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【培优分级练】人教版数学九年级上册 期中测试二（含解析）
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期中测试二课后培优练 （时间120分钟，满分120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 【答案】C 【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0， 解得：m=-3， 故选：C． 2．一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≤2 B．k≠0 C．且k≠0 D．k＜2 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根， ∴k≠0且Δ≥0， 即16-12k≥0， 解得k≤， 故k的取值范围是k≤且k≠0． 故选：C． 3．抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（ ） A．（1，5） B．（-1，-5） C．（1，-5） D．（-1，5） 【答案】A 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（1，5）， 故选：A． 4．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度， 得到的抛物线相应的函数表达式为：， 故选：D． 5．下列图形均为表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（ ） A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2） 【答案】D 【详解】解：点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，-2）， 故选：D． 7．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A．2026 B．2024 C．2022 D．2020 【答案】A 【详解】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根， ∴a2+a=3，a+b=−1， ∴b=-a-1， =2026 故选：A． 8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【详解】解：∵对称轴为x＝1， ∴x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故选项①正确； ∵点B坐标为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误； ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵图象与y轴交于正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故选项③错误； ∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）， ∴A点坐标为：（3，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确； 故选：C． 9．如图，抛物线交x轴于点，则下列结论中：①；②；③方程的两根是，；④若m是任意实数，则，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】∵抛物线交x轴于点， ∴是方程的一根， ∴， ∴， ∴抛物线交x轴于点， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∴，故①的说法错误； ∵， ∴，故②的说法正确； ∵， ∴方程为， ∴， ∴， ∴方程的两根是，，故③的说法正确； ∵抛物线的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取得最大值， ∴（m是任意实数）， ∴， ∴若m是任意实数，则，故④的说法正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：B． 10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．下列方程：（1） （2） （3） （4） （5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是____________（填序号）． 【答案】（2）（4）【详解】解：（1）中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程； （2）是一元二次方程； （3）可以变形为，因此原方程不是一元二次方程； （4）中的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程； （5）中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程； （6）中时，不是一元二次方程； 综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）． 故答案为：（2）（4）． 12．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________． 【答案】 【详解】解：设，则， 方程变形得：， 开方得：或， 解得： 或（舍去）， ∴； 故答案为：6． 13．抛物线的开口向_____；对称轴_______；顶点坐标是_________． 【答案】 向上 【详解】解：∵， ∴ ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 故答案为：向上；；． 14．点，在抛物线上，则________（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：代入，，可得：，， 因为，所以. 故答案为：＜. 15．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，则______． 【答案】135° 【详解】解：将△PBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，连接PE，如图所示： 根据旋转可知，，， ，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴△PAE是直角三角形， ∴∠AEP=90°， ∴∠AEB=90°+45°=135°， ∵， ∴． 故答案为：135°． 16．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是_______________． 【答案】6或16或21 【详解】解：， x2-9x+14=0， （x-7）（x-2）=0， x-7=0或x-2=0， 所以x1=7，x2=2， ∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根， ∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2， ∴这个三角形的周长为6或16或21． 故答案为：6或16或21． 17．已知实数m，n分别满足等式2m2+4m+1=0，2n2+4n+1=0，则=________． 【答案】2或6 【详解】解：当m≠n时， 由于m、n是方程2x2+4x+1=0的两根， ∴m+n=-2，mn=， ∴原式==6， 当m=n时， ∴原式=1+1=2， 故答案为：2或6． 18．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_________________． 【答案】y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1 【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2-1-2，即y=2（x+1）2-3， 故答案为：y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1． 19．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________． 【答案】 【详解】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 20．如图，矩形ABCD中，，，若点P为BC上动点．以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角，∠BQP＝90°．则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：做点D关于BC的对称点F，连接CF，FQ，交BC于点G，连接DG，过点F作BC的平行线，过点Q作QM⊥BC，延长QM交过点F的平行线与点E， 则四边形EFCM是矩形， ∴ME=CF=CD=6， CM=EF， ∵△QBP是等腰直角三角形， ∴BM=QM=MP, 设MB=a（0≤a≤15），则EF=CM=15-a,EQ=6+a， ∴ ， ∴当a=时， 最小，值为 ， 此时 ， 此时QE=EF= ， ∴∠EQF=45°，即此时点P与点G重合， 故QP+DP的最小值=QF= , 故答案为． 三、解答题（每小题10分，共60分） 21．解下列方程 (1)x（x﹣1）＝x； (2)x2+2x﹣2＝0． 【答案】(1)x1＝0，x2＝2；(2)； 【详解】（1）解：移项得：x（x﹣1）﹣x＝0， 分解因式得：x（x﹣2）＝0， 所以x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝0，x2＝2； （2）方程移项得：x2+2x＝2， 配方得：x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3， 开方得：x+1＝±， 解得：x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣． 22．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝1，求m的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)﹣2 【详解】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）． = m2+2m+1 ． ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0，． ∴原方程总有两个实数根． （2）解；∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2， ∵x12+x22＝1， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝1， ∴代入化简可得：m2+4m+4＝0， 解得：m1＝m2=﹣2 23．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价）．第二周过后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，这批旅游纪念品共获利1 250元 (1)第一周获利为：_______________________元 (2)设第二周降价x元，则售价为______________元，销售总量为____________（用含x的代数式表示） (3)第二周后剩余纪念品数量为______________（用含x的代数式表示） (4)清仓亏损为______________（用含x的代数式表示） (5)第二周每个旅游纪念品的售价为多少元？（列一元二次方程解应用题） 【答案】(1)800；(2)，个；(3)个；(4)元；(5)第二周每个旅游纪念品的售价为9元． 【详解】（1）解：（元）， 即第一周获利800元， 故答案为：800； （2）设第二周降价x元，则售价为元，销售总量为个， 故答案为：，； （3）第二周后剩余纪念品数量为：个， 故答案为：； （4）清仓亏损为：元， 故答案为：元； （5）第二周降价x元， 由题意得：， 整理得：，解得：， 10－1＝9（元）， 答：第二周每个旅游纪念品的售价为9元． 24．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）． (1)求该二次函数的解析式； (2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差； (3)若一次函数y=（2－m）x+2－m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<3
期中测试二课后培优练 （时间120分钟，满分120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 【答案】C 【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0， 解得：m=-3， 故选：C． 2．一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≤2 B．k≠0 C．且k≠0 D．k＜2 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根， ∴k≠0且Δ≥0， 即16-12k≥0， 解得k≤， 故k的取值范围是k≤且k≠0． 故选：C． 3．抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（ ） A．（1，5） B．（-1，-5） C．（1，-5） D．（-1，5） 【答案】A 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（1，5）， 故选：A． 4．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度， 得到的抛物线相应的函数表达式为：， 故选：D． 5．下列图形均为表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（ ） A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2） 【答案】D 【详解】解：点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，-2）， 故选：D． 7．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A．2026 B．2024 C．2022 D．2020 【答案】A 【详解】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根， ∴a2+a=3，a+b=−1， ∴b=-a-1， =2026 故选：A． 8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【详解】解：∵对称轴为x＝1， ∴x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故选项①正确； ∵点B坐标为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误； ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵图象与y轴交于正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故选项③错误； ∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）， ∴A点坐标为：（3，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确； 故选：C． 9．如图，抛物线交x轴于点，则下列结论中：①；②；③方程的两根是，；④若m是任意实数，则，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】∵抛物线交x轴于点， ∴是方程的一根， ∴， ∴， ∴抛物线交x轴于点， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∴，故①的说法错误； ∵， ∴，故②的说法正确； ∵， ∴方程为， ∴， ∴， ∴方程的两根是，，故③的说法正确； ∵抛物线的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取得最大值， ∴（m是任意实数）， ∴， ∴若m是任意实数，则，故④的说法正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：B． 10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．下列方程：（1） （2） （3） （4） （5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是____________（填序号）． 【答案】（2）（4）【详解】解：（1）中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程； （2）是一元二次方程； （3）可以变形为，因此原方程不是一元二次方程； （4）中的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程； （5）中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程； （6）中时，不是一元二次方程； 综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）． 故答案为：（2）（4）． 12．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________． 【答案】 【详解】解：设，则， 方程变形得：， 开方得：或， 解得： 或（舍去）， ∴； 故答案为：6． 13．抛物线的开口向_____；对称轴_______；顶点坐标是_________． 【答案】 向上 【详解】解：∵， ∴ ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 故答案为：向上；；． 14．点，在抛物线上，则________（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：代入，，可得：，， 因为，所以. 故答案为：＜. 15．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，则______． 【答案】135° 【详解】解：将△PBC绕点B逆时针旋转90°到△EBA，连接PE，如图所示： 根据旋转可知，，， ，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴△PAE是直角三角形， ∴∠AEP=90°， ∴∠AEB=90°+45°=135°， ∵， ∴． 故答案为：135°． 16．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是_______________． 【答案】6或16或21 【详解】解：， x2-9x+14=0， （x-7）（x-2）=0， x-7=0或x-2=0， 所以x1=7，x2=2， ∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根， ∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2， ∴这个三角形的周长为6或16或21． 故答案为：6或16或21． 17．已知实数m，n分别满足等式2m2+4m+1=0，2n2+4n+1=0，则=________． 【答案】2或6 【详解】解：当m≠n时， 由于m、n是方程2x2+4x+1=0的两根， ∴m+n=-2，mn=， ∴原式==6， 当m=n时， ∴原式=1+1=2， 故答案为：2或6． 18．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_________________． 【答案】y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1 【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2-1-2，即y=2（x+1）2-3， 故答案为：y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1． 19．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________． 【答案】 【详解】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 20．如图，矩形ABCD中，，，若点P为BC上动点．以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角，∠BQP＝90°．则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：做点D关于BC的对称点F，连接CF，FQ，交BC于点G，连接DG，过点F作BC的平行线，过点Q作QM⊥BC，延长QM交过点F的平行线与点E， 则四边形EFCM是矩形， ∴ME=CF=CD=6， CM=EF， ∵△QBP是等腰直角三角形， ∴BM=QM=MP, 设MB=a（0≤a≤15），则EF=CM=15-a,EQ=6+a， ∴ ， ∴当a=时， 最小，值为 ， 此时 ， 此时QE=EF= ， ∴∠EQF=45°，即此时点P与点G重合， 故QP+DP的最小值=QF= , 故答案为． 三、解答题（每小题10分，共60分） 21．解下列方程 (1)x（x﹣1）＝x； (2)x2+2x﹣2＝0． 【答案】(1)x1＝0，x2＝2；(2)； 【详解】（1）解：移项得：x（x﹣1）﹣x＝0， 分解因式得：x（x﹣2）＝0， 所以x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝0，x2＝2； （2）方程移项得：x2+2x＝2， 配方得：x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3， 开方得：x+1＝±， 解得：x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣． 22．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝1，求m的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)﹣2 【详解】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）． = m2+2m+1 ． ＝（m+1）2， ∵无论m取何值，（m+1）2≥0，． ∴原方程总有两个实数根． （2）解；∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2， ∵x12+x22＝1， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝1， ∴代入化简可得：m2+4m+4＝0， 解得：m1＝m2=﹣2 23．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价）．第二周过后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，这批旅游纪念品共获利1 250元 (1)第一周获利为：_______________________元 (2)设第二周降价x元，则售价为______________元，销售总量为____________（用含x的代数式表示） (3)第二周后剩余纪念品数量为______________（用含x的代数式表示） (4)清仓亏损为______________（用含x的代数式表示） (5)第二周每个旅游纪念品的售价为多少元？（列一元二次方程解应用题） 【答案】(1)800；(2)，个；(3)个；(4)元；(5)第二周每个旅游纪念品的售价为9元． 【详解】（1）解：（元）， 即第一周获利800元， 故答案为：800； （2）设第二周降价x元，则售价为元，销售总量为个， 故答案为：，； （3）第二周后剩余纪念品数量为：个， 故答案为：； （4）清仓亏损为：元， 故答案为：元； （5）第二周降价x元， 由题意得：， 整理得：，解得：， 10－1＝9（元）， 答：第二周每个旅游纪念品的售价为9元． 24．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）． (1)求该二次函数的解析式； (2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差； (3)若一次函数y=（2－m）x+2－m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<3
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