北师大版高中数学必修第一册第七章概率学案

§3　频率与概率

　用频率估计概率

[问题1] 抛掷一枚均匀硬币观察朝上的面时,利用古典概型可算得正面朝上的概率为,随机抛一个瓶盖(不均匀),观察它落地的状态,怎样确定瓶盖盖口朝上的概率呢?

提示:对于不均匀的瓶盖,如果用古典概型来确定概率,显然是不太合适的,但是我们可以用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值.例如,可以重复做抛瓶盖试验若干次(设为n次),然后观察盖口朝上的次数(设为m次),最后用盖口朝上的频率作为盖口朝上的概率的估计值.

知识点1:用频率估计概率

在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).显然,0≤P(A)≤1.我们通常用频率来估计概率.

[思考1] 怎样理解频率与概率的关系?

提示:频率与概率的区别与联系

[例1] 国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:

(1)计算表中优等品的各个频率;

(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是多少?

解:(1)优等品的各个频率如表所示.

(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95.

变式训练1-1:下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果,n为抛掷硬币的次数,m为硬币正面朝上的次数,计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率,并估算它的概率.

解:由fn(A)=可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在0.5左右摆动,由概率的统计定义可得,“正面朝上”这一事件的概率约为0.5.

(2)解此类题目的步骤:先利用频率的计算公式依次计算频率,然后用频率估计概率.

[问题2] 生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼,常用一种称为“标记后再捕”的方法.先从湖中随意捕捉一定数量的鱼,例如1 000条鱼,在每条鱼的身上做记号后又放回湖中;隔了一段时间后,再从湖中捕捉一定数量的鱼,例如300条鱼,查看其中有多少条有标记的鱼,假设有20条有标记的鱼,估计湖中鱼的总数.

提示:样本容量比较大,捕鱼又是随机的,所以可用频率估计概率,设湖中鱼大约有x条,

则有=,解得x=15 000,即湖中鱼的总数大约为15 000条.

知识点2:用频率估计概率的试验设计

在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.

[思考2] 在用频率估计概率时,不同的试验结果对概率的估计值一样吗?

提示:可能会得到不同的估计值.

[例2] (1)甲、乙两名同学进行乒乓球比赛,甲获胜的概率为0.4,现采用随机模拟的方法估计这两名同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率:先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数,制定用1,2,3,4表示甲获胜,用5,6,7,8,9,0表示乙获胜,再以每3个随机数为一组,代表3局比赛的结果,经随机模拟产生了30组随机数:

102　231　146　027　590　763　245　207

310　386　350　481　337　286　139　579

684　487　370　175　772　235　246　487

569　047　008　341　287　114

据此估计,这两名同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)天气预报显示,在今后的三天中,每一天下雨的概率为40%,现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生0～9之间取整数值的随机数,并制定用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:

907　966　191　925　271　932　812　458

569　683　431　257　393　027　556　488

730　113　537　989

则这三天中恰有两天下雨的概率近似为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:(1)在30组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有102,146,245,310,481,337,139,235,246,共9组随机数,所以所求概率为=.故选B.

解析:(2)在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,393,共5组随机数,故所求概率为=,故选B.

变式训练2-1:已知某运动员每次投篮命中的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮均命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示未命中,再以每3个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:

据此估计,该运动员三次投篮均命中的概率为(　　)

(A)0.40 (B)0.45 (C)0.50 (D)0.55

解析:根据题意,在产生的随机数中,表示三次投篮均命中的有271,812,458,683,431,257,556,488,113,537,共10组,

则该运动员三次投篮均命中的概率P==0.50.故选C.

(2)利用随机数表或者计算机产生随机数,n个数字为一组,找出所有数组中含有规定代表事件A发生的数组,用含有事件A发生的数字的数组个数除以数组总数即为n次重复试验中事件A发生k次的概率估计值.一般地,所利用的数组个数越多,估计值越接近于概率值.

[典例] 某高校对学生的思想品德、学业成绩、社会实践能力进行综合评价,思想品德、学业成绩、社会实践能力评价指数分别记为x,y,z,每项评价指数都为1分,2分,3分,4分,5分五等,综合评价指标S=x+y+z,若S≥13,则该学生为优秀学生.现从该校学生中,随机抽取10名学生作为样本,分为A,B两组,其评价指数列表如下:

A组

B组

(1)从A,B两组中各选一名学生,依次记为甲、乙,求乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标的概率;

(2)若该校共有1 500名学生,估计该校有多少名优秀学生.

试题情境:生活实践情境.

必备知识:用频率估计概率.

关键能力:逻辑思维能力.

学科素养:逻辑推理,数据分析.

解:(1)A组的5名学生综合评价指标分别为10,11,10,12,13,

B组的5名学生综合评价指标分别为11,9,13,14,12,

从A,B两组中各选一名学生共有5×5=25(种)可能结果,

其中乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标的可能结果为(A1,B1),(A1,B3),(A1,B4),(A1,B5),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A3,B1),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),(A4,B3),(A4,B4),(A5,B4),共14种,

所以乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标的概率为.

(2)两组的10名学生中优秀学生共有3名,

所以估计该校大约有1 500×=450名优秀学生.

[例1] 某市正在全面普及数字电视,某住宅区有2万户住户,从中随机抽取200户,调查是否安装数字电视,调查的结果如下表所示,则估计该住宅区已安装数字电视的户数是(　　)

(A)5 500 (B)5 000 (C)8 000 (D)9 500

解析:由表可知,在随机抽取的200户住户中,有80户已安装数字电视,120户未安装数字电视,则估计该住宅区已安装数字电视的户数是×20 000=8 000.故选C.

[例2] 目前,国内青蒿人工种植发展迅速,调查表明,人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化:0表示不合格,1表示临界合格,2表示合格,再用综合指标ω=x+y+z的值评定人工种植的青蒿的长势等级:若ω≥4,则长势为一级;若2≤ω≤3,则长势为二级;若0≤ω≤1,则长势为三级.为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况,研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地,得到如表结果:

(1)若该地有青蒿人工种植地180个,试估计该人工种植地中长势等级为三级的个数;

(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取两个,求这两个人工种植地的综合指标ω均为4的概率.

解:(1)计算10块青蒿人工种植地的综合指标,可得下表:

由上表可知,长势等级为三级的只有A1一个,其频率为,

用样本的频率估计总体的频率,可估计该人工种植地中长势等级为三级的个数为180×=18.

解:(2)由(1)可知,长势等级是一级的(ω≥4)有A2,A3,A4,A6,A7,A9,共6个,

从中随机抽取两个,所有的可能结果为(A2,A3),(A2,A4),(A2,A6),(A2,A7),(A2,A9),(A3,A4),(A3,A6),(A3,A7),(A3,A9),(A4,A6),(A4,A7),(A4,A9),(A6,A7),(A6,A9),(A7,A9),共15种,

其中综合指标ω=4的有A2,A3,A6,共3种,

符合题意的可能结果为(A2,A3),(A2,A6),(A3,A6),共3种,

所以这两个人工种植地的综合指标ω均为4的概率为P==.

基础巩固

知识点一:频率与概率的关系

1.(多选题)下列说法不正确的是(　ABD　)

(A)频率就是概率

(B)任何事件的概率都是在(0,1)之间

(C)概率是客观存在的,与试验次数无关

(D)概率是随机的,与试验次数有关

解析:事件A的频率是指事件A发生的频数与试验总次数的比值,一般来说,随机事件A在每次试验中是否发生是不能预料的,但在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]的某个常数上,这个常数就是事件A发生的概率,故可得概率是客观存在的,与试验次数无关,只有C正确,故选ABD.

2.某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了7次,则下列说法正确的是(　B　)

(A)正面朝上的概率为0.7

(B)正面朝上的频率为0.7

(C)正面朝上的概率为7

(D)正面朝上的概率接近于0.7

解析:正面朝上的频率是=0.7,正面朝上的概率是0.5.故选B.

知识点二:用频率估计概率

3.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度决定于(　B　)

(A)产生的随机数的大小

(B)产生的随机数的个数

(C)随机数对应的结果

(D)产生随机数的方法

解析:产生的随机数越多,模拟的效果越准确.故选B.

4.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上做了记号,投掷了100次,并且记录了每个面落在桌面上的次数(如表).如果再投掷一次,请估计石块的第4面落在桌面上的概率约是　　　　. 

解析:结合题意知,若再投掷一次,估计石块的第4面落在桌面上(记为事件A)的概率约是P(A)==0.13.

答案:0.13

5.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色球的个数可能是

　          　.

解析:红色球的个数约为40×0.15=6,

黑色球的个数约为40×0.45=18,

故白色球的个数可能为40-6-18=16.

答案:16

能力提升

6.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　B　)

(A)抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜

(B)同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则甲胜,两枚都是正面向上则乙胜

(C)从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜

(D)甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜

解析:A项,P(点数为奇数)=P(点数为偶数)=;B项,P(恰有一枚正面向上)=,P(两枚都正面向上)=;C项,P(牌色为红)=P(牌色为黑)=;D项,P(同奇或同偶)=P(奇偶不同)=.故选B.

7.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:

根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,

所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,

所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为=.

由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.

8.随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:

某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意,4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,

所以晴天的次日不下雨的概率为,

从而估计运动会期间不下雨的概率为.

故选C.

9.种植某种树苗,成活率为0.9,现采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率.先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,指定1至9的数字代表成活,0代表不成活,再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果.经随机模拟产生如下30组随机数:

69801 66097 77124 22961 74235 31516

29747 24945 57558 65258 74130 23224

37445 44344 33315 27120 21782 58555

61017 45241 44134 92201 70362 83005

94976 56173 34783 16624 30344 01117

据此估计,该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为(　A　)

(A)0.30 (B)0.35 (C)0.40 (D)0.50

解析:在30组随机数中表示种植5棵恰好4棵成活的有69801,

66097,74130,27120,61017,92201,70362,30334,01117,共9组随机数,所以所求概率为=0.30.故选A.

10.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20)2个;

[20,30)3个;[30,40)x个;[40,50)5个;[50,60)4个;[60,70]2个,并且样本在[30,40)之内的频率为0.2,则x等于　　　　;根据样本的频率分布估计,数据落在[10,50)的概率约为　　　    　. 

解析:因为样本总数为20个,所以x=20×0.2=4,

所求概率约为P==0.7.

答案:4　0.7

11.街头有人摆一种游戏,方法是投掷两枚骰子,如果两枚骰子各投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况,红方胜,而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时,白方胜,这种游戏对双方公平吗?若不公平,请说明哪方占便宜?

解:两枚骰子点数之和如下表:

其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种,概率是=,

两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种,概率是=.所以这种游戏不公平,白方比较占便宜.

应用创新

12.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如表所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;

(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?

解:(1)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2.

(2)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,

所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.3.

(3)估计顾客同时购买甲和乙的概率为0.2,

估计顾客同时购买甲和丙的概率为0.6,估计顾客同时购买甲和丁的概率为0.1.

所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.