北师大版高中数学必修第一册第八章数学建模活动(一)检测试题含答案

第八章　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.有一组数据,如表所示:

下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的是(　C　)

(A)指数函数   (B)反比例函数

(C)一次函数   (D)二次函数

解析:函数值的增量几乎是均匀的,故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律.故选C.

2.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　B　)

(A)y=[]      (B)y=[]

(C)y=[]   (D)y=[]

解析:当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除以10,再用这个余数与3相加,若和大于等于10就增选一名代表,将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系,其用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y=[].故选B.

3.向如图所示的容器中匀速注水时,容器中水面高度h随时间t变化的大致图象是(　C　)

解析:结合容器的形状,可知一开始注水时,水面高度增加较快.当水位接近容器中部时高度增加的越来越慢并持续一段时间,接近上部时,水面高度增加地越来越快.故选C.

4.当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg(其中A0为常数).装修电钻的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为(　C　)

(A) (B)1     (C)104 (D)e4

解析:设装修电钻的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,

由题意得⇒

所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度的比值为==104.故选C.

5.某学生在期中考试中,数学成绩较优,英语成绩较弱,为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩,他决定重点加强英语学习,结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%,但数学成绩每次都比上次降低了10%,期末时这两科分值恰好均为m分,则这名学生这两科的期末总成绩和期中比,结果(　B　)

(A)提高了         (B)降低了

(C)不提不降(相同)   (D)是否提高与m值有关系

解析:设该生期中考试数学和英语成绩分别为a和b,

则a(1-10%)2=b(1+10%)2=m,

所以a=,b=,a+b=+≈2.06m>2m,

所以期末总成绩比期中降低了.故选B.

6.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=

已知某家庭2021年三个月的煤气费如表:

若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为(　A　)

(A)11.5元 (B)11元 (C)10.5元 (D)10元

解析:根据一月份用气量4 m3,煤气费4元,可知f(4)=C=4,由

解得A=5,B=,

所以f(x)=

所以f(20)=4+(20-5)=11.5.

故选A.

7.如果消息A发生的概率为P(A),那么消息A所含的信息量为I(A)=

log2.若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告,则发布的以下4条消息中,信息量最大的是(　B　)

(A)王教授在第4排

(B)王教授在第4排第5列

(C)王教授在第5列

(D)王教授在某一排

解析:A选项中的事件“王教授在第4排”发生的概率为=,信息量为2;B选项中的事件“王教授在第4排第5列”发生的概率为,信息量为5;C选项中的事件“王教授在第5列”发生的概率为=,信息量为3;D选项中的事件“王教授在某一排”发生的概率为,信息量为0,显然B选项中的事件发生的概率最小,其信息量最大.故选B.

8.蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知,购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元,而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元.设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元,购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元,则(　C　)

(A)A<B (B)A=B

(C)A>B (D)A,B大小不确定

解析:设甲、乙两种蔬菜的价格分别为每千克x,y元,

则

A=2x,B=3y,

①×22,②×8,整理得12x-18y>0,

即2x-3y>0,所以A>B.

故选C.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.“双11”购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额满一定额度,可以给予优惠.

①如果购物总额不超过50元,则不给予优惠;

②如果购物总额超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优

惠券;

③如果购物总额超过100元但不超过300元,则按标价给予九折优惠;

④如果购物总额超过300元,其中300元内的按第③条给予优惠,超过300元的部分给予八折优惠.

某人购买了部分商品,则下列说法正确的是(　ABD　)

(A)如果购物总额为78元,则应付款为73元

(B)如果购物总额为228元,则应付款为205.2元

(C)如果购物总额为368元,则应付款为294.4元

(D)如果购物时一次性全部付款442.8元,则购物总额为516元

解析:如果购物总额为78元,满足超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优惠券,则应付款为73元,故A正确;如果购物总额为228元,超过100元但不超过300元,则应付款为228×0.9=205.2元,故B正确;如果购物总额为368元,购物总额超过300元,则应付款为300×0.9+68×0.8=324.4元,故C错误;如果购物时一次性全部付款442.8元,说明购物总额超过300元,设购物总额为x元,则300×

0.9+(x-300)×0.8=442.8,解得x=516元,故D正确.故选ABD.

10.某停车场的收费标准如下:临时停车半小时内(含半小时)免费,临时停车1小时收费5元,此后每停车1小时收费3元,不足1小时按1小时计算,24小时内最高收费40元.现有甲、乙两车临时停放在该停车场,下列判断正确的是(　ACD　)

(A)若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时,则停车费用之和可能为8元

(B)若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为10元

(C)若甲车与乙车的停车时长之和为10小时,则停车费用之和可能为34元

(D)若甲车与乙车的停车时长之和为25小时,则停车费用之和可能为45元

解析:对于选项A,因为停车时长之和为1.6小时,若甲或乙停车0小时,乙或甲停车1.6小时,则停车费用之和为8元;A正确;

对于选项B,因为停车时长之和为2.5小时,超过2小时,则停车费用之和大于10元,不可能为10元,B错误;

对于选项C,因为停车时长之和为10小时,若甲、乙每人停车时长为5小时,则停车费用之和为2×[5+(5-1)×3]=34元,C正确;

对于选项D,因为停车时长之和为25小时,若甲停车时长为1小时,则乙停车时长为24小时,则停车费用之和为5+40=45元,D正确.故选ACD.

11.某一池塘里浮萍面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=2t,下列说法中正确的是(　ABD　)

(A)浮萍每月增长率为1

(B)第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2

(C)浮萍每月增加的面积都相等

(D)若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3

解析:对于选项A,浮萍每月增长率为==1,即A正确;对于选项B,当t=5时,y=2t=32>30,即B正确;对于选项C,浮萍每月增加的面积为2t+1-2t=2t,与时间t有关,即C错误;对于选项D,令y==2,则t1=1;令y==3,则t2=log23;令y==6,则t3=log26,所以t1+t2=1+

log23=log22+log23=log26=t3,即D正确.故选ABD.

12.为预防流感病毒,某校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25 mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=(a为常数),则下列说法正确的是(　ABD　)

(A)当0≤x≤0.2时,y=5x

(B)当x>0.2时,y=

(C)教室内持续有效杀灭病毒时间为 h

(D)喷洒药物3分钟后能有效杀灭病毒

解析:在药物释放过程中,设y=kx(k≠0),

代入(0.2,1)可得k=5,

所以当0≤x≤0.2时,y=5x,A正确;

当x>0.2时,代入(0.2,1),解得a=0.2,

此时y=,B正确;

令5x=0.25,解得x=0.05 h,即x=3分钟,D正确;

令≤0.25,解得x≥ h,C错误.故选ABD.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.

13.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是　　　  　 m/s. 

解析:当O=2 700时,v=log3=

log3=log327=.

答案:

14.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层随机抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:

由于不小心,表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是　    　　　件. 

解析:抽样比为130∶1 300=1∶10,即每10个产品中抽取1个个体,又A产品的样本量比C产品的样本量多10,故C产品的数量是

[(3 000-1 300)-100]×=800(件).

答案:800

15.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应,投入广告费应为　　   　.(用常数a表示) 

解析:D=R-A=a-A,

令t=(t>0),则A=t2,

所以D=at-t2=-(t-)2+.

所以当t=a,即A=时,D取得最大值.

答案:

16.如图表示一位骑自行车的旅行者和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象提出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者,其中正确信息的序号是　　　　. 

解析:由图可知骑自行车者0 h出发,6 h到达乙地,骑摩托车者3 h出发,5 h到达乙地,所以骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到

1 h,故①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,故②正确;

两条曲线的交点的横坐标是4.5,即在4.5 h时骑摩托车者追上了骑自行车者,故③正确.综上所述,正确信息的序号是①②③.

答案:①②③

四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A,B两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿kW·h/月,B城为10亿kW·h月.

(1)求x的取值范围;

(2)把月供电总费用y表示成x的函数;

(3)核电站建在距A城多远处,才能使供电费用最小.

解:(1)x的取值范围为[10,90].

(2)y=0.25×20x2+0.25×10(100-x)2

=5x2+(100-x)2(10≤x≤90).

(3)y=5x2+(100-x)2

=x2-500x+25 000

=(x-)2+.

则当x= km时,y最小.

故当核电站建在距A城 km处时,才能使供电费用最小.

18.(12分)某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N+)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N+),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?

解:根据题意可列方程组

解得

所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①

同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②

再将x=4分别代入①②,得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),

g(4)=-80×0.54+140=135(t).

与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,

所以②式作为模拟函数比①式更好,

故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.

19.(12分)某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图.某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往H.

(1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示);

(2)求他经过市中心O的概率.

解:(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为

A→B→C→E→H,A→B→O→E→H,

A→B→O→G→H,A→D→O→E→H,

A→D→O→G→H,A→D→F→G→H,

共6条.

(2)记“此人经过市中心O”为事件M,则M包含的样本点为

A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,

A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,

共4个,

所以P(M)==.

即他经过市中心O的概率为.

20.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.

(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理如表:

①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;

②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.

解:(1)当日需求量n≥17时,利润y=85;

当日需求量n<17时,利润y=10n-85.

所以利润y关于当天需求量n的函数解析式为

y=(n∈N).

(2)①这100天的日利润的平均数为

=76.4(元).

②当天的利润不少于75元,当且仅当日需求量不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.

21.(12分)如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m,为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.

(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,并求出x的取值范围;

(2)求矩形BNPM面积的最大值.

解:(1)如图所示,

作PQ⊥AF于点Q,

则PQ=8-y,EQ=4-(8-x)=x-4,其中4≤x≤8.

在△EDF中,=,

即=,

所以y=-x+10,其中x∈[4,8].

(2)设矩形BNPM的面积为S,

则S(x)=xy=x(10-)=-(x-10)2+50,x∈[4,8],

根据二次函数的性质,可得当x∈[4,8]时,

函数S(x)单调递增,

所以当x=8 m时,矩形BNPM的面积最大,最大值为48 m2.

故矩形BNPM面积的最大值为48 m2.

22.(12分)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:min)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足p(t)=其中t∈N.

(1)求p(5),并说明p(5)的实际意义.

(2)若该路公交车每分钟的净收益为y=-10(元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大?并求每分钟的最大净收益.

解:(1)p(5)=60-(5-10)2=35,实际意义为发车时间间隔为5 min时,载客量为35.

(2)因为y=-10,

所以当5≤t<10时,

y=-10

=110-(6t+),

任取5≤t1<t2≤6,

则y1-y2=[110-(6t1+)]-[110-(6t2+)]

=6(t2-t1)+-

=6(t2-t1)+

=.

因为5≤t1<t2≤6,

所以t2-t1>0,25<t1t2<36,

所以y1-y2<0,

所以函数y=110-(6t+)在区间[5,6]上单调递增,同理可证该函数在区间[6,10)上单调递减,

所以当t=6时,y取得最大值38;

当10≤t≤20时,y=-10=-10,该函数在区间[10,20]上单调递减,

则当t=10时,y取得最大值28.4.

综上,当发车时间间隔为6 min时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.