高中北师大版 (2019)3 数学建模活动的主要过程单元测试课时训练

第一章预备知识

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设实数满足：，则下列不等式中不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 正数，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知三个互不相等的负数，，满足，设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为元，若按最低售价销售，每天能卖出盏；若售价每提高元，日销售量将减少盏，为了使这批台灯每天获得元以上不含元的销售收入，则这批台灯的销售单价单位：元的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若正数，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设，，则下列不等式中不恒成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知正数，，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 对于实数，，，下列命题中正确的是(    )

A. 若则；
B. 若，则；
C. 若，则；
D. 若，，则，．

10. 已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是(    )

A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集可以为的形式
C. 不等式的解集恰好为，那么
D. 不等式的解集恰好为，那么

12. 设，，均为正数，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若不等式的解集是则不等式的解集为          ．
14. 写出一个一元二次不等式，使它的解集为          ．
15. 已知，，满足，且对于任意，，恒成立，则实数的最大值为          ．
16. 长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“队伍构成满足以下条件：有中学高级教师中学教师不多于小学教师小学高级教师少于中学中级教师小学中级教师少于小学高级教师支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级无论是否把我计算在内，以上条件都成立”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知全集，集合，，．
    若，求；
    在，这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
    问题：已知：，：____，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18. 本小题分

已知，，为正实数，且，证明下列不等式：

；

；

．

19. 本小题分

已知不等式的解集为或

求，；

若，解不等式．

20. 本小题分

十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作该地区有户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为万元为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．

若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；

在的条件下，要使这户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．

21. 本小题分

已知正数、满足，求的最小值

求函数的最小值

已知，且求证：．

22. 本小题分

已知，，，求证：

．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查综合法与分析法、不等式的性质，属于中档题．
利用不等式的性质，结合放缩法证明，，结论成立，令，，，分别求出，比较大小可判断不成立，即可得出结论．

【解答】

解：，，
，
，
不等式右边全部成立；
A. ，成立；
B. 由可得：，成立；
C.，成立．
D.令，，，则，
，
即，不成立
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，注意满足条件“一正二定三相等”，属于中档题．
将已知变形为，得到，展开后再根据基本不等式求出代数式的最小值即可．

【解答】

解：正数，满足，
，，，，
，
当且仅当 ，即，时“”成立，
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查作差法比较大小，属于基础题．
做差可得，因为，，都是负数且互不相等，可得，即可得出结果．

【解答】

解：
，
因为，，都是负数且互不相等，
所以，即．
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了必要条件、充分条件的判断和基本不等式，属于基础题．
由结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，可得充分性成立通过取特殊值，得到必要性不成立，即可得出结论．

【解答】

解：因为，，所以，当且仅当时等号成立，
由可得，解得，当且仅当时等号成立，所以充分性成立
当时，取，，满足，但，所以必要性不成立．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的实际应用，考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
首先根据题意建立不等关系，再利用一元二次不等式的解法求解即可．

【解答】

解：由题意可知，，
化简得，，

，解得，

又每盏最低售价为元，

，

故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于拔高题．
设，解得，，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值．

【解答】

解：由题意，设，解得，，其中，，
，，整理得，
又由
，
当且仅当，即，
即时，等号成立，
的最小值为．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式性质和基本不等式，属于较难题．
可利用不等式的性质和特殊值法即可求解；

【解答】

解：由，，得，当且仅当时，等号成立，故选项A恒成立
由，得选项B恒成立
由，得，
即，故选项C恒成立
取，，则不成立，故选项D不恒成立，
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力和推理能力，难度较大．
由以及进行变形即可求解，注意等号成立的条件．

【解答】

解：由题意可得，，
，
当且仅当，即时取等号，
又，
，当且仅当时取等号，
，
，即，
，当且仅当且时取等号，
的最小值为．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法，属于中档题．
选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．

【解答】

解：时不成立； 
B.若，则，；
，，
 ，故B正确；
C.若，
则
，故C正确；
 若，，则，
所以，，故D正确． 
故选BCD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的变形及应用．
根据基本不等式当且仅当时取等及不等式当且仅当时取等以及不等式的性质即可判断每个不等式是否成立，从而得出结果．

【解答】

解：对于，，当且仅当时等号同时成立，
而，故不一定成立；
对于，，当且仅当时取等号；

对于，，当且仅当时取等号；

对于，当，时，
，，，此时．
故选AD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系．
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，根据函数图象逐项判断即可．

【解答】

解：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，如图所示，

由图知，，从而当时，不等式的解集为，故A正确；
当时，不等式的解集为的形式，故B错误；
由的解集为，知，
因此当，时函数值都是，
由当时函数值是，得，解得或．
当时，由，解得或，不满足，不符合题意，
所以，由，解得或，满足，
此时，故C错误，D正确．
故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，属难题．
利用基本不等式结合已知变形所求式子即可得解．

【解答】

解：，，，，且，
，
当且仅当时取等号，
，故A正确；
，，，，且，
，
当且仅当时取等号，故B正确；
，，，，且，
，
由可知，
故，
当且仅当时取等号，故C正确；
，当时，，故D错误．
故选ABC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，属于中档题．
先根据不等式的解集是，求出，的值，再代入分式不等式，转化为一元二次不等式，得到不等式的解集．

【解答】

解：因为不等式的解集是，
所以，且，解得，，
所以可转化为，
解得，
故答案为．

14.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

设满足题意的一元二次不等式为，则由题可知，方程的两根分别为，，因此结合韦达定理即可找出系数之间的关系，从而写出满足题意的不等式．

本题主要考查一元二次不等式的解集与对应二次方程的根之间的关系，考查韦达定理的应用，属于中档题．

【解答】

解：设满足题意的一元二次不等式为，

因为不等式的解集为，

所以方程的两根分别为，，

所以

令，则，，

故满足题意的一个不等式为：答案不唯一．

故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的应用问题，考查了转化与化归能力．
依题意求，由，应用基本不等式，后两项通分化为关于的关系式，求得，使得恒成立，即可得出的最大值．

【解答】

解：由，时，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
解得；
又对于任意，，恒成立，
所以，即
所以的最大值为．
故答案为．

16.【答案】小学中级 

【解析】

【分析】

本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的思想是解决本题的关键，属于难题．
设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，，，，根据条件分别讨论队长的学段和职称是否满足题意即可．

【解答】

解：设职称为小学中级、小学高级、中学中级、中学高级的人数分别为，，，，

则，，，，，
，

，，

若，则，

，，，，，

若，则，

，，
，，，与已知矛盾；

队长为小学中级时，去掉队长则，，，，

满足，，，

队长为小学高级时，去掉队长则，，，，不满足

队长为中学中级时，去掉队长则，，，，不满足

队长为中学高级时，去掉队长则，，，，不满足

综上可得队长为小学中级．
故答案为小学中级．

17.【答案】解：当时，不等式化为，解得或，
或，又，
或；
若选择条件．
是的充分不必要条件，即，
，或，
则或，，
从而，
，即；
若选择条件．
是的充分不必要条件，即，
由，得或，
或，，
从而，，
，即． 

【解析】本题考查不等式的解法，考查集合的运算，考查充分不必要条件的判定及应用，考查数学转化思想，是中档题．
把代入一元二次不等式，求解化简，再由交集运算得答案；
分别选择条件，由是的充分不必要条件，可得集合间的关系，转化为关于的不等式组求解．
 

18.【答案】 证明：
，
当且仅当“”时取等号．

，
当且仅当“”时取等号．

，
所以
当且仅当“”时取等号．

【解析】本题考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题．
根据已知，不等式转化为即可得证；
不等式转化为得证；
不等式转化为得证．
 

19.【答案】解：因为不等式的解集为，
所以方程的解为或且，
则有
解得，或舍，
所以，．
因为，，
则原不等式为，
即有，
因为，
不等式的解集为． 

【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法．
根据题意可得方程的解为或，，即可得出，；
由知原不等式为，即有，结合，即可得出原不等式的解集．
 

20.【答案】解： 动员 户农民从事水果加工后， 
要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入， 
则 ， 
解得 ．
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入， 
则 ， ，
化简得 ， ，
由于， 
当且仅当即 时等号成立，
所以 ， 
所以的最大值为 

【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题． 
由题意列式得 ，解出 即可； 
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则化简得 ，，利用基本不等式求最值即可．
 

21.【答案】解：，所以，，   

则，

所以，

当且仅当，即当时，等号成立，

因此，的最小值为，  

设，则，    

所以，

当且仅当时取得等号．
所以函数的最小值是   

因为，且，

由基本不等式，可得，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

所以，  

即，且当仅当时，等号成立，

因为，

所以．

即，
即，则不等式得证．     

【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，以及不等式的证明．
由已知，则，由基本不等式可求得最值；

设，则，所以，由基本不等式可求得最值
结合基本不等式可得，从而得证．

22.【答案】解：令，则，
由，
则结合可得，
而，若，则，与前面矛盾，
故，即，所以，
又由，所以，，
即，
又，则可得，化简可得，
故，
所以，得，从而，即．
由知，所以，
又因为，所以，即． 

【解析】本题考查换元思想、不等式的综合应用，属于难题．
利用换元法以及不等式即可证明．
  结合第一问证明得到的结论，利用条件即可证明要求的结论．