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北师大版高中数学必修第一册第八章数学建模活动(一)学案
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这是一份北师大版高中数学必修第一册第八章数学建模活动(一)学案，共43页。
§1 走近数学建模
§2 数学建模的主要步骤
§3 数学建模活动的主要过程
核心知识目标
核心素养目标
1.了解熟悉数学模型的实际背景及其数学描述,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.
2.知道数学建模的一般步骤包括提出问题、建立模型、求解模型、检验结果.能够在熟悉的实际情境中,模仿学过的数学建模过程解决问题.
3.对于学过的数学模型,能够举例说明建模的意义,体会其蕴含的数学思想;感悟数学表达对数学建模的重要性.在交流的过程中,能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题.
4.知道数学建模活动的主要过程包括选题、开题、做题、结题,能够选择简单的实际问题,完成数学建模活动.
1.通过在综合的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数学关系,提出数学问题,运用数学建模的一般方法和相关知识,建立数学模型,解决问题,培养数学建模素养.
2.通过理解数学建模的意义和作用,运用数学语言,清晰、准确地表达数学建模的过程和结果,在交流的过程中,能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象,培养数学运算、逻辑推理和数据分析素养.
走近数学建模
[实际问题 哥尼斯堡七桥问题]
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒).普莱格尔河有两个支流,在城市中心汇成大河,中间是岛区,在河上有七座桥,如图.
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂,居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天,有人突发奇想:如何才能走过这七座桥,而每座桥都只能经过一次,最后又回到原来的出发点?人们开始沉迷于这个问题,在桥上来来回回不知走了多少次,却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.
[实际问题的数学表述]
七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想:经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径,会不会根本不存在这样的走法?
首先,欧拉想到的是列举法,就是把所有的走法都一一列出来,再一个一个验证.但是,他很快发现这样做太麻烦了,因为对七座桥的不同走法就有5 000多种,并且这种方法不具有通用性.
经过反复思考,欧拉想到:岛的形状、大小,以及桥的长短、宽窄并不影响结果,重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点,连接陆地的7座桥看作7条线,就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了,七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.
[数学问题的解决]
欧拉注意到,如果这样的图形能一笔画成,那么除去起点和终点外,其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是:只要从一条线进入这个点,就要从另一条线离开这个点.有进无出,只能是终点;有出无进,只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条,则称该点为偶点;否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点,那么这个点也是偶点.
一笔画定理:一个由点和线组成的图形能一笔画完,必须符合以下两个条件:
(1)图形是连在一起的,即是连通图形;
(2)图形中的奇点个数为0或2.
[用数学结论解答原问题]
在七桥问题中,四个点全是奇点,不能一笔画,即不可能一次无重复地走完七座桥.
1741年,欧拉的相关论文发表在《圣彼得堡科学院通讯》上,开创了图论和拓扑学两门新的学科.
欧拉对实际问题进行抽象概括,用数学的语言(模型)把实际问题转化为数学问题,又用数学的思想方法分析、解决了这个问题,这个过程就是数学建模.
[用数学结论解答相关问题]
[例1] 如图是11个旅游景点的线路,要看完所有景点,请设计一条旅游线路.
解:有两个奇点,在8和5这两个位置,旅游线路可以是8→9→10→2→11→4→3→2→1→8→7→6→5→10→4→5.
实例探究 数学建模的主要步骤
[提出问题]
在一个十字路口,每次绿灯亮的时长为15 s,那么,每次绿灯亮时,在一条直行道路上能有多少辆汽车通过此十字路口?
[建立模型]
这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素.而不 这是建模的重要环节——假设.
同型号车的车长是不同的,驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同,行人和非机动车的干扰因素复杂且不确定.面对这些不同和不确定,就需要作出假设.例如,虽然通过路口的车辆各种各样,但多数是小轿车,因此这次建模就只考虑小轿车的情况,它们的长度差距不大,可以假设车辆长度都相同.
经过对相关因素的分析,可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设:
(1)通过路口的车辆长度都相等;
(2)等待时,前后相邻两辆车的车距都相等;
(3)绿灯亮后,汽车都是在静止状态下匀加速启动;
(4)前一辆车启动后,下一辆车启动的延时时间相等;
(5)车辆行驶秩序良好,不会发生堵塞.
将车辆长度记作l,车距记作d,经过实际调查,取l=5 m,d=2 m较为合理. 问题中涉及的数据要建模者收集
另据调查,一般的汽车按照十字路口的加速状态,10 s内可从静止加速到21 m/s,加速度记作a,计算可得a=2.1 m/s2.为了简化,这里取a=2 m/s2.汽车加速到最高限速后,便以这个最高限速行驶.
资料显示,城市十字路口的限速v*=40 km/h≈11.1 m/s.
延时时间记作T,经观察,取T=1 s较为合理.用tn表示第n辆汽车开始启动的时间,则tn=nT.用tn*表示第n辆车到达最高限速的时间,则汽车做匀加速运动的时间是tn*-tn=v*a=5.55(s).
为了简化,这里tn*-tn的值取5.5 s.
用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置,停车线位置记作0,则Sn(0)=-(n-1)(l+d).这样,实际问题就可以表述为数学问题:求满足Sn(15)>0的n的最大值,其中
Sn(t)=Sn(0),0≤t
代入各个量的参数值,可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置,如表.
汽车序号
1
2
3
4
5
6
7
8
位置/ m
124.6
106.5
88.4
70.3
52.2
34.1
16.0
-2.1
由表可见,绿灯亮至15 s时,第7辆车已经驶过停车线 16.0 m,而第8辆车还距停车线2.1 m,没有通过.因此,15 s的绿灯亮时最多可以通过7辆车.
[检验结果]
到十字路口实地调查,对结论做检验.若没有明显误差,就可以使用这个模型.否则,再修改假设,重新建模.
数学建模的一般步骤
(1)提出问题
实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失,这就需要透过现象,明确地提出问题.
(2)建立模型
在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.
在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题,就会得到不同的模型.
(3)求解模型
这个过程是求解数学问题,值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.
(4)检验结果
用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.
[拓展升华]
(一)数学应用题的特点
我们常把来源于客观世界,具有实际意义或实际背景,要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示,从而获得解决的一类数学问题叫作数学应用题.数学应用题具有如下特点:
第一,数学应用题的本身具有实际意义或实际背景.这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际.如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与横向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、时事政治等有关的应用题等.
第二,数学应用题的求解需要采用数学建模的方法,使所求问题数学化,即将问题转化成数学形式来表示后再求解.
第三,数学应用题涉及的知识点多,是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验,考查的是学生的综合能力,涉及的知识点一般在三个以上,如果某一知识点掌握不好,很难将问题正确解答.
第四,数学应用题的命题没有固定的模式或类别.往往是一种新颖的实际背景,难于进行题型模式训练,用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题.必须依靠真实的能力来解题,对综合能力的考查更具有真实性、有效性.因此它具有广阔的发展空间和潜力.
(二)数学应用题如何建模
建立数学模型是解答数学应用题的关键.建立数学模型可分为以下几个层次:
第一层次:直接建模.
根据题设条件,套用现成的数学公式、定理等数学模型,注解图为:将题设条件翻译成数学表示形式.
应用题审题题设条件代入数学模型求解选定可直接运用的数学模型.
第二层次:多重建模.对复杂的关系进行提炼加工,忽略次要因素,建立若干个数学模型方能解决问题.
第三层次:假设建模.要进行分析、加工和作出假设,然后才能建立数学模型.如研究十字路口车流量问题,假设车流平稳,没有突发事件等才能建模.
(三)建立数学模型应具备的能力
从实际问题中建立数学模型,解决数学问题从而解决实际问题,这一全过程的关键是建立数学模型能力的强弱,直接关系到数学应用题的解题质量,同时也体现了综合能力.
1.提高分析、理解、阅读能力
阅读理解能力是数学建模的前提,数学应用题一般都创设一个新的背景,也针对问题本身使用一些专门术语,并给出即时定义.
2.强化将文字语言叙述、翻译成数学符号语言的能力
将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言,即数、式子、方程、不等式、函数等,这种译释能力是数学建模的基础性工作.
例如:一种产品原来的成本为a元,在今后几年内,计划使成本平均每一年比上一年降低p%,经过五年后的成本为多少?
将题中给出的文字翻译成符号语言,即成本y=a(1-p%)5.
3.增强选择数学模型的能力
选择数学模型是数学能力的反映.数学模型的建立有多种方法,怎样选择一个最佳的模型,体现数学能力的强弱.建立数学模型主要涉及方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型.结合教学内容,以函数建模为例,以下为实际问题所选择的数学模型:
一次函数:成本、利润、销售收入等.
二次函数:优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等.
幂函数、指数函数、对数函数:细胞分裂、生物繁殖等.
三角函数:测量、交通流量、力学问题等.
4.加强数学运算能力
数学应用题一般运算量较大、较复杂,且有近似计算.有的尽管思路正确、建模合理,但计算能力欠缺,就会前功尽弃.所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在,忽视运算能力,特别是计算能力的培养,只重视推理过程,不重视计算过程的做法是不可取的.
利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题,培养学生发散思维能力是很有益的,是提高学生素质,进行素质教育的一条有效途径.同时数学建模的应用也是科学实践,有利于实践能力的培养,是实施素质教育所必需的,需要引起教育工作者的足够重视.
(四)数学建模解应用题举例
[例2] 你是否注意到有些建筑物的窗户是双层的,即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙,如图(1)所示,两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气.据说这样做是为了保暖,即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程,并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如图(2),玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.
模型假设:
(1)热量的传播过程只有传导,没有对流.即假定窗户的密封性能很好,两层玻璃之间的空气是不流动的.
(2)室内温度T1和室外温度T2保持不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数.
(3)玻璃材料均匀,热传导系数是常数.
在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律:厚度为d的均匀介质,两侧温度差为ΔT,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比,与d成反比,即Q=kΔTd(*),k为热传导系数.
从有关资料可知,常用玻璃的热传导系数为k1=4×10-3～8×10-3J/cm·s·kW·h,不流通、干燥空气的热传导系数为k2=2.5×10-4 J/cm·s·kW·h.
解:记双层窗内层玻璃的外侧温度是Ta,外层玻璃的内侧温度是Tb,如图,玻璃的热传导系数为k1,空气的热传导系数为k2,由(*)式得单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为
Q1=k1T1-Tad=k2Ta-Tbl=k1Tb-T2d,
消去Ta,Tb,可得Q1=k1(T1-T2)d(s+2),s=hk1k2,h=ld.
对于厚度为2d的单层玻璃窗,容易得出其热量传导为Q2=k1T1-T22d.
二者之比为Q1Q2=2s+2,
显然Q1
比值Q1Q2反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效,它只与h=ld有关,我们给出Q1Q2-h的曲线,当h增加时,Q1Q2迅速下降,而当h超过一定值(比如h>4)后Q1Q2下降变缓,可见h不必选择过大.
变式训练2-1:某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q=λ1|ΔT|d(λ1lλ2d+2),其中玻璃的热传导系数λ1=4×10-3 J/cm·kWh,不流通、干燥空气的热传导系数λ2=2.5×10-4 J/cm·kWh,ΔT为室内外温度差,q值越小,保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型号
每层玻璃厚度
d/cm
玻璃间夹空气层
厚度l/cm
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是( )
(A)A型 (B)B型 (C)C型 (D)D型
解析:设y=d(λ1lλ2d+2)=λ1λ2l+2d=16l+2d,
所以yA=48.8,yB=64.6,yC=49,yD=64.8,
所以yA
所以qA>qC>qB>qD,
所以D型玻璃保温效果最好.
故选D.
数学建模活动的主要过程
中学的“数学建模活动”是运用数学模型思想解决实际问题的综合实践活动,以课题研究形式开展,可以小组合作,也可以独立完成.课题研究的过程包括“选题、开题、做题、结题”四个环节.选题就是选定研究的问题,开题是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案,做题就是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动,结题是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程,一般来讲,结题会是结题的基本形式.一项研究完成之后,要写出结题报告.
[数学建模活动举例]
[例3] 在商场中,我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号,其价格也各不相同.对比型号和价格,我们很容易发现:当商品的“量”增加时,价格也会增加;但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的,也就是说买的商品的“量”越多,商品的平均价格越低,有人认为这是商家的营销策略,买得越多越划算,这样顾客往往倾向于购买大包装的商品.大包装的商品真的是薄利多销吗?
就这一问题通过调查、分析、研究,完成选题、开题报告.
解:
要解决
的问题
到商场买牙膏,从划算的角度讲,同一品牌的牙膏我们是买小包装的好,还是大包装的好呢
解决
问题
的方法
同一品牌的牙膏形状是相似的,通过比例建立价格与质量的函数关系
相关
问题
分析
及其
假设
我们设商品的价格为y(元),质量为x(g),看能否找出y与x的函数关系式y=f(x).为了方便叙述,我们引入“∝”这一符号,当y与x成比例,即y=kx(k为常数)时,记作y∝x
建模、求
解的主
要过程
设商品的成本为P(元),一般来说,商品价格=商品成本×(1+利润率),所以有y∝P.而商品的成本主要分为生产成本和包装成本两部分,分别设为P1和P2,即有y∝(P1+P2).商品的生产成本P1与商品的质量x成比例,即P1∝x;而商品的包装成本P2与商品的表面积S成比例,即P2∝S,而S∝V23,V∝x(这里V指商品的体积),故有P2∝x23.从而我们可以假设y=ax+bx23.
下面我们用实际数据来检验这一函数表达式的准确性:因为在函数中有两个待定系数,所以我们只需要代入两组(x,y)值即可求出a,b的值.
将(65,14)和(90,17.6)代入y=ax+bx23中,可得65a+6523b=14,90a+9023b=17.6,
解得a≈0.022 5,b≈0.775 6,
所以y=0.022 5x+0.775 6x23
结果
检验
将x=120代入,得y≈21.57,与实际价格21.60元相差0.03;再将x=180代入,得y≈28.78,与实际价格28.30元相差0.48元.
因此,我们推导出来的函数表达式还是比较准确的
小组成
员的分
工和各
自的主
要贡献
全组共同制订研究计划,商讨并确定数学模型,另分工如下:
同学甲,组长,侧重组织讨论,把握工作方向;
同学乙、丙,侧重信息采集、数据计算整理;
同学丁,侧重讨论记录、报告撰写、结果复核
反思与
拓展
在以上推导过程中,我们只考虑了生产和包装两种主要的成本,如果将运输成本、超市上架费、网站仓储费等因素也考虑进去,可能结果会更准确,但是模型也会复杂很多,可操作性就差了.另外,商品包装的材质也会对价格造成较大的影响,比如同一品牌的巧克力,可能会有普通包装、精品包装和礼品包装三种,这时如果只考虑分量对价格的影响,显然是不合适的
研究的
收获和
感受,
得到的
帮助和
致谢
对自己确定相关因素和“寻找”数据有了切身感受.分工合作使我们理解了未来的学习和工作模式,学会了向别人学习,同时积极表达自己的想法.感谢我们的数学老师和家长提供的参考意见和对我们的鼓励
主要参
考文献
《从课程标准到课堂教学:中学教学建模与探究》(张思明主编)
变式训练3-1:针对“甲市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考,完成其开题报告.
解:
要解决的问题
随着甲市的不断发展,交通成了饱受关注的话题,那么甲市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律
选题的原
因及意义
为市民日常出行乃至相关部门的政策制定提供参考
建模问题的
可行性分析
时间和车流量满足一定的函数关系
基本模型、解
决问题的大体
思路和步骤
观测某主干道每3分钟内通过的车流量,进行分析比较,时间为自变量x(单位:小时),车流量为因变量y(单位:辆/3分)
预期结果和结
果呈现方式
一个能够反映时间与车流量的函数模型,一份有求解过程的文字报告
成员和分工
全组共同制订研究计划商讨确定数学模型
同学甲(组长,侧重组织讨论,把握工作方向)
同学乙、丙(侧重信息采集、数据计算整理)
同学丁(侧重讨论记录、报告撰写、结果复核)
参考文献
《甲市交通状况的分析与预测》
百度地图http://map.baidu.com
[例1] 某工艺公司要对某种工艺品深加工,已知每个工艺品进价为20元,每个工艺品的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,须有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1 000个.
(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;
(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点)
解:(1)设m=k·10-x=k10x,x∈[26,32].
当x=29时,m=1 000,则k=1032,
所以m=103210x=1032-x,x∈[26,32],
所以y=m(x-20-n)=(x-20-n)1032-x,n∈[3,6]x∈[26,32],x∈N.
(2)当n=5时,由y=(x-25)1032-x=100×104=106,
整理得x-25=10x-26.
因为函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点,且当x=26时,等式成立,
所以x=26是方程x-25=10x-26唯一的根,
所以销售单价为26元时,该公司的日销售利润为100万元.
[例2] 经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-13t+1123(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t)=14t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-12t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.
解:当1≤t≤40,t∈N时,
S(t)=g(t)f(t)
=(-13t+1123)(14t+22)
=-112t2+2t+112×223
=-112(t-12)2+2 5003,
所以768=S(40)≤S(t)≤S(12)=2 5003.
当41≤t≤100,t∈N时,
S(t)=g(t)f(t)
=(-13t+1123)(-12t+52)
=16t2-36t+112×523
=16(t-108)2-83,
所以8=S(100)≤S(t)≤S(41)=1 4912.
所以,该商品的销售额S(t)的最大值为2 5003,最小值为8.
[例3] 某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元,市场对此商品的需求量为5百台,销售收入(单位:万元)的函数为R=5x-12x2,其中x是产品生产并售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量为多少时,企业所得利润最大?
(3)年产量为多少时,企业才不亏本(不赔钱)?
解:(1)设利润为y万元,
则y=-12x2+4.75x-0.5(0≤x≤5),12-0.25x(x>5).
(2)显然当0≤x≤5时,企业会获得最大利润,
此时,y=-12(x-4.75)2+10.781 25,
所以当x=4.75,即年产量为475台时,企业所得利润最大.
解:(3)要使企业不亏本,则y≥0.
即0≤x≤5,-12x2+4.75x-0.5≥0或x>5,12-0.25x≥0,
得0.11≤x≤5或5
即年产量在11台到4 800台之间时,企业不亏本.
[例4] 养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(注:空闲率=养鱼场中鱼群的最大养殖量-实际养殖量养鱼场中鱼群的最大养殖量)
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值;
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解:(1)由题意得,空闲率为m-xm,由于鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0),
所以y=kx·m-xm=kx(1-xm)(0≤x
所以当x=m2时,y最大=km4,
即鱼群年增长量的最大值为km4 t.
(3)由题意可得0≤x+y
又因为k>0,所以0
第八章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.有一组数据,如表所示:
x
1
2
3
4
5
y
3
5
6.99
9.01
11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的是( C )
(A)指数函数 (B)反比例函数
(C)一次函数 (D)二次函数
解析:函数值的增量几乎是均匀的,故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律.故选C.
2.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( B )
(A)y=[x10] (B)y=[x+310]
(C)y=[x+410] (D)y=[x+510]
解析:当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除以10,再用这个余数与3相加,若和大于等于10就增选一名代表,将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系,其用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y=[x+310].故选B.
3.向如图所示的容器中匀速注水时,容器中水面高度h随时间t变化的大致图象是( C )
解析:结合容器的形状,可知一开始注水时,水面高度增加较快.当水位接近容器中部时高度增加的越来越慢并持续一段时间,接近上部时,水面高度增加地越来越快.故选C.
4.当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lgxA0(其中A0为常数).装修电钻的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为( C )
(A)53 (B)1053 (C)104 (D)e4
解析:设装修电钻的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,
由题意得f(x1)=100=10lgx1A0,f(x2)=60=10lgx2A0⇒x1=A01010,x2=A0106,
所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度的比值为x1x2=A01010A0106=104.故选C.
5.某学生在期中考试中,数学成绩较优,英语成绩较弱,为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩,他决定重点加强英语学习,结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%,但数学成绩每次都比上次降低了10%,期末时这两科分值恰好均为m分,则这名学生这两科的期末总成绩和期中比,结果( B )
(A)提高了 (B)降低了
(C)不提不降(相同) (D)是否提高与m值有关系
解析:设该生期中考试数学和英语成绩分别为a和b,
则a(1-10%)2=b(1+10%)2=m,
所以a=m0.81,b=m1.21,a+b=m0.81+m1.21≈2.06m>2m,
所以期末总成绩比期中降低了.故选B.
6.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=
C,(0A).已知某家庭2021年三个月的煤气费如表:
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为( A )
(A)11.5元 (B)11元 (C)10.5元 (D)10元
解析:根据一月份用气量4 m3,煤气费4元,可知f(4)=C=4,由f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,
解得A=5,B=12,
所以f(x)=4(05),
所以f(20)=4+12(20-5)=11.5.
故选A.
7.如果消息A发生的概率为P(A),那么消息A所含的信息量为I(A)=
log21P(A).若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告,则发布的以下4条消息中,信息量最大的是( B )
(A)王教授在第4排
(B)王教授在第4排第5列
(C)王教授在第5列
(D)王教授在某一排
解析:A选项中的事件“王教授在第4排”发生的概率为832=14,信息量为2;B选项中的事件“王教授在第4排第5列”发生的概率为132,信息量为5;C选项中的事件“王教授在第5列”发生的概率为432=18,信息量为3;D选项中的事件“王教授在某一排”发生的概率为3232,信息量为0,显然B选项中的事件发生的概率最小,其信息量最大.故选B.
8.蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知,购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元,而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元.设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元,购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元,则( C )
(A)A (C)A>B (D)A,B大小不确定
解析:设甲、乙两种蔬菜的价格分别为每千克x,y元,
则2x+y>8,①4x+5y<22,②
A=2x,B=3y,
①×22,②×8,整理得12x-18y>0,
即2x-3y>0,所以A>B.
故选C.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.“双11”购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额满一定额度,可以给予优惠.
①如果购物总额不超过50元,则不给予优惠;
②如果购物总额超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优
惠券;
③如果购物总额超过100元但不超过300元,则按标价给予九折优惠;
④如果购物总额超过300元,其中300元内的按第③条给予优惠,超过300元的部分给予八折优惠.
某人购买了部分商品,则下列说法正确的是( ABD )
(A)如果购物总额为78元,则应付款为73元
(B)如果购物总额为228元,则应付款为205.2元
(C)如果购物总额为368元,则应付款为294.4元
(D)如果购物时一次性全部付款442.8元,则购物总额为516元
解析:如果购物总额为78元,满足超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优惠券,则应付款为73元,故A正确;如果购物总额为228元,超过100元但不超过300元,则应付款为228×0.9=205.2元,故B正确;如果购物总额为368元,购物总额超过300元,则应付款为300×0.9+68×0.8=324.4元,故C错误;如果购物时一次性全部付款442.8元,说明购物总额超过300元,设购物总额为x元,则300×
0.9+(x-300)×0.8=442.8,解得x=516元,故D正确.故选ABD.
10.某停车场的收费标准如下:临时停车半小时内(含半小时)免费,临时停车1小时收费5元,此后每停车1小时收费3元,不足1小时按1小时计算,24小时内最高收费40元.现有甲、乙两车临时停放在该停车场,下列判断正确的是( ACD )
(A)若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时,则停车费用之和可能为8元
(B)若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为10元
(C)若甲车与乙车的停车时长之和为10小时,则停车费用之和可能为34元
(D)若甲车与乙车的停车时长之和为25小时,则停车费用之和可能为45元
解析:对于选项A,因为停车时长之和为1.6小时,若甲或乙停车0小时,乙或甲停车1.6小时,则停车费用之和为8元;A正确;
对于选项B,因为停车时长之和为2.5小时,超过2小时,则停车费用之和大于10元,不可能为10元,B错误;
对于选项C,因为停车时长之和为10小时,若甲、乙每人停车时长为5小时,则停车费用之和为2×[5+(5-1)×3]=34元,C正确;
对于选项D,因为停车时长之和为25小时,若甲停车时长为1小时,则乙停车时长为24小时,则停车费用之和为5+40=45元,D正确.故选ACD.
11.某一池塘里浮萍面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=2t,下列说法中正确的是( ABD )
(A)浮萍每月增长率为1
(B)第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
(C)浮萍每月增加的面积都相等
(D)若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3
解析:对于选项A,浮萍每月增长率为2t+1-2t2t=2t(2-1)2t=1,即A正确;对于选项B,当t=5时,y=2t=32>30,即B正确;对于选项C,浮萍每月增加的面积为2t+1-2t=2t,与时间t有关,即C错误;对于选项D,令y=2t1=2,则t1=1;令y=2t2=3,则t2=log23;令y=2t3=6,则t3=log26,所以t1+t2=1+
log23=log22+log23=log26=t3,即D正确.故选ABD.
12.为预防流感病毒,某校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25 mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=ax(a为常数),则下列说法正确的是( ABD )
(A)当0≤x≤0.2时,y=5x
(B)当x>0.2时,y=15x
(C)教室内持续有效杀灭病毒时间为45 h
(D)喷洒药物3分钟后能有效杀灭病毒
解析:在药物释放过程中,设y=kx(k≠0),
代入(0.2,1)可得k=5,
所以当0≤x≤0.2时,y=5x,A正确;
当x>0.2时,代入(0.2,1),解得a=0.2,
此时y=15x,B正确;
令5x=0.25,解得x=0.05 h,即x=3分钟,D正确;
令15x≤0.25,解得x≥45 h,C错误.故选ABD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.
13.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=12log3O100,单位是m/s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是 m/s.
解析:当O=2 700时,v=12log3O100=
12log32 700100=12log327=32.
答案:32
14.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层随机抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
由于不小心,表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是 件.
解析:抽样比为130∶1 300=1∶10,即每10个产品中抽取1个个体,又A产品的样本量比C产品的样本量多10,故C产品的数量是
[(3 000-1 300)-100]×12=800(件).
答案:800
15.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应,投入广告费应为 .(用常数a表示)
解析:D=R-A=aA-A,
令t=A(t>0),则A=t2,
所以D=at-t2=-(t-a2)2+a24.
所以当t=12a,即A=a24时,D取得最大值.
答案:a24
16.如图表示一位骑自行车的旅行者和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象提出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者,其中正确信息的序号是 .
解析:由图可知骑自行车者0 h出发,6 h到达乙地,骑摩托车者3 h出发,5 h到达乙地,所以骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到
1 h,故①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,故②正确;
两条曲线的交点的横坐标是4.5,即在4.5 h时骑摩托车者追上了骑自行车者,故③正确.综上所述,正确信息的序号是①②③.
答案:①②③
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A,B两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿kW·h/月,B城为10亿kW·h月.
(1)求x的取值范围;
(2)把月供电总费用y表示成x的函数;
(3)核电站建在距A城多远处,才能使供电费用最小.
解:(1)x的取值范围为[10,90].
(2)y=0.25×20x2+0.25×10(100-x)2
=5x2+52(100-x)2(10≤x≤90).
(3)y=5x2+52(100-x)2
=152x2-500x+25 000
=152(x-1003)2+50 0003.
则当x=1003 km时,y最小.
故当核电站建在距A城1003 km处时,才能使供电费用最小.
18.(12分)某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N+)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N+),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?
解:根据题意可列方程组
f(1)=a+b+c=100,f(2)=4a+2b+c=120,f(3)=9a+3b+c=130.
解得a=-5,b=35,c=70,
所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①
同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②
再将x=4分别代入①②,得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),
g(4)=-80×0.54+140=135(t).
与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,
所以②式作为模拟函数比①式更好,
故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
19.(12分)某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图.某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往H.
(1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示);
(2)求他经过市中心O的概率.
解:(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为
A→B→C→E→H,A→B→O→E→H,
A→B→O→G→H,A→D→O→E→H,
A→D→O→G→H,A→D→F→G→H,
共6条.
(2)记“此人经过市中心O”为事件M,则M包含的样本点为
A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,
A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,
共4个,
所以P(M)=46=23.
即他经过市中心O的概率为23.
20.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理如表:
日需
求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
解:(1)当日需求量n≥17时,利润y=85;
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以利润y关于当天需求量n的函数解析式为
y=10n-85,n<17,85,n≥17(n∈N).
(2)①这100天的日利润的平均数为
55×10+65×20+75×16+85×54100=76.4(元).
②当天的利润不少于75元,当且仅当日需求量不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
21.(12分)如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m,为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,并求出x的取值范围;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
解:(1)如图所示,
作PQ⊥AF于点Q,
则PQ=8-y,EQ=4-(8-x)=x-4,其中4≤x≤8.
在△EDF中,EQPQ=EFDF,
即x-48-y=42,
所以y=-12x+10,其中x∈[4,8].
(2)设矩形BNPM的面积为S,
则S(x)=xy=x(10-x2)=-12(x-10)2+50,x∈[4,8],
根据二次函数的性质,可得当x∈[4,8]时,
函数S(x)单调递增,
所以当x=8 m时,矩形BNPM的面积最大,最大值为48 m2.
故矩形BNPM面积的最大值为48 m2.
22.(12分)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:min)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足p(t)=60-(t-10)2,5≤t<10,60,10≤t≤20,其中t∈N.
(1)求p(5),并说明p(5)的实际意义.
(2)若该路公交车每分钟的净收益为y=6p(t)+24t-10(元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大?并求每分钟的最大净收益.
解:(1)p(5)=60-(5-10)2=35,实际意义为发车时间间隔为5 min时,载客量为35.
(2)因为y=6p(t)+24t-10,
所以当5≤t<10时,
y=360-6(t-10)2+24t-10
=110-(6t+216t),
任取5≤t1
=6(t2-t1)+216t2-216t1
=6(t2-t1)+216(t1-t2)t1t2
=6(t2-t1)(t1t2-36)t1t2.
因为5≤t1
所以函数y=110-(6t+216t)在区间[5,6]上单调递增,同理可证该函数在区间[6,10)上单调递减,
所以当t=6时,y取得最大值38;
当10≤t≤20时,y=6×60+24t-10=384t-10,该函数在区间[10,20]上单调递减,
则当t=10时,y取得最大值28.4.
综上,当发车时间间隔为6 min时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.
§1 走近数学建模
§2 数学建模的主要步骤
§3 数学建模活动的主要过程
核心知识目标
核心素养目标
1.了解熟悉数学模型的实际背景及其数学描述,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.
2.知道数学建模的一般步骤包括提出问题、建立模型、求解模型、检验结果.能够在熟悉的实际情境中,模仿学过的数学建模过程解决问题.
3.对于学过的数学模型,能够举例说明建模的意义,体会其蕴含的数学思想;感悟数学表达对数学建模的重要性.在交流的过程中,能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题.
4.知道数学建模活动的主要过程包括选题、开题、做题、结题,能够选择简单的实际问题,完成数学建模活动.
1.通过在综合的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数学关系,提出数学问题,运用数学建模的一般方法和相关知识,建立数学模型,解决问题,培养数学建模素养.
2.通过理解数学建模的意义和作用,运用数学语言,清晰、准确地表达数学建模的过程和结果,在交流的过程中,能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象,培养数学运算、逻辑推理和数据分析素养.
走近数学建模
[实际问题 哥尼斯堡七桥问题]
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒).普莱格尔河有两个支流,在城市中心汇成大河,中间是岛区,在河上有七座桥,如图.
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂,居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天,有人突发奇想:如何才能走过这七座桥,而每座桥都只能经过一次,最后又回到原来的出发点?人们开始沉迷于这个问题,在桥上来来回回不知走了多少次,却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.
[实际问题的数学表述]
七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想:经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径,会不会根本不存在这样的走法?
首先,欧拉想到的是列举法,就是把所有的走法都一一列出来,再一个一个验证.但是,他很快发现这样做太麻烦了,因为对七座桥的不同走法就有5 000多种,并且这种方法不具有通用性.
经过反复思考,欧拉想到:岛的形状、大小,以及桥的长短、宽窄并不影响结果,重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点,连接陆地的7座桥看作7条线,就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了,七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.
[数学问题的解决]
欧拉注意到,如果这样的图形能一笔画成,那么除去起点和终点外,其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是:只要从一条线进入这个点,就要从另一条线离开这个点.有进无出,只能是终点;有出无进,只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条,则称该点为偶点;否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点,那么这个点也是偶点.
一笔画定理:一个由点和线组成的图形能一笔画完,必须符合以下两个条件:
(1)图形是连在一起的,即是连通图形;
(2)图形中的奇点个数为0或2.
[用数学结论解答原问题]
在七桥问题中,四个点全是奇点,不能一笔画,即不可能一次无重复地走完七座桥.
1741年,欧拉的相关论文发表在《圣彼得堡科学院通讯》上,开创了图论和拓扑学两门新的学科.
欧拉对实际问题进行抽象概括,用数学的语言(模型)把实际问题转化为数学问题,又用数学的思想方法分析、解决了这个问题,这个过程就是数学建模.
[用数学结论解答相关问题]
[例1] 如图是11个旅游景点的线路,要看完所有景点,请设计一条旅游线路.
解:有两个奇点,在8和5这两个位置,旅游线路可以是8→9→10→2→11→4→3→2→1→8→7→6→5→10→4→5.
实例探究 数学建模的主要步骤
[提出问题]
在一个十字路口,每次绿灯亮的时长为15 s,那么,每次绿灯亮时,在一条直行道路上能有多少辆汽车通过此十字路口?
[建立模型]
这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素.而不 这是建模的重要环节——假设.
同型号车的车长是不同的,驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同,行人和非机动车的干扰因素复杂且不确定.面对这些不同和不确定,就需要作出假设.例如,虽然通过路口的车辆各种各样,但多数是小轿车,因此这次建模就只考虑小轿车的情况,它们的长度差距不大,可以假设车辆长度都相同.
经过对相关因素的分析,可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设:
(1)通过路口的车辆长度都相等;
(2)等待时,前后相邻两辆车的车距都相等;
(3)绿灯亮后,汽车都是在静止状态下匀加速启动;
(4)前一辆车启动后,下一辆车启动的延时时间相等;
(5)车辆行驶秩序良好,不会发生堵塞.
将车辆长度记作l,车距记作d,经过实际调查,取l=5 m,d=2 m较为合理. 问题中涉及的数据要建模者收集
另据调查,一般的汽车按照十字路口的加速状态,10 s内可从静止加速到21 m/s,加速度记作a,计算可得a=2.1 m/s2.为了简化,这里取a=2 m/s2.汽车加速到最高限速后,便以这个最高限速行驶.
资料显示,城市十字路口的限速v*=40 km/h≈11.1 m/s.
延时时间记作T,经观察,取T=1 s较为合理.用tn表示第n辆汽车开始启动的时间,则tn=nT.用tn*表示第n辆车到达最高限速的时间,则汽车做匀加速运动的时间是tn*-tn=v*a=5.55(s).
为了简化,这里tn*-tn的值取5.5 s.
用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置,停车线位置记作0,则Sn(0)=-(n-1)(l+d).这样,实际问题就可以表述为数学问题:求满足Sn(15)>0的n的最大值,其中
Sn(t)=Sn(0),0≤t
代入各个量的参数值,可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置,如表.
汽车序号
1
2
3
4
5
6
7
8
位置/ m
124.6
106.5
88.4
70.3
52.2
34.1
16.0
-2.1
由表可见,绿灯亮至15 s时,第7辆车已经驶过停车线 16.0 m,而第8辆车还距停车线2.1 m,没有通过.因此,15 s的绿灯亮时最多可以通过7辆车.
[检验结果]
到十字路口实地调查,对结论做检验.若没有明显误差,就可以使用这个模型.否则,再修改假设,重新建模.
数学建模的一般步骤
(1)提出问题
实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失,这就需要透过现象,明确地提出问题.
(2)建立模型
在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.
在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题,就会得到不同的模型.
(3)求解模型
这个过程是求解数学问题,值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.
(4)检验结果
用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.
[拓展升华]
(一)数学应用题的特点
我们常把来源于客观世界,具有实际意义或实际背景,要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示,从而获得解决的一类数学问题叫作数学应用题.数学应用题具有如下特点:
第一,数学应用题的本身具有实际意义或实际背景.这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际.如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与横向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、时事政治等有关的应用题等.
第二,数学应用题的求解需要采用数学建模的方法,使所求问题数学化,即将问题转化成数学形式来表示后再求解.
第三,数学应用题涉及的知识点多,是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验,考查的是学生的综合能力,涉及的知识点一般在三个以上,如果某一知识点掌握不好,很难将问题正确解答.
第四,数学应用题的命题没有固定的模式或类别.往往是一种新颖的实际背景,难于进行题型模式训练,用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题.必须依靠真实的能力来解题,对综合能力的考查更具有真实性、有效性.因此它具有广阔的发展空间和潜力.
(二)数学应用题如何建模
建立数学模型是解答数学应用题的关键.建立数学模型可分为以下几个层次:
第一层次:直接建模.
根据题设条件,套用现成的数学公式、定理等数学模型,注解图为:将题设条件翻译成数学表示形式.
应用题审题题设条件代入数学模型求解选定可直接运用的数学模型.
第二层次:多重建模.对复杂的关系进行提炼加工,忽略次要因素,建立若干个数学模型方能解决问题.
第三层次:假设建模.要进行分析、加工和作出假设,然后才能建立数学模型.如研究十字路口车流量问题,假设车流平稳,没有突发事件等才能建模.
(三)建立数学模型应具备的能力
从实际问题中建立数学模型,解决数学问题从而解决实际问题,这一全过程的关键是建立数学模型能力的强弱,直接关系到数学应用题的解题质量,同时也体现了综合能力.
1.提高分析、理解、阅读能力
阅读理解能力是数学建模的前提,数学应用题一般都创设一个新的背景,也针对问题本身使用一些专门术语,并给出即时定义.
2.强化将文字语言叙述、翻译成数学符号语言的能力
将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言,即数、式子、方程、不等式、函数等,这种译释能力是数学建模的基础性工作.
例如:一种产品原来的成本为a元,在今后几年内,计划使成本平均每一年比上一年降低p%,经过五年后的成本为多少?
将题中给出的文字翻译成符号语言,即成本y=a(1-p%)5.
3.增强选择数学模型的能力
选择数学模型是数学能力的反映.数学模型的建立有多种方法,怎样选择一个最佳的模型,体现数学能力的强弱.建立数学模型主要涉及方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型.结合教学内容,以函数建模为例,以下为实际问题所选择的数学模型:
一次函数:成本、利润、销售收入等.
二次函数:优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等.
幂函数、指数函数、对数函数:细胞分裂、生物繁殖等.
三角函数:测量、交通流量、力学问题等.
4.加强数学运算能力
数学应用题一般运算量较大、较复杂,且有近似计算.有的尽管思路正确、建模合理,但计算能力欠缺,就会前功尽弃.所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在,忽视运算能力,特别是计算能力的培养,只重视推理过程,不重视计算过程的做法是不可取的.
利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题,培养学生发散思维能力是很有益的,是提高学生素质,进行素质教育的一条有效途径.同时数学建模的应用也是科学实践,有利于实践能力的培养,是实施素质教育所必需的,需要引起教育工作者的足够重视.
(四)数学建模解应用题举例
[例2] 你是否注意到有些建筑物的窗户是双层的,即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙,如图(1)所示,两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气.据说这样做是为了保暖,即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程,并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如图(2),玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.
模型假设:
(1)热量的传播过程只有传导,没有对流.即假定窗户的密封性能很好,两层玻璃之间的空气是不流动的.
(2)室内温度T1和室外温度T2保持不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数.
(3)玻璃材料均匀,热传导系数是常数.
在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律:厚度为d的均匀介质,两侧温度差为ΔT,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比,与d成反比,即Q=kΔTd(*),k为热传导系数.
从有关资料可知,常用玻璃的热传导系数为k1=4×10-3～8×10-3J/cm·s·kW·h,不流通、干燥空气的热传导系数为k2=2.5×10-4 J/cm·s·kW·h.
解:记双层窗内层玻璃的外侧温度是Ta,外层玻璃的内侧温度是Tb,如图,玻璃的热传导系数为k1,空气的热传导系数为k2,由(*)式得单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为
Q1=k1T1-Tad=k2Ta-Tbl=k1Tb-T2d,
消去Ta,Tb,可得Q1=k1(T1-T2)d(s+2),s=hk1k2,h=ld.
对于厚度为2d的单层玻璃窗,容易得出其热量传导为Q2=k1T1-T22d.
二者之比为Q1Q2=2s+2,
显然Q1
比值Q1Q2反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效,它只与h=ld有关,我们给出Q1Q2-h的曲线,当h增加时,Q1Q2迅速下降,而当h超过一定值(比如h>4)后Q1Q2下降变缓,可见h不必选择过大.
变式训练2-1:某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q=λ1|ΔT|d(λ1lλ2d+2),其中玻璃的热传导系数λ1=4×10-3 J/cm·kWh,不流通、干燥空气的热传导系数λ2=2.5×10-4 J/cm·kWh,ΔT为室内外温度差,q值越小,保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型号
每层玻璃厚度
d/cm
玻璃间夹空气层
厚度l/cm
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是( )
(A)A型 (B)B型 (C)C型 (D)D型
解析:设y=d(λ1lλ2d+2)=λ1λ2l+2d=16l+2d,
所以yA=48.8,yB=64.6,yC=49,yD=64.8,
所以yA
所以qA>qC>qB>qD,
所以D型玻璃保温效果最好.
故选D.
数学建模活动的主要过程
中学的“数学建模活动”是运用数学模型思想解决实际问题的综合实践活动,以课题研究形式开展,可以小组合作,也可以独立完成.课题研究的过程包括“选题、开题、做题、结题”四个环节.选题就是选定研究的问题,开题是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案,做题就是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动,结题是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程,一般来讲,结题会是结题的基本形式.一项研究完成之后,要写出结题报告.
[数学建模活动举例]
[例3] 在商场中,我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号,其价格也各不相同.对比型号和价格,我们很容易发现:当商品的“量”增加时,价格也会增加;但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的,也就是说买的商品的“量”越多,商品的平均价格越低,有人认为这是商家的营销策略,买得越多越划算,这样顾客往往倾向于购买大包装的商品.大包装的商品真的是薄利多销吗?
就这一问题通过调查、分析、研究,完成选题、开题报告.
解:
要解决
的问题
到商场买牙膏,从划算的角度讲,同一品牌的牙膏我们是买小包装的好,还是大包装的好呢
解决
问题
的方法
同一品牌的牙膏形状是相似的,通过比例建立价格与质量的函数关系
相关
问题
分析
及其
假设
我们设商品的价格为y(元),质量为x(g),看能否找出y与x的函数关系式y=f(x).为了方便叙述,我们引入“∝”这一符号,当y与x成比例,即y=kx(k为常数)时,记作y∝x
建模、求
解的主
要过程
设商品的成本为P(元),一般来说,商品价格=商品成本×(1+利润率),所以有y∝P.而商品的成本主要分为生产成本和包装成本两部分,分别设为P1和P2,即有y∝(P1+P2).商品的生产成本P1与商品的质量x成比例,即P1∝x;而商品的包装成本P2与商品的表面积S成比例,即P2∝S,而S∝V23,V∝x(这里V指商品的体积),故有P2∝x23.从而我们可以假设y=ax+bx23.
下面我们用实际数据来检验这一函数表达式的准确性:因为在函数中有两个待定系数,所以我们只需要代入两组(x,y)值即可求出a,b的值.
将(65,14)和(90,17.6)代入y=ax+bx23中,可得65a+6523b=14,90a+9023b=17.6,
解得a≈0.022 5,b≈0.775 6,
所以y=0.022 5x+0.775 6x23
结果
检验
将x=120代入,得y≈21.57,与实际价格21.60元相差0.03;再将x=180代入,得y≈28.78,与实际价格28.30元相差0.48元.
因此,我们推导出来的函数表达式还是比较准确的
小组成
员的分
工和各
自的主
要贡献
全组共同制订研究计划,商讨并确定数学模型,另分工如下:
同学甲,组长,侧重组织讨论,把握工作方向;
同学乙、丙,侧重信息采集、数据计算整理;
同学丁,侧重讨论记录、报告撰写、结果复核
反思与
拓展
在以上推导过程中,我们只考虑了生产和包装两种主要的成本,如果将运输成本、超市上架费、网站仓储费等因素也考虑进去,可能结果会更准确,但是模型也会复杂很多,可操作性就差了.另外,商品包装的材质也会对价格造成较大的影响,比如同一品牌的巧克力,可能会有普通包装、精品包装和礼品包装三种,这时如果只考虑分量对价格的影响,显然是不合适的
研究的
收获和
感受,
得到的
帮助和
致谢
对自己确定相关因素和“寻找”数据有了切身感受.分工合作使我们理解了未来的学习和工作模式,学会了向别人学习,同时积极表达自己的想法.感谢我们的数学老师和家长提供的参考意见和对我们的鼓励
主要参
考文献
《从课程标准到课堂教学:中学教学建模与探究》(张思明主编)
变式训练3-1:针对“甲市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考,完成其开题报告.
解:
要解决的问题
随着甲市的不断发展,交通成了饱受关注的话题,那么甲市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律
选题的原
因及意义
为市民日常出行乃至相关部门的政策制定提供参考
建模问题的
可行性分析
时间和车流量满足一定的函数关系
基本模型、解
决问题的大体
思路和步骤
观测某主干道每3分钟内通过的车流量,进行分析比较,时间为自变量x(单位:小时),车流量为因变量y(单位:辆/3分)
预期结果和结
果呈现方式
一个能够反映时间与车流量的函数模型,一份有求解过程的文字报告
成员和分工
全组共同制订研究计划商讨确定数学模型
同学甲(组长,侧重组织讨论,把握工作方向)
同学乙、丙(侧重信息采集、数据计算整理)
同学丁(侧重讨论记录、报告撰写、结果复核)
参考文献
《甲市交通状况的分析与预测》
百度地图http://map.baidu.com
[例1] 某工艺公司要对某种工艺品深加工,已知每个工艺品进价为20元,每个工艺品的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,须有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1 000个.
(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;
(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点)
解:(1)设m=k·10-x=k10x,x∈[26,32].
当x=29时,m=1 000,则k=1032,
所以m=103210x=1032-x,x∈[26,32],
所以y=m(x-20-n)=(x-20-n)1032-x,n∈[3,6]x∈[26,32],x∈N.
(2)当n=5时,由y=(x-25)1032-x=100×104=106,
整理得x-25=10x-26.
因为函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点,且当x=26时,等式成立,
所以x=26是方程x-25=10x-26唯一的根,
所以销售单价为26元时,该公司的日销售利润为100万元.
[例2] 经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-13t+1123(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t)=14t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-12t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.
解:当1≤t≤40,t∈N时,
S(t)=g(t)f(t)
=(-13t+1123)(14t+22)
=-112t2+2t+112×223
=-112(t-12)2+2 5003,
所以768=S(40)≤S(t)≤S(12)=2 5003.
当41≤t≤100,t∈N时,
S(t)=g(t)f(t)
=(-13t+1123)(-12t+52)
=16t2-36t+112×523
=16(t-108)2-83,
所以8=S(100)≤S(t)≤S(41)=1 4912.
所以,该商品的销售额S(t)的最大值为2 5003,最小值为8.
[例3] 某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元,市场对此商品的需求量为5百台,销售收入(单位:万元)的函数为R=5x-12x2,其中x是产品生产并售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量为多少时,企业所得利润最大?
(3)年产量为多少时,企业才不亏本(不赔钱)?
解:(1)设利润为y万元,
则y=-12x2+4.75x-0.5(0≤x≤5),12-0.25x(x>5).
(2)显然当0≤x≤5时,企业会获得最大利润,
此时,y=-12(x-4.75)2+10.781 25,
所以当x=4.75,即年产量为475台时,企业所得利润最大.
解:(3)要使企业不亏本,则y≥0.
即0≤x≤5,-12x2+4.75x-0.5≥0或x>5,12-0.25x≥0,
得0.11≤x≤5或5
即年产量在11台到4 800台之间时,企业不亏本.
[例4] 养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(注:空闲率=养鱼场中鱼群的最大养殖量-实际养殖量养鱼场中鱼群的最大养殖量)
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值;
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解:(1)由题意得,空闲率为m-xm,由于鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0),
所以y=kx·m-xm=kx(1-xm)(0≤x
所以当x=m2时,y最大=km4,
即鱼群年增长量的最大值为km4 t.
(3)由题意可得0≤x+y
又因为k>0,所以0
第八章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.有一组数据,如表所示:
x
1
2
3
4
5
y
3
5
6.99
9.01
11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的是( C )
(A)指数函数 (B)反比例函数
(C)一次函数 (D)二次函数
解析:函数值的增量几乎是均匀的,故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律.故选C.
2.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( B )
(A)y=[x10] (B)y=[x+310]
(C)y=[x+410] (D)y=[x+510]
解析:当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除以10,再用这个余数与3相加,若和大于等于10就增选一名代表,将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系,其用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y=[x+310].故选B.
3.向如图所示的容器中匀速注水时,容器中水面高度h随时间t变化的大致图象是( C )
解析:结合容器的形状,可知一开始注水时,水面高度增加较快.当水位接近容器中部时高度增加的越来越慢并持续一段时间,接近上部时,水面高度增加地越来越快.故选C.
4.当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lgxA0(其中A0为常数).装修电钻的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为( C )
(A)53 (B)1053 (C)104 (D)e4
解析:设装修电钻的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,
由题意得f(x1)=100=10lgx1A0,f(x2)=60=10lgx2A0⇒x1=A01010,x2=A0106,
所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度的比值为x1x2=A01010A0106=104.故选C.
5.某学生在期中考试中,数学成绩较优,英语成绩较弱,为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩,他决定重点加强英语学习,结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%,但数学成绩每次都比上次降低了10%,期末时这两科分值恰好均为m分,则这名学生这两科的期末总成绩和期中比,结果( B )
(A)提高了 (B)降低了
(C)不提不降(相同) (D)是否提高与m值有关系
解析:设该生期中考试数学和英语成绩分别为a和b,
则a(1-10%)2=b(1+10%)2=m,
所以a=m0.81,b=m1.21,a+b=m0.81+m1.21≈2.06m>2m,
所以期末总成绩比期中降低了.故选B.
6.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=
C,(0
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为( A )
(A)11.5元 (B)11元 (C)10.5元 (D)10元
解析:根据一月份用气量4 m3,煤气费4元,可知f(4)=C=4,由f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,
解得A=5,B=12,
所以f(x)=4(0
所以f(20)=4+12(20-5)=11.5.
故选A.
7.如果消息A发生的概率为P(A),那么消息A所含的信息量为I(A)=
log21P(A).若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告,则发布的以下4条消息中,信息量最大的是( B )
(A)王教授在第4排
(B)王教授在第4排第5列
(C)王教授在第5列
(D)王教授在某一排
解析:A选项中的事件“王教授在第4排”发生的概率为832=14,信息量为2;B选项中的事件“王教授在第4排第5列”发生的概率为132,信息量为5;C选项中的事件“王教授在第5列”发生的概率为432=18,信息量为3;D选项中的事件“王教授在某一排”发生的概率为3232,信息量为0,显然B选项中的事件发生的概率最小,其信息量最大.故选B.
8.蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知,购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元,而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元.设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元,购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元,则( C )
(A)A (C)A>B (D)A,B大小不确定
解析:设甲、乙两种蔬菜的价格分别为每千克x,y元,
则2x+y>8,①4x+5y<22,②
A=2x,B=3y,
①×22,②×8,整理得12x-18y>0,
即2x-3y>0,所以A>B.
故选C.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.“双11”购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额满一定额度,可以给予优惠.
①如果购物总额不超过50元,则不给予优惠;
②如果购物总额超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优
惠券;
③如果购物总额超过100元但不超过300元,则按标价给予九折优惠;
④如果购物总额超过300元,其中300元内的按第③条给予优惠,超过300元的部分给予八折优惠.
某人购买了部分商品,则下列说法正确的是( ABD )
(A)如果购物总额为78元,则应付款为73元
(B)如果购物总额为228元,则应付款为205.2元
(C)如果购物总额为368元,则应付款为294.4元
(D)如果购物时一次性全部付款442.8元,则购物总额为516元
解析:如果购物总额为78元,满足超过50元但不超过100元,可以使用一张5元优惠券,则应付款为73元,故A正确;如果购物总额为228元,超过100元但不超过300元,则应付款为228×0.9=205.2元,故B正确;如果购物总额为368元,购物总额超过300元,则应付款为300×0.9+68×0.8=324.4元,故C错误;如果购物时一次性全部付款442.8元,说明购物总额超过300元,设购物总额为x元,则300×
0.9+(x-300)×0.8=442.8,解得x=516元,故D正确.故选ABD.
10.某停车场的收费标准如下:临时停车半小时内(含半小时)免费,临时停车1小时收费5元,此后每停车1小时收费3元,不足1小时按1小时计算,24小时内最高收费40元.现有甲、乙两车临时停放在该停车场,下列判断正确的是( ACD )
(A)若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时,则停车费用之和可能为8元
(B)若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时,则停车费用之和可能为10元
(C)若甲车与乙车的停车时长之和为10小时,则停车费用之和可能为34元
(D)若甲车与乙车的停车时长之和为25小时,则停车费用之和可能为45元
解析:对于选项A,因为停车时长之和为1.6小时,若甲或乙停车0小时,乙或甲停车1.6小时,则停车费用之和为8元;A正确;
对于选项B,因为停车时长之和为2.5小时,超过2小时,则停车费用之和大于10元,不可能为10元,B错误;
对于选项C,因为停车时长之和为10小时,若甲、乙每人停车时长为5小时,则停车费用之和为2×[5+(5-1)×3]=34元,C正确;
对于选项D,因为停车时长之和为25小时,若甲停车时长为1小时,则乙停车时长为24小时,则停车费用之和为5+40=45元,D正确.故选ACD.
11.某一池塘里浮萍面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=2t,下列说法中正确的是( ABD )
(A)浮萍每月增长率为1
(B)第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
(C)浮萍每月增加的面积都相等
(D)若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3
解析:对于选项A,浮萍每月增长率为2t+1-2t2t=2t(2-1)2t=1,即A正确;对于选项B,当t=5时,y=2t=32>30,即B正确;对于选项C,浮萍每月增加的面积为2t+1-2t=2t,与时间t有关,即C错误;对于选项D,令y=2t1=2,则t1=1;令y=2t2=3,则t2=log23;令y=2t3=6,则t3=log26,所以t1+t2=1+
log23=log22+log23=log26=t3,即D正确.故选ABD.
12.为预防流感病毒,某校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25 mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=ax(a为常数),则下列说法正确的是( ABD )
(A)当0≤x≤0.2时,y=5x
(B)当x>0.2时,y=15x
(C)教室内持续有效杀灭病毒时间为45 h
(D)喷洒药物3分钟后能有效杀灭病毒
解析:在药物释放过程中,设y=kx(k≠0),
代入(0.2,1)可得k=5,
所以当0≤x≤0.2时,y=5x,A正确;
当x>0.2时,代入(0.2,1),解得a=0.2,
此时y=15x,B正确;
令5x=0.25,解得x=0.05 h,即x=3分钟,D正确;
令15x≤0.25,解得x≥45 h,C错误.故选ABD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.
13.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=12log3O100,单位是m/s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是 m/s.
解析:当O=2 700时,v=12log3O100=
12log32 700100=12log327=32.
答案:32
14.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层随机抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
由于不小心,表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是 件.
解析:抽样比为130∶1 300=1∶10,即每10个产品中抽取1个个体,又A产品的样本量比C产品的样本量多10,故C产品的数量是
[(3 000-1 300)-100]×12=800(件).
答案:800
15.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应,投入广告费应为 .(用常数a表示)
解析:D=R-A=aA-A,
令t=A(t>0),则A=t2,
所以D=at-t2=-(t-a2)2+a24.
所以当t=12a,即A=a24时,D取得最大值.
答案:a24
16.如图表示一位骑自行车的旅行者和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象提出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者,其中正确信息的序号是 .
解析:由图可知骑自行车者0 h出发,6 h到达乙地,骑摩托车者3 h出发,5 h到达乙地,所以骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到
1 h,故①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,故②正确;
两条曲线的交点的横坐标是4.5,即在4.5 h时骑摩托车者追上了骑自行车者,故③正确.综上所述,正确信息的序号是①②③.
答案:①②③
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A,B两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿kW·h/月,B城为10亿kW·h月.
(1)求x的取值范围;
(2)把月供电总费用y表示成x的函数;
(3)核电站建在距A城多远处,才能使供电费用最小.
解:(1)x的取值范围为[10,90].
(2)y=0.25×20x2+0.25×10(100-x)2
=5x2+52(100-x)2(10≤x≤90).
(3)y=5x2+52(100-x)2
=152x2-500x+25 000
=152(x-1003)2+50 0003.
则当x=1003 km时,y最小.
故当核电站建在距A城1003 km处时,才能使供电费用最小.
18.(12分)某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N+)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N+),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?
解:根据题意可列方程组
f(1)=a+b+c=100,f(2)=4a+2b+c=120,f(3)=9a+3b+c=130.
解得a=-5,b=35,c=70,
所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①
同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②
再将x=4分别代入①②,得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),
g(4)=-80×0.54+140=135(t).
与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,
所以②式作为模拟函数比①式更好,
故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
19.(12分)某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图.某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往H.
(1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示);
(2)求他经过市中心O的概率.
解:(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为
A→B→C→E→H,A→B→O→E→H,
A→B→O→G→H,A→D→O→E→H,
A→D→O→G→H,A→D→F→G→H,
共6条.
(2)记“此人经过市中心O”为事件M,则M包含的样本点为
A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,
A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,
共4个,
所以P(M)=46=23.
即他经过市中心O的概率为23.
20.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理如表:
日需
求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
解:(1)当日需求量n≥17时,利润y=85;
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以利润y关于当天需求量n的函数解析式为
y=10n-85,n<17,85,n≥17(n∈N).
(2)①这100天的日利润的平均数为
55×10+65×20+75×16+85×54100=76.4(元).
②当天的利润不少于75元,当且仅当日需求量不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
21.(12分)如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m,为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,并求出x的取值范围;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
解:(1)如图所示,
作PQ⊥AF于点Q,
则PQ=8-y,EQ=4-(8-x)=x-4,其中4≤x≤8.
在△EDF中,EQPQ=EFDF,
即x-48-y=42,
所以y=-12x+10,其中x∈[4,8].
(2)设矩形BNPM的面积为S,
则S(x)=xy=x(10-x2)=-12(x-10)2+50,x∈[4,8],
根据二次函数的性质,可得当x∈[4,8]时,
函数S(x)单调递增,
所以当x=8 m时,矩形BNPM的面积最大,最大值为48 m2.
故矩形BNPM面积的最大值为48 m2.
22.(12分)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:min)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足p(t)=60-(t-10)2,5≤t<10,60,10≤t≤20,其中t∈N.
(1)求p(5),并说明p(5)的实际意义.
(2)若该路公交车每分钟的净收益为y=6p(t)+24t-10(元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大?并求每分钟的最大净收益.
解:(1)p(5)=60-(5-10)2=35,实际意义为发车时间间隔为5 min时,载客量为35.
(2)因为y=6p(t)+24t-10,
所以当5≤t<10时,
y=360-6(t-10)2+24t-10
=110-(6t+216t),
任取5≤t1
=6(t2-t1)+216t2-216t1
=6(t2-t1)+216(t1-t2)t1t2
=6(t2-t1)(t1t2-36)t1t2.
因为5≤t1
所以函数y=110-(6t+216t)在区间[5,6]上单调递增,同理可证该函数在区间[6,10)上单调递减,
所以当t=6时,y取得最大值38;
当10≤t≤20时,y=6×60+24t-10=384t-10,该函数在区间[10,20]上单调递减,
则当t=10时,y取得最大值28.4.
综上,当发车时间间隔为6 min时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.
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