以a<－x2＋2x，
又因为－1≤x≤2，
－x2＋2x＝－x(x－2)≥－3，
所以a<－3，
又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”．
所以C正确．
14．若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为________．
答案
解析 令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的函数，由题意得
(x2＋x)－2x－2＞0或
(x2＋x)·3－2x－2＞0.
即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②.
解①可得x＜－1或x＞2. 解②可得x＜－1或x>.
把①②的解集取并集可得x＜－1或x>.
15．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，
若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立，
若a＝－1，不等式为2x－1≤0，
解得x≤，不符合题意，
当a2－1≠0时，
若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，
则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，
解得－≤a<1，
综上可得－≤a≤1.
16．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围．
解 因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
即实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}．
培优课 不等式恒成立、能成立问题
在面临不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．
一、在R上的恒成立问题
例1 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．∴解得－1
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．
反思感悟 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔
注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
跟踪训练1 若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；
当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0，
综上，－≤k≤0.
二、在给定区间上恒成立的问题
例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 {m|m<－5}
解析 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立．
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴m的取值范围是{m|m<－5}．
例3 设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，则m的取值范围为________．
答案 m<
解析 y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
令t＝＝，
在1≤x≤3上的最小值为，
∴只需m<即可．
反思感悟 在给定区间上的恒成立问题
(1)a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
(2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．
跟踪训练2 若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______．
答案 a<0
解析 ax2－x－3<0等价于a<＝＋在－1≤≤－上恒成立，令m＝，即a<3m2＋m在－1≤m≤－上恒成立，二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－，即当m＝－时，y有最小值为0，故a<0.
三、简单的能成立问题
例4 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}．
反思感悟 能成立问题的解题思路
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m
答案 (－2，＋∞)
解析 由ax2＋x＋1>0，得ax2>－x－1，
因为x∈[1,2]，所以a>－－有解，
令f(x)＝－－＝－2＋，
则f(x)在[1,2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－2，所以a>－2.
1．知识清单：
(1)在R上的恒成立问题．
(2)给定区间上的恒成立问题．
(3)解决简单的能成立问题．
2．方法归纳：等价转换法、数形结合法．
3．常见误区：要注意端点值的取舍．
1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
答案 D
解析 不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2.
2．对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是( )
A．m≥2 B．0
答案 C
解析 令y＝，
当m＝0时，函数y＝，符合题意；
m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，
则即解得0
3．已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a>1
C．a≤1 D．a<1
答案 D
解析 因为1≤x≤2，故x>0，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.
4．定义运算＝ad－bc，则不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______________．
答案 －4
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要
2．若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m≤－2或m≥2}
B．{m|－2≤m≤2}
C．{m|m<－2或m>2}
D．{m|－2
解析 因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，
所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
3．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．{a|－4≤a≤4}
B．{a|－4
D．{a|a<－4或a>4}
答案 A
解析 由题意得，Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4.
4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4}
B．{a|－1
D．{a|－4≤a≤1}
答案 A
解析 由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4.
5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋
C．{m|－4
答案 D
解析 因为正实数x，y满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4，
由x＋
解得m>4或m<－1.
6．(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )
A．a<1 B．a≤1
C．a<2 D．a<0
答案 BC
解析 ∵ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0成立，由∴0
答案 1≤m≤9
解析 ∵x2＋(m－3)x＋m<0无解，
∴Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，
解得1≤m≤9.
8．若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－2
解析 由x2－4x－2－a≥0，
得a≤x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以当1≤x≤4时，(x－2)2－6∈[－6，－2]，
所以a≤－2.
9．∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
解 由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
所以m(x2－x)<1可化为m<，
因为x2－x＝2－≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
10．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
解 y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1<恒成立，
∴x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔
11．设p：“∀x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 ∵∀x∈R，x2－mx＋1>0，
∴Δ＝m2－4<0，
∴－2
12．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)，若∃x∈R使得(x－a)⊗(x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是( )
A．a<－或a> B．－
答案 A
解析 由题意知
(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]
＝－x2＋x＋a2－a＝－2＋a2－a＋，
若∃x∈R，使得不等式(x－a)⊗(x＋a)>1成立，则需函数y＝－2＋a2－a＋的最大值大于1，
即x＝时，y＝a2－a＋>1成立，
解得a<－或a>.
13．对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是( )
A．a<－3 B．a<－4
C．a<0 D．a>0
答案 C
解析 因为x2－2x＋a<0，
所以a<－x2＋2x，
又因为－1≤x≤2，
－x2＋2x＝－x(x－2)≥－3，
所以a<－3，
又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”．
所以C正确．
14．若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为________．
答案
解析 令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的函数，由题意得
(x2＋x)－2x－2＞0或
(x2＋x)·3－2x－2＞0.
即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②.
解①可得x＜－1或x＞2. 解②可得x＜－1或x>.
把①②的解集取并集可得x＜－1或x>.
15．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，
若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立，
若a＝－1，不等式为2x－1≤0，
解得x≤，不符合题意，
当a2－1≠0时，
若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，
则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，
解得－≤a<1，
综上可得－≤a≤1.
16．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围．
解 因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
即实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}．
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