【考点全掌握】人教版数学九年级上册-第01课时-圆的有关性质（1）-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

第一课时——圆的有关性质（1）

知识点一：与圆有关的概念：

1. 圆的概念：

      定义①：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。

      特别说明：定点O叫做圆心，定长r叫做半径。

定义②：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转         ，另一个端点A所形成的        叫做圆．固定的端点O叫做         ，线段OA叫做        。以O点为圆心的圆，记作      ，读作         。

特别说明：固定端点是圆心，线段OA是半径。

2. 弦的概念：连接圆上任意两点的线段叫做       。如图中有弦CD与弦AB。
3. 直径：过        的弦叫做直径。如图中弦AB是直径。
4. 弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。
5. 半圆：         的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做         。
6. 优弧：       半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为       。读作       。
7. 劣弧：       半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为       。读作       。

   特别说明：表示优弧必须用三个字母，即在弧的两个端点中间加圆心或弧上一点。如

只有两个端点则默认表示劣弧

8. 等圆：能够        的两个圆或半径        的两个圆叫做等圆。
9. 等弧：在同圆或等圆中，能够         的两条弧叫做等弧。

   特别说明：等弧只在同圆或等圆中存在。

知识点二：圆的对称性：

圆既是         图形，有          条对称轴。又是            图形，对称中心是圆

的         。

【类型一：基本概念的认识与理解】

1．到定点O的距离等于2cm的点的集合是以　    　为圆心，     　为半径的圆．

2．如图，图中的直径有　   　，非直径的弦有　     　；图中以A为端点的弧中，优弧有　      　

           ，劣弧有　              　．

3．下列说法中，正确的是（　　）

A．弦是直径 

B．半圆是弧 

C．过圆心的线段是直径 

D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆                                          第2题

4．下列说法：

①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．

正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列说法错误的是（　　）

A．圆有无数条直径 

B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦 

C．过圆心的线段是直径 

D．能够重合的圆叫做等圆

6．下列说法正确的是（　　）

A．直径是弦，弦是直径 

B．圆有无数条对称轴 

C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径 

D．度数相等的弧是等弧

7．下列说法错误的是（　　）

A．直径是圆中最长的弦 

B．长度相等的两条弧是等弧 

C．面积相等的两个圆是等圆 

D．半径相等的两个半圆是等弧

8．下列判断正确的个数有（　　）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

知识点一：垂径定理：

1. 垂径定理的内容：

   垂直于弦的        ，       弦，平分弦所对的        和        。

2. 垂径定理的推论：

   五个条件：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。

   特别说明：这里的弦不能是直径。

   知二推三：即知道其中两个另外三个一定成立。

   推论1：平分弦（不是直径）的直径         弦，并且        弦所对的         。

   推论2：弦的垂直平分线经过         ，并且         弦所对的        。

   推论3：平分弦所对一条弧的直径，          弦，并且平分弦所对的            。

3. 垂径定理的应用：

   垂径定理与勾股定理相结合，可解决与圆有关的线段计算问题。

   即：

   如图：

   特别说明：弦心距是圆心到弦的距离，半弦长即弦长的一半。

【类型一：利用垂径定理求半径】

9．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为　   　．

   第9题                                          第10题

10．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（　　）

A．5 B． C．3 D．

11．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP：PB＝1：5，则⊙O的半径为　 　cm．

     第11题                                               第12题

12．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，若AC＝2cm，则⊙O的半径为（　　）

A．1 cm B．2 cm C． cm D．4 cm

13．如图所示，在⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（　　）

   第13题                                             第14题

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

【类型二：利用垂径定理求弦长】

14．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为　   　．

15．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB＝10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（　　）

   第15题                                         第16题

A．4 B．5 C．6 D．8

16．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝　      　cm．

17．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为　       　．

   第17题                                          第19题

18．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　）

A．6 B．2 

C．6或2 D．以上说法都不对

【类型三：利用垂径定理求弦心距】

19．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且OB＝13，CD＝24，则OH的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

20．过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为　3cm　．

21．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是　     　．

22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）cm．

A．8 B．5 

C．3 D．2

23．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是　       　．

    第23题                                               第24题

【类型一：垂径定理的应用】

24．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　）

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

25．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（　　）

    第25题                                            第26题

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

26．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB⌒），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB⌒的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）

A．25m B．24m C．30m D．60m

27．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为　    　寸．

     第27题                                        第28题

28．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为　     　米．

29．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升　          cm．

30．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高处离水面4m．

（1）求桥拱半径；

（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？

一、选择题（10题）

1．下列说法中，不正确的是（　　）

A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 

B．圆有无数条对称轴 

C．圆的每一条直径都是它的对称轴 

D．圆的对称中心是它的圆心

2．在以下所给的命题中，正确的个数为（　　）

①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（　　）

      第3题                                     第4题

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条

4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°

5．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

6．如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，设AB⌒所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则OA的长度是（　　）

                  第6题                                           第7题

A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm

7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．3

8．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　）

      第8题                                          第10题

A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸

9．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为（　　）cm．

A．14或2 B．14 C．2 D．6

10．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（　　）

A． B． C．1 D．2

二、填空题（6题）

11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，⊙O的直径长是　    　．

     第11题                                         第12题

12．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝　   　度．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为　     　．

     第13题                            第15题                           第16题

14．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为　    　cm．

15．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，点P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是 　   　．

16．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　　个．

三、解答题（4题）

17．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．

（1）求线段OD的长；

（2）当EO＝BE时，求DE的长．

18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．

（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；

（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？

19．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．

（1）求这座拱桥所在圆的半径．

（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

20．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是AD⌒的中点．

（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；

（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．