【备战2023高考】数学总复习——第01讲《椭圆》练习（全国通用）

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第01讲 椭圆

一、单选题
1．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由焦点在轴上的椭圆的标准方程即可得到答案.
【详解】由题意得，，解得.故选：A.
2．与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆得，半焦距，显然椭圆焦点在x轴上，
因此双曲线的焦点为，因双曲线离心率为，令其实半轴长为a，即有，解得，则双曲线虚半轴长，
所以所求双曲线的标准方程为.故选：A
3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设圆柱底面直径为，则椭圆短轴长，椭圆长轴竖直截面如下图所示：由题意及图，可知为直角等腰三角形，且，
故，椭圆的长轴长，
所以，所以椭圆的离心率.故选：C

4．已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为

因为是椭圆的左､右焦点，所以
抛物线准线为：直线，所以
因为是底角为的等腰三角形，则
则
则 ，整理得： 所以离心率.故答案为：A.
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，故选：D

6．已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
所以为的中点，
又因为，所以，
过点O作OM⊥AB于点M，则，
根据，可得，所以，
因为A为上顶点，所以
根据双曲线定义可知：，所以，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，即，
所以，故，
所以椭圆方程为：

故选：D
7．已知椭圆过点，则其焦距为（    ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】D
【详解】将点代入椭圆方程得，解得，又，所以，焦距为.故选：D.
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
，，（） ，
则，解之得
又
则
则，则
则，则
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为故选：B
二、填空题
9．若椭圆  的离心率为，则实数的值等于__________．
【答案】或
【详解】设椭圆的长半轴和短半轴分别为 ，
由离心率为，可得 ，
当时， ，则 ，；
当 时，，则 ，，故答案为：或
10．已知复数满足，若为实数（i为虚数单位），则为_______.
【答案】
【详解】由得点Z是以，为焦点，长半轴长是5的椭圆，则，所以点Z的轨迹方程为.
又为实数，可设，代入轨迹方程得，故.
故答案为：
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且.若，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【详解】由题意可得：
则
∵，则，即，解得：
∴，则故答案为：.

12．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，则_________．

【答案】1
【详解】因为椭圆，所以，故，，如图，令，
因为，所以，即，
结合图象，由平面向量的知识可得，故，
两式相加得，即，即，
由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，
所以，故.
故答案为：1.
.
三、解答题
13．已知椭圆的离心率为，长轴的长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点，作互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与圆交于两点，为的中点，求面积的最大值．
【分析】
（1）由题意知，离心率为， 解得
所以
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得左焦点
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则
这时直线的方程为，可得MN的中点为
；
当直线的斜率为0时，则直线与圆无交点；
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，直线的方程为，
联立，得


∵，∴
∴点到等于点到的距离为
点到的距离为，所以

令，则，．
所以面积的最大值为．
14．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且，是坐标原点，求面积的最大值．
【分析】
（1）由题意，又，解得，，
的方程为；
（2）设直线的方程为，，，，
则，消元整理得，
所以，，
则，
由，
得，

，
到直线的距离，

设，而在时递增，
当即，即时，的最大值为．
15．已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）
设，则
∵在椭圆上，则
两式相减得，整理得
∴，即，则
又∵点在椭圆C：上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）
不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON
∵，则，即
由（1）可得，则，即直线
联立方程，解得
即
∵，则在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称

16．椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上．
(1)求此椭圆方程；
(2)过做两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形面积的取值范围．
【分析】
（1）由题意， ，
因焦点在y轴，设椭圆方程为 ，将点P的坐标代入上式得： ，
联立方程 ，解得 ， ，∴椭圆方程为 ；
（2）
如图：

当过 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为 ，直线CD的方程为 ，
设 ，
联立直线AB与椭圆方程 解得： ，
由韦达定理得 ，
线段AB的长为 ，
同理联立直线CD与椭圆方程得到 ，
，所以四边形ABCD的面积   ，
令 ， ，则有 ，
，是关于t的二次函数，当 时，其取值范围是 ，  ；
当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设 ，则直线AB的方程为 ，代入椭圆方程，得 ， ， ，四边形ABCD的面积为 ；
所以四边形ABCD的取值范围是 ；
综上，椭圆方程为，四边形ABCD的取值范围是.

一、单选题
1．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】可设椭圆的方程为，
由题意可得：，解得：，
所以椭圆的方程为.故选：C
2．已知点分别是椭圆的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1.若点在此椭圆上，，则的面积等于（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为.
所以，解得.
则
由余弦定理可知，
代入化简可得，
则.故选：B.
3．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，
而，则有，
由椭圆定义可得，当且仅当，即时取等号，
于是有，则，又，即有，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A.
4．已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，的面积为，则的值为（    ）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【详解】由题意设，，，，，
根据椭圆定义，
即，则，
，所以，
，
，
即，解得，
，，
故选：C.

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为．若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】左、右焦点分别为，，上顶点为，∴，设，则，

由，根据勾股定理，有，即
解得，即，
由，，，，三点共线，
∴，代入椭圆方程，有，化简得，
所以椭圆离心率为.故选：B
6．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，则，由，则，
将代入方程，则，，不妨设，
直线的斜率，则直线方程为，
令，则，即，故的中点为，
由直线过的中点，则，即，
，，.故选：A.
7．椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，则AF：，，满足,
消去得，，
是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以．
故选：B．
8．已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由解得，所以曲线C是椭圆．
因椭圆C的焦点在x轴上，则．
因为，所以，
不妨设，，，，
由题意知，则，即，
．故选：A．
二、填空题
9．已知椭圆左､右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________.
【答案】##
【详解】在中，，，则，

，则，
由椭圆的定义可得，则.
故答案为：.
10．已知椭圆与双曲线公共焦点为，点为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的虚轴长为___________.
【答案】6
【详解】解：不妨取椭圆与双曲线的交点在第一象限，如图所示：

设，，且，
由椭圆方程可知，，
所以，所以，，，，
所以①，
由双曲线方程可知②，
①②联立可得，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
所以，所以，
所以双曲线的虚轴长为．故答案为：6．
11．已知直线l：与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】变形为，恒过点，
即直线经过圆的圆心，
因为，所以为AB的中点，
设，则，
则有，两式相减得：，
即，
因为，且，所以，
则离心率，

故答案为：.
12．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意知，设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为

∴ 点的轨迹是以原点为圆心， 半焦距为半径的圆.
又点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即，
，即.故答案为：.    ·
三、解答题
13．已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于轴的对称点为点E，证明：直线与轴交于定点.
【分析】（1）
由双曲线得焦点，得，
由题意可得，解得，，
故椭圆的方程为；.
（2）
设直线，点，则点.
由，得，，解得，
从而，，
直线的方程为，令得，
又∵，，
则，即，
故直线与轴交于定点.
14．已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点作直线交E于A，B两点，求面积的最大值.
【分析】（1）设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，
所以，因为点在E上，所以，又，
解得，，所以E的方程为；
（2）若AB垂直于x轴，则
若AB不垂直于x轴，由（1）知，则设AB的方程为，代入E的方程得：，设，
所以，
则有：

而点到直线AB的距离为，
，
显然，若，则.
若，则，
综上 的最大值为.
15．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点在第二象限，，求的面积.
【分析】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
因为，则，即，
则，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设点坐标为，，，
∵，∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴
16．已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足： ，求点的轨迹方程；
【分析】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，所以曲线的方程为；
（2）因为，所以为中点，设，
当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：
两式相减得，即，所以，
即，，整理得；
当的斜率不存在或为0时，有或，也满足；
所以点的轨迹方程是；
综上，曲线 的方程为，点的轨迹方程是.



一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，故选：B.
2．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
二、多选题
3．已知曲线.（    ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.
三、解答题
4．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【分析】（1）
解：，
离心率为.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
四、双空题
6．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
【答案】    
【详解】如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．故答案为：；．