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【考点全掌握】人教版数学九年级上册-第2课时-求事件的概率-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）
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这是一份【考点全掌握】人教版数学九年级上册-第2课时-求事件的概率-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习），文件包含第2课时求事件的概率解析版docx、第2课时求事件的概率原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
第二课时——求事件的概率（答案卷）
知识点一：用直接列举法求概率 ：
在一次实验中，如果可能出现的结果只有 有限 个，且各种结果出现的可能性大小 相同 ，则可通过列举实验结果的方法分析随机事件发生的概率。
【类型一：利用直接列举法求事件概率】
1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：所以可能出现的结果情况有：
正正，正反，反正，反反
∵共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上的结果有1种，
∴两枚硬币全部正面向上的概率为．
故选：D．
2．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小莹恰好站在中间的概率是 ．
【分析】用列举法列举出小莹站位的可能性，从而求得
【解答】解：小莹一共有三个位置可选，分别是左、中、右，
所以小莹恰好站在中间的概率为，
故答案为：．
3．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 ．
【分析】由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可；
【解答】解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，
所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率＝＝．
故答案为．
知识点一：用列表法和树状图法求概率：
1. 用列表法求概率：
当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且核能出现的结果较多时，常通过用 列表 的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，再利用 概率公式 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
a
b
c
A
（A，a）
（A，b）
（A，c）
B
（B，a）
（B，b）
（B，c）
C
（C，a）
（C，b）
（C，c）
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，用列表法表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
2. 用树状图法求概率：
当事件要通过多个步骤（三个或以上）完成时，常通过用 画树状图 的方法列举所有
可能的结果，在找出事件A可能发生的结果，再利用 概率公式 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，用树状图表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
【类型一：用列表法或树状图法求概率】
4．现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，再由概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，
∴两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为＝，
故选：B．
5．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为＝，
故选：C．
6．为了更好防控疫情，某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指导某社区预防疫情工作．用树状图（或列表法）求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，看恰好选中医生甲和护士A的情况数占所有情况数的多少即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能情形，恰好选中医生甲和护士A只有一种情形，
所以恰好选中医生甲和护士A的概率为．
7．某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为＝．
8．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是＝，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为＝．
9．某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．快乐阅读；C．魔法英语；D．硬笔书法．
（1）该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是 ；
（2）该校规定每名学生需选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是，
故答案为：；
（2）解法一：因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列表如下
A
B
D
A
（A，A）
（B，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（D，B）
D
（A，D）
（B，D）
（D，D）
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
∴．
【类型二：概率中的放回与不放回问题】
10．有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记下后放回，再任取一张，则两次取出的卡片上的数字和为正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果情况，其中两次取出的卡片上的数字和为正数的有10种，
所以两次取出的卡片上的数字和为正数的概率为＝，
故选：C．
11．有6张无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：如图所示：
共有36种等可能情况，第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数有14种，
所以第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是＝，
故选：B．
12．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中7次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是红球、一个是黄球的概率．
【分析】（1）根据频率等于频数除以总数即可求解；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中7次摸出的是红球，∴这10次中摸出红球的频率7÷10＝0.7；
（2）画树状图得：
共有16种等可能的结果，其中抽到的球是一红一黄的结果有4种，
∴．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球．把它们分别标记为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为 ；
（2）小雨和小佳玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜．小雨先从口袋中摸出一个小球，不放回，小佳再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，分别求出小雨和小佳获胜的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小雨和小佳获胜的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为＝，
故答案为：．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小雨获胜的结果有6种，小佳获胜的结果也有6种，
∴小雨获胜的概率为＝，小佳获胜的概率为＝．
14．文具店有三种品牌的笔记本，价格分别是4，5，7（单位：元），从中随机拿出一个本，已知P（一次拿到5元本）＝．
（1）求这6个本价格的众数；
（2）若琪琪已拿走一个5元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．
①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到5元本的概率．
【分析】（1）根据6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，P（一次拿到5元本）＝．可求出单价为5元的笔记本的本数，进而得出众数；
（2）①求出原来6本价格、后来5本价格的中位数，进行判断即可；
②用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解答】解：（1）6×＝4（本），因此单价为5元有4本，
这6本的价格为4元、5元、5元、5元、5元、7元，
因此这6个本价格的众数是5元．
（2）①相同；
原来6本价格为：4元、5元、5元、5元、5元、7元，价格的中位数是＝5（元），
后来5本价格为：4元、5元、5元、5元、7元价格的中位数是5元，
因此相同；
②画树状图如下：
共有20种等可能的情况，其中两次都是5的有6种，
∴P（两次都为5）＝＝．
【类型三：利用概率判断游戏的公平性】
15．圆圆和芳芳玩抛硬币游戏，连续抛两次，圆圆说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，那么我赢，”该游戏 （填“公平”或“不公平”）．
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：所有可能出现的结果如下表所示：
正
反
正
（正，正）
（正，反）
反
（反，正）
（反，反）
因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反，
所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为＝，
因为二者概率不等，所以游戏不公平．
故答案为：不公平．
16．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
17．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是 ，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案．
【解答】解：（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是＝，
故答案为：，；
（2）游戏公平，理由如下：
8个汉字中笔画不小于8画的有：骄、傲、是、国，
8个汉字中笔画小于8画的有：我、我、中、人，
所以小明获胜的概率为＝，
小华获胜的概率为＝，
∴小明获胜的概率＝小华获胜的概率，
所以游戏公平．
18．一个小球在如图所示的方格地板上自由地滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同．
（1）该小球停留在黑色区域的概率是多少？
（2）甲，乙两人比赛，小球落到白色区域甲赢，落在黑色区域乙赢，你认为这个游戏公平吗？
【分析】（1）根据黑色区域的面积所占比例求出概率即可；
（2）根据小球落到白色区域和落在黑色区域的概率是否相同来判断游戏的公平性即可．
【解答】解：（1）由题意知，黑色区域占总面积的＝，
故小球停留在黑色区域的概率是；
（2）由（1）知，小球停留在黑色区域的概率是，则小球停留在白色区域的概率是，
＞，
∴这个游戏不公平．
19．小亮和小芳都想参加学校杜团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．
（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断．
【解答】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有3个，
∴P（转到2的倍数）＝＝；
（2）游戏不公平，
共有8种等可能的结果，其中3的倍数有3、9共2种可能，2的倍数有2，4，8共3种可能，由于转到6时需要重新转转盘，故6舍去，
∴小亮去参加活动的概率为，
小芳去参加活动的概率为：＝，
∵≠，
∴游戏不公平．
20．丽丽和小明两位同学一起玩飞镖游戏，飞镖的靶子设计如图所示，已知从里到外的三个圆的半径分别为1，2，4，圆形靶子被分为A，B，C三个区域．如果飞镖投出后没有落在靶子上，或是停留在圆周上，那么可以重新投镖．
（1）分别求出飞镖落在三个区域的概率；
（2）丽丽和小明约定，如果飞镖停落在A，B区域，则丽丽得三分，如果飞镖落在C区域，则小明得一分，你认为这个游戏公平吗？说明理由．如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平．
【分析】（1）根据圆的面积个数求出A、B、C的面积，再根据概率个数进行求解即可；
（2）先求出丽丽和小明的得分，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵三个圆的半径分别为1，2，4，
∴SA＝π•12＝π，SB＝π•22﹣π•12＝3π，SC＝π•42﹣π•22＝12π，
∴飞镖落在A个区域的概率是＝；
飞镖落在B个区域的概率是＝；
飞镖落在C个区域的概率是＝；
（2）∵P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，
∴P（丽丽得分）＝×3+×3＝，P（小明得分）＝×1＝，
∵P（丽丽得分）＝P（小明得分），
∴这个游戏公平．
知识点一：利用频率估算概率：
1. 频率与概率的关系：
对于一般的随机事件，在做大量的重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现
的频率在一个固定数值附近摆动，显示出一定的 稳定性 ，因此可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的 频率 去估算它的概率。
频率是一个具体值，但概率是一个估算值。
2. 用频率估算概率：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率趋近某一个常数，那么事件A
发生的概率为：P（A）＝ 。
试验次数越多，频率月接近概率。估算的概率月精确。
【类型一：用频率估算概率】
21．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A．0.6cm2 B．1.8cm2 C．5.4cm2 D．3.6cm2
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为3×3×0.6＝5.4（cm2），
故选：C．
22．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
【解答】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在0.6附近，
因此摸到蓝球的概率为0.6，
所以有＝0.6，
解得n＝6，
经检验，n＝6是原方程的解，
因此蓝球有6个，
故选：C．
23．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心的频率
0.90
0.8
0.82
0.88
0.84
0.858
0.861
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.861，
故选：D．
24．在大力发展现代化农业的形势下，现有一种新玉米种子，为了了解它的出芽情况，在推广前做了五次出芽试验，每次随机抽取一定数量的种子，在相同的培育环境中分别试验，结果记录如表：
培育的种子数量/a
100
300
500
1000
3000
5000
出芽的种子数量/b
99
288
470
960
2850
4750
出芽率
0.99
0.96
m
n
0.95
0.95
（1）填空：表中m＝ ，n＝ ．
（2）任取一粒这种新玉米种子，估计它能发芽的概率．（结果保留两位小数）
【分析】（1）用发芽的种子数量除以实验种子的数量即可求得m、n的值；
（2）用频率估计概率即可．
【解答】解：（1）m＝470÷500＝0.94；n＝960÷1000＝0.96；
故答案为：0.94，0.96．
（2）任取一粒这种新玉米种子，估计它能发芽的概率为0.95．
25．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，（精确到0.1）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是 ；（精确到0.1）
（3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）用360°乘以获得“手工”奖品的概率即可．
【解答】解：（1）a＝500×0.29＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案为：295、0.745；
（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，
故答案为：0.6、0.6；
（3）360°×（1﹣0.6）＝144°，
在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144度．
第二课时——求事件的概率（答案卷）
知识点一：用直接列举法求概率 ：
在一次实验中，如果可能出现的结果只有 有限 个，且各种结果出现的可能性大小 相同 ，则可通过列举实验结果的方法分析随机事件发生的概率。
【类型一：利用直接列举法求事件概率】
1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：所以可能出现的结果情况有：
正正，正反，反正，反反
∵共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上的结果有1种，
∴两枚硬币全部正面向上的概率为．
故选：D．
2．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小莹恰好站在中间的概率是 ．
【分析】用列举法列举出小莹站位的可能性，从而求得
【解答】解：小莹一共有三个位置可选，分别是左、中、右，
所以小莹恰好站在中间的概率为，
故答案为：．
3．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 ．
【分析】由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可；
【解答】解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，
所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率＝＝．
故答案为．
知识点一：用列表法和树状图法求概率：
1. 用列表法求概率：
当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且核能出现的结果较多时，常通过用 列表 的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，再利用 概率公式 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
a
b
c
A
（A，a）
（A，b）
（A，c）
B
（B，a）
（B，b）
（B，c）
C
（C，a）
（C，b）
（C，c）
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，用列表法表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
2. 用树状图法求概率：
当事件要通过多个步骤（三个或以上）完成时，常通过用 画树状图 的方法列举所有
可能的结果，在找出事件A可能发生的结果，再利用 概率公式 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，用树状图表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
【类型一：用列表法或树状图法求概率】
4．现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，再由概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，
∴两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为＝，
故选：B．
5．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为＝，
故选：C．
6．为了更好防控疫情，某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指导某社区预防疫情工作．用树状图（或列表法）求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，看恰好选中医生甲和护士A的情况数占所有情况数的多少即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能情形，恰好选中医生甲和护士A只有一种情形，
所以恰好选中医生甲和护士A的概率为．
7．某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为＝．
8．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是＝，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为＝．
9．某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．快乐阅读；C．魔法英语；D．硬笔书法．
（1）该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是 ；
（2）该校规定每名学生需选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是，
故答案为：；
（2）解法一：因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列表如下
A
B
D
A
（A，A）
（B，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（D，B）
D
（A，D）
（B，D）
（D，D）
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
∴．
【类型二：概率中的放回与不放回问题】
10．有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记下后放回，再任取一张，则两次取出的卡片上的数字和为正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果情况，其中两次取出的卡片上的数字和为正数的有10种，
所以两次取出的卡片上的数字和为正数的概率为＝，
故选：C．
11．有6张无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：如图所示：
共有36种等可能情况，第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数有14种，
所以第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是＝，
故选：B．
12．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中7次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是红球、一个是黄球的概率．
【分析】（1）根据频率等于频数除以总数即可求解；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中7次摸出的是红球，∴这10次中摸出红球的频率7÷10＝0.7；
（2）画树状图得：
共有16种等可能的结果，其中抽到的球是一红一黄的结果有4种，
∴．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球．把它们分别标记为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为 ；
（2）小雨和小佳玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜．小雨先从口袋中摸出一个小球，不放回，小佳再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，分别求出小雨和小佳获胜的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小雨和小佳获胜的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为＝，
故答案为：．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小雨获胜的结果有6种，小佳获胜的结果也有6种，
∴小雨获胜的概率为＝，小佳获胜的概率为＝．
14．文具店有三种品牌的笔记本，价格分别是4，5，7（单位：元），从中随机拿出一个本，已知P（一次拿到5元本）＝．
（1）求这6个本价格的众数；
（2）若琪琪已拿走一个5元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．
①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到5元本的概率．
【分析】（1）根据6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，P（一次拿到5元本）＝．可求出单价为5元的笔记本的本数，进而得出众数；
（2）①求出原来6本价格、后来5本价格的中位数，进行判断即可；
②用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解答】解：（1）6×＝4（本），因此单价为5元有4本，
这6本的价格为4元、5元、5元、5元、5元、7元，
因此这6个本价格的众数是5元．
（2）①相同；
原来6本价格为：4元、5元、5元、5元、5元、7元，价格的中位数是＝5（元），
后来5本价格为：4元、5元、5元、5元、7元价格的中位数是5元，
因此相同；
②画树状图如下：
共有20种等可能的情况，其中两次都是5的有6种，
∴P（两次都为5）＝＝．
【类型三：利用概率判断游戏的公平性】
15．圆圆和芳芳玩抛硬币游戏，连续抛两次，圆圆说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，那么我赢，”该游戏 （填“公平”或“不公平”）．
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：所有可能出现的结果如下表所示：
正
反
正
（正，正）
（正，反）
反
（反，正）
（反，反）
因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反，
所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为＝，
因为二者概率不等，所以游戏不公平．
故答案为：不公平．
16．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
17．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是 ，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案．
【解答】解：（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是＝，
故答案为：，；
（2）游戏公平，理由如下：
8个汉字中笔画不小于8画的有：骄、傲、是、国，
8个汉字中笔画小于8画的有：我、我、中、人，
所以小明获胜的概率为＝，
小华获胜的概率为＝，
∴小明获胜的概率＝小华获胜的概率，
所以游戏公平．
18．一个小球在如图所示的方格地板上自由地滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同．
（1）该小球停留在黑色区域的概率是多少？
（2）甲，乙两人比赛，小球落到白色区域甲赢，落在黑色区域乙赢，你认为这个游戏公平吗？
【分析】（1）根据黑色区域的面积所占比例求出概率即可；
（2）根据小球落到白色区域和落在黑色区域的概率是否相同来判断游戏的公平性即可．
【解答】解：（1）由题意知，黑色区域占总面积的＝，
故小球停留在黑色区域的概率是；
（2）由（1）知，小球停留在黑色区域的概率是，则小球停留在白色区域的概率是，
＞，
∴这个游戏不公平．
19．小亮和小芳都想参加学校杜团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．
（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断．
【解答】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有3个，
∴P（转到2的倍数）＝＝；
（2）游戏不公平，
共有8种等可能的结果，其中3的倍数有3、9共2种可能，2的倍数有2，4，8共3种可能，由于转到6时需要重新转转盘，故6舍去，
∴小亮去参加活动的概率为，
小芳去参加活动的概率为：＝，
∵≠，
∴游戏不公平．
20．丽丽和小明两位同学一起玩飞镖游戏，飞镖的靶子设计如图所示，已知从里到外的三个圆的半径分别为1，2，4，圆形靶子被分为A，B，C三个区域．如果飞镖投出后没有落在靶子上，或是停留在圆周上，那么可以重新投镖．
（1）分别求出飞镖落在三个区域的概率；
（2）丽丽和小明约定，如果飞镖停落在A，B区域，则丽丽得三分，如果飞镖落在C区域，则小明得一分，你认为这个游戏公平吗？说明理由．如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平．
【分析】（1）根据圆的面积个数求出A、B、C的面积，再根据概率个数进行求解即可；
（2）先求出丽丽和小明的得分，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵三个圆的半径分别为1，2，4，
∴SA＝π•12＝π，SB＝π•22﹣π•12＝3π，SC＝π•42﹣π•22＝12π，
∴飞镖落在A个区域的概率是＝；
飞镖落在B个区域的概率是＝；
飞镖落在C个区域的概率是＝；
（2）∵P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，
∴P（丽丽得分）＝×3+×3＝，P（小明得分）＝×1＝，
∵P（丽丽得分）＝P（小明得分），
∴这个游戏公平．
知识点一：利用频率估算概率：
1. 频率与概率的关系：
对于一般的随机事件，在做大量的重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现
的频率在一个固定数值附近摆动，显示出一定的 稳定性 ，因此可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的 频率 去估算它的概率。
频率是一个具体值，但概率是一个估算值。
2. 用频率估算概率：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率趋近某一个常数，那么事件A
发生的概率为：P（A）＝ 。
试验次数越多，频率月接近概率。估算的概率月精确。
【类型一：用频率估算概率】
21．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A．0.6cm2 B．1.8cm2 C．5.4cm2 D．3.6cm2
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为3×3×0.6＝5.4（cm2），
故选：C．
22．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
【解答】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在0.6附近，
因此摸到蓝球的概率为0.6，
所以有＝0.6，
解得n＝6，
经检验，n＝6是原方程的解，
因此蓝球有6个，
故选：C．
23．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心的频率
0.90
0.8
0.82
0.88
0.84
0.858
0.861
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.861，
故选：D．
24．在大力发展现代化农业的形势下，现有一种新玉米种子，为了了解它的出芽情况，在推广前做了五次出芽试验，每次随机抽取一定数量的种子，在相同的培育环境中分别试验，结果记录如表：
培育的种子数量/a
100
300
500
1000
3000
5000
出芽的种子数量/b
99
288
470
960
2850
4750
出芽率
0.99
0.96
m
n
0.95
0.95
（1）填空：表中m＝ ，n＝ ．
（2）任取一粒这种新玉米种子，估计它能发芽的概率．（结果保留两位小数）
【分析】（1）用发芽的种子数量除以实验种子的数量即可求得m、n的值；
（2）用频率估计概率即可．
【解答】解：（1）m＝470÷500＝0.94；n＝960÷1000＝0.96；
故答案为：0.94，0.96．
（2）任取一粒这种新玉米种子，估计它能发芽的概率为0.95．
25．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，（精确到0.1）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是 ；（精确到0.1）
（3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率；
（3）用360°乘以获得“手工”奖品的概率即可．
【解答】解：（1）a＝500×0.29＝295，b＝298÷400＝0.745，
故答案为：295、0.745；
（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6，
故答案为：0.6、0.6；
（3）360°×（1﹣0.6）＝144°，
在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144度．
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