【备战2023高考】数学总复习——第02讲《双曲线》讲义（全国通用）
展开第02讲 双曲线
本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 双曲线的定义
1．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.,当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
考点二 双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
考点三 双曲线的几何性质
标准方程 | －＝1(a＞0，b＞0) | －＝1(a＞0，b＞0) |
范围 | |x|≥a，y∈R | |y|≥a，x∈R |
对称性 | 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 | |
焦点 | F1(－c,0)，F2(c,0) | F1(0，－c)，F2(0，c) |
顶点 | A1(－a,0)，A2(a,0) | A1(0，－a)，A2(0，a) |
轴 | 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b | |
焦距 | |F1F2|＝2c | |
离心率 | e＝＝ ∈(1，＋∞) | e是表示双曲线开 口大小的一个量， e越大开口越大. |
渐近线 | y＝±x | y＝±x |
a，b，c的关系 | a2＝c2－b2 | |
[常用结论]
1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
高频考点一 双曲线的定义及其应用
【例1】(1)(2022·河南安阳三模)设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( )
A．8 B．4
C．8 D．4
(2)(2019·河北廊坊省级示范校三联)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【方法技巧】
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
【跟踪训练】
1．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)
C.－＝1 D.－＝1
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
高频考点二 双曲线的几何性质
考向(一) 求双曲线的离心率(或范围)
[例2] (一题多解)(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
考向(二) 求双曲线的渐近线方程
[例3] (2022·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
考向(三) 求双曲线的方程
[例4] (2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝－1，则双曲线E的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
[规律探求]
看个性 | 考向(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)； 考向(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±＝±＝± ＝±； 考向(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程. |
找共性 | 求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是： |
[跟踪训练]
1．(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
2．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是________．
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