第31讲 2023高考热点分类提分复习 离心率归类训练

第31讲 离心率归类训练 目录 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc2389" 【题型一】 判断横放竖放求参  PAGEREF _Toc2389 2  HYPERLINK \l "_Toc23680" 【题型二】 直接法  PAGEREF _Toc23680 3  HYPERLINK \l "_Toc72" 【题型三】 补连另一焦点利用定义  PAGEREF _Toc72 5  HYPERLINK \l "_Toc9798" 【题型四】 余弦定理1：基础型  PAGEREF _Toc9798 8  HYPERLINK \l "_Toc1210" 【题型五】 余弦定理2：勾股定理用两次  PAGEREF _Toc1210 10  HYPERLINK \l "_Toc10950" 【题型六】 余弦定理3：余弦定理用两次  PAGEREF _Toc10950 13  HYPERLINK \l "_Toc7255" 【题型七】 中点型  PAGEREF _Toc7255 16  HYPERLINK \l "_Toc25784" 【题型八】 多曲线交点1：和抛物线  PAGEREF _Toc25784 18  HYPERLINK \l "_Toc7115" 【题型九】 多曲线交点2：与圆  PAGEREF _Toc7115 21  HYPERLINK \l "_Toc20383" 【题型十】 多曲线交点3：双曲线和椭圆  PAGEREF _Toc20383 24  HYPERLINK \l "_Toc19438" 【题型十一】 双曲线特性1：渐近线  PAGEREF _Toc19438 26  HYPERLINK \l "_Toc26318" 【题型十二】 双曲线特性2：内心  PAGEREF _Toc26318 29  HYPERLINK \l "_Toc8505" 【题型十三】 难点1：借助向量构造  PAGEREF _Toc8505 32  HYPERLINK \l "_Toc24964" 【题型十四】 难点2：小题大做型  PAGEREF _Toc24964 35  热点题型总结 【题型一】 判断横放竖放求参 【典例分析】 已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B．2 C．或2 D．或 【详解】 因为实数成等比数列，故可得，解得或； 当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时； 当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时. 故选：C. 【提分秘籍】 依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面： 通过讨论，确定焦点在x轴还是在y轴上判断（即俗称的横放还是竖放）。 “椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑 【变式演练】 1.已知双曲线的离心率为2，则双曲线M的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【详解】 因为双曲线的离心率为2， 所以，解得，所以双曲线方程为， 由，得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A 2.已知曲线C：的离心率，则实数m值为（ ） A．6 B．-6 C． D． 【详解】 因为曲线C：的离心率， 所以曲线C：为双曲线，即，所以，， 所以离心率，解得， 故选：D． 3.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为，即，解得， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为即，解得， 综上：，故选：B. 【题型二】 直接法 【典例分析】 椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】 解：因为椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值为，椭圆的短轴长为 所以根据题意得， 所以两边平方得，即 等式两边同除以得 ，解得或（舍） 所以椭圆的离心率为故选：B 【提分秘籍】 直接利用椭圆和双曲线的定义和基础性质求离心率 离心率的公式：椭圆；双曲线 【变式演练】 1.已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】 因为焦距为，所以，右焦点，， 双曲线渐近线方程为：， 所以右焦点到它的一条渐近线的距离为， 所以，，所以离心率，故选：C. 2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中､分别为椭圆的左､右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 因点P在椭圆上，则，又，于是得，， 而，当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”，即，解得，即， 所以，椭圆的离心率取值范围是.故选：D 3.设双曲线E：的离心率为，直线过点和双曲线E的一个焦点，若直线与圆相切，则（ ） A． B． C． D． 【详解】 不妨设直线右焦点，则直线的方程为，即， 由直线与圆相切，且， 可得，整理得，即， 即，可得，即， 解得或，因为，可得，所以.故选：D. 【题型三】 补连另一焦点利用定义 【典例分析】 已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由椭圆的对称性知：，而， 又，即四边形为矩形， 所以，则且M在第一象限，整理得， 所以，又即， 综上，，整理得， 所以.故选：D. 【提分秘籍】 椭圆和双曲线，与一个焦点有关，思维上优先连接另一焦点，分析是否能借助定义解决。 【变式演练】 1.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（       ） A． B． C． D． 【详解】：连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确. 2.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【详解】：如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B 3.设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：设椭圆右焦点为，连接Q， ∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，则，由， ∵Q在椭圆上，∴，又，解得， ∴离心率．故选：D． 【题型四】 余弦定理1：基础型 【典例分析】 已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离， 所以，因为，所以，因为，所以， 由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，所以，即离心率.故选：C. 【提分秘籍】 一般情况下，焦点三角形，可以构造余弦定理。 【变式演练】 1.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与交于点，若，且，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由且知：△为等腰直角三角形且、，即， ∵， ∴，故，则， 而在△中，， ∴，则，故. 故选：B. 2.设点，分别为双曲线的左右焦点.点，分别在双曲线的左，右支上，若，且，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：，共线，且， ， ，则，故有， 设，则，，由双曲线的定义可得 ∴，整理得，解得：或， 若，则，，不满足，舍去； 若，，符合题意，则，， 此时，在中，， 即，得到，即， ∴．故选：B． 3.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：因为即所以 在三角形中，有余弦定理可得：所以 即因为以MN为直径的圆经过右焦点F2，所以，又|MF2|＝|NF2|， 可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m， 由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a， 即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2， 化为c2＝3a2，即e．故选：B． 【题型五】 余弦定理2：勾股定理用两次 【典例分析】 如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形， 设，则，，， 在中，，解得或m＝0（舍去）， 从而有，中，，整理得，， 所以双曲线E的离心率为．故选：B 【提分秘籍】 焦点三角形或者焦点弦，有垂直（或者在圆上）可以构造勾股定理，特别是焦点弦，俩交点，可以构造两个勾股定理。 【变式演练】 1.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由双曲线定义知， 则，，所以， ∴的周长为，∴，， 由， 所以，故，∴，∴，，∴， 在中，，故.故选：A. 2.已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（       ） A． B．2 C． D． 【详解】：由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则， 设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上， 所以，且，则，，所以，所以， 则在中，可得，，即，解得，所以， 故选：A． 3.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C．2 D． 【详解】：设，则，从而，进而.过作，则.如图：在中，，； 在中，，即，所以.故选：A 【题型六】 余弦定理3：余弦定理用两次 【典例分析】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【详解】：解：如图所示：，是双曲线的左右焦点，延长交于点，是的角平分线，，又点在双曲线上， ，，又是的中点，是的中点， 是的中位线，，即， 在中，，，，由三角形两边之和大于第三边得：， 两边平方得：，即，两边同除以并化简得：， 解得：，又，，在中，由余弦定理可知，， 在中，，即， 又，解得：，又， ,即， ，综上所述：.故选：B. 【提分秘籍】 焦点弦俩交点，可以分开为两次构造余弦定理 【变式演练】 1.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由题意，如图： 设，因，则， 由椭圆的定义知，，， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 在中，由余弦定理得：， 即，即，即， 所以，椭圆的离心率为.故选：A. 2.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a， 则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a， 设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°， 在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2， 在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14， 整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c）， 两式相结合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c， ∴双曲线Γ的离心率为e.故选：A. 3.．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（       ）. A． B． C． D． 【详解】：由题意作出草图，如下图所示， 由椭圆的定义可知， ， ，则， ，，，则， 在中由余弦定理可得， 在中有余弦定理可得， ，，， 化简得，.所以椭圆的离心率为．故选：C 【题型七】 中点型 【典例分析】 已知椭圆的左焦点为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率是（       ） A． B． C． D． 【详解】：设在椭圆上， 所以，两式相减， 得， 由直线AB的倾斜角为，可知，所以； 设，， 所以，所以， 所以，即，所以. 故选：B. 【提分秘籍】 中点型可以点差法，，点代入法计算 【变式演练】 1.已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D．2 【详解】：由题意得：，，， 因为M为线段OB的中点，又为AB的中点，，即四边形为梯形， 又O、A、F、M四点共圆，即四边形为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形为等腰梯形，，即，整理得，所以，故选：A 2.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（ ） A．2 B． C． D． 【详解】:点为线段的中点，且，则, 设，则， 又为直角三角形，，即， ，，由双曲线的定义可得， ，，，， 又，在中，由余弦定理可得 ，，离心率.故选：A 3.已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】:如图：因为线段的垂直平分线恰好经过焦点，所以， 当点位于椭圆的左顶点时，最大为； 当点位于椭圆的右顶点时，最小为； 所以，可得，所以， 故选：C 【题型八】 多曲线交点1：和抛物线 【典例分析】 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【详解】：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN|   ∴， 设PA的倾斜角为，则， 当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切， 设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0， ∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，   ∴P（2，1）， ∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为． 故选B． 【变式演练】 1.已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】：如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则. 由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得： ，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，. 于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率. 故选：D. 2.已知抛物线和椭圆（），直线l与抛物线M相切，其倾斜角为，l过椭圆N的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点，，则椭圆N的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：根据题意，作图如下： 因为，故可得， 根据直线斜率为，解得切点为，故直线的方程为，整理得 故可得椭圆的右焦点坐标为.过点作轴的垂直，垂足为， 则在中，由，容易得， 则可得，又点在椭圆上，故可得，结合， 解得，故离心率为.故选：B. 3.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【详解】：由题意可知,画出几何图形如下图所示: 由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与轴交于椭圆的另一焦点,则. 由椭圆定义可知,且为正三角形.所以则 由正三角形性质可知为直角三角形.所以 即,化简可得所以 故选:C 【题型九】 多曲线交点2：与圆 【典例分析】 已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（       ） A．3 B．2 C． D． 【详解】：不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率.故选：D. 【变式演练】 1.如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：设 ，则 ， 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ， 连接 ，则有 ， 由于 在以AD为直径的圆周上， ， ∵ABCD为平行四边形， ， ， 在直角三角形 中，， ， 解得： ， ； 在直角三角形 中， ， ， 得 ， ，故选：D. 2.已知双曲线与圆在第二象限相交于点分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为(       ) A． B． C． D．2 【详解】：在中，∵， ∴由正弦定理知，， 又∵，∴，， ∴在中，，，， ∴，∴. 设，则由等面积得：，即， ∵在上，∴， ∵在上， ∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故选：C. 3.已知，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形的周长C与面积S满足则该双曲线的离心率的平方为（       ） A． B． C． D． 【详解】： 如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设 由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，可得： 因为圆是以为直径，所以圆的半径为。因为点在圆上，也在双曲线上，所以有， 联立化简可得：。整理可得： ，则有：因为，所以， 因为可得： 因为，联立可得： 因为为圆的直径，可得：，即 ，以离心率的平方为： 又，则故选：A 【题型十】 多曲线交点3：双曲线和椭圆 【典例分析】 已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由题可知，椭圆焦点在轴上，则， 对于双曲线焦点在轴上，则， 椭圆和双曲线有相同的焦点，则，即， 设椭圆与双曲线的离心率分别为，则， ∴．故选：A． 【变式演练】 1.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为 A． B． C．2 D． 【详解】：设椭圆方程为，双曲线方程为， 左右焦点分别为不妨设在第一象限， ，得，在中，， 即，设椭圆和双曲线的离心率分别为， 设， 取，，当时，取得最大值为.故选:A. 2.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则 A． B． C． D． 【详解】：设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,设,,,椭圆与双曲线的离心率分别为， ,由余弦定理可得，,即,即 ①, 在椭圆中，由定义得, ①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ② 在双曲线中，由定义得,①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ③ 联立②③得,即,.故选B 3.已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为 A． B． C． D． 【详解】：设椭圆的长半轴长为,半焦距为,双曲线的实半轴长为,半焦距为, 根据椭圆的定义可得:,根据双曲线的定义可得:, 两式联立解得:,,在焦点三角形中,由余弦定理得:, 化简得:,两边同时除以,得:, 由柯西不等式得: ,即, 所以,所以.故选B. 【题型十一】 双曲线特性1：渐近线 【典例分析】 已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【详解】：双曲线的渐近线方程为，,点P在双曲线上， 双曲线的渐近线方程为，因为与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，则，解得， 故该双曲线离心率的取值范围是，故选：A 【变式演练】 1.已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，且平分，则的离心率为(       ) A．2 B． C．3 D． 【详解】：如图，双曲线的渐近线取，则， 由， ∴P()，，故，∴，即 ∵平分，∴O到PM的距离等于O到AP的距离|OM|， 即，化简整理得，解得e=2，故选：A﹒ 2.已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则，由，解得或，∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即，即， 则，所以，则， 即，所以∴．故选：C. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】： 因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限， 所以，则， 因为双曲线的渐近线方程为，则，所以； 记，则，由解得， 因为，由双曲线的定义可得，所以，， 由余弦定理可得：， 则，所以，整理得，解得， 所以双曲线的离心率为.故选：C. 【题型十二】 双曲线特性2：内心 【典例分析】 已知双曲线，直线与C交于A、B两点（A在B的上方），，点E在y轴上，且轴．若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为（       ）. A． B． C． D． 【详解】：因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以， 则．因为，所以A是线段的中点，又轴，所以，， 所以的内心G在线段上．因为G到y轴的距离为， 所以，所以，因此， 即．故．故选：B 【变式演练】 1.设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：将代入，解得：，即，不妨令，则，，所以重心坐标为，设的内心为D，内切圆与，的切点分别为A，B，与x轴切点为C，则PA=PB，，，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定义知：，从而，设，则，解得：，故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为的重心和内心的连线与x轴垂直，所以，解得：，即，解得：.故选：A 2.已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（       ） A．2 B． C． D． 【详解】：令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行的渐近线为， 直线方程为：，即， 令的内切圆与三边相切的切点分别为A，B，C，令点，如图， 由切线长定理及双曲线定义得：， 即，而轴，圆半径为，则有， 点到直线的距离：，整理得，即，而，解得， 所以双曲线的离心率为2.故选：A 3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为， 可得直线的方程为，与双曲线联立， 可得，，设，，由三角形的等面积法可得， 化简可得，①由双曲线的定义可得，② 在三角形中，为直线的倾斜角）， 由，，可得，可得，③ 由①②③化简可得，即为，可得，则．故选：A． 【题型十三】 难点1：借助向量构造 【典例分析】 已知双曲线的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由，，则点在的角平分线上， 由点在直线上，则是的内心，由， 由奔驰定理（已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知， , 即 则， 设，，， 则，，则. 故选：C 【变式演练】 1.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（       ） 【详解】：由题可知， 即， 在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得 即，整理得 易得面积 又的内切圆的半径为，利用等面积法可知， 所以 由已知，得，则，即 在中，利用正弦定理知 即，又，整理得 两边同除以，则，解得或（舍去） 故选：C. 2.椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【详解】：由题意，有，即，知 过左焦点的直线交于，两点，令， 有，，且由上知① 又∵有，且知： ∴由知：②，由①、②可知：， ∴结合几何图形知：，即得故选：C 3.已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（       ）． A． B． C． D． 【详解】：解：由题意可知，，则直线所在直线的方程为， 因为点在线段上，可设，其中． 设双曲线的焦距为，则，，， 从而，， 故． 因为，所以当时，取得最小值， 此时，． 当，即时，无最大值，所以不符合题意； 当，即时，在处取得最大值，此时，， 因为，所以，解得，符合题意． 综上，，，，故双曲线的离心率．故选:A. 【题型十四】 难点2：小题大做型 【典例分析】 已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（       ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【详解】： 不失一般性，设在轴上方，在轴下方， 设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 则，，，且. 又. 又直线的方程为， 由可得， 故，所以，故， 同理，故， 因为共线，故， 整理得到即， 若，， 因为，，故，所以， 故.故选：A. 【变式演练】 1.已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【详解】：由题意可知，又，故， 设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即 则反射后的切线方程为： 由得， 因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切， ， 化简得：，即，解得 2.双曲线上有两点、，为坐标原点，为双曲线焦点，满足，当、在双曲线上运动时，使得恒成立，则离心率取值范围是（       ） A． B． C． D． 【详解】：设，直线:因为，即 联立，整理得， 代入得 所以整理得 即由到直线:的距离所以距离为一个定值 又又 即所以 又所以又所以故选：A 3.已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则______. 故.因为,故为的中点. 设,因为,故,解得.不妨设在渐近线上,则,即.代入则,解得,即. 故直线的斜率,故的方程：. 联立双曲线方程：即.设,则. 再联立渐近线,即.故. 故答案为： 最新模考题提高训练 1．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期11月阶段性测试（期中）数学（理）试题 【详解】：试题分析：设，则，当且仅当时取等号，此时，选C. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 安徽省滁州市定远育才学校2021-2022学年高三上学期开学摸底考试理科数学试题 【详解】：由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图， 设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则，所以， 所以，所以， .又圆与圆的面积之比为4， 所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率.故选：B. 3.已知双曲线(，)的左､右焦点分别为，，若双曲线与曲线在第二象限的交点为，且，则双曲线的离心率为(       ) A． B．3 C． D． 云南省三校2022届高三高考备考实用性联考（三）数学（理）试题 【详解】：如图， 由题知：，，∵，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，故选：C． 4.已知双曲线：(，)的一条渐近线被圆截得的线段长不小于8，则双曲线的离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 青海省西宁市大通回族土族自治县2022届高三第一次模拟考试数学（理科）试题 【详解】：双曲线的一条渐近线方程设为， 由题得圆的圆心为，半径， 可得圆心到渐近线的距离为， 则由题意可知，解得： 所以双曲线的离心率，即 故选：D． 5.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 湖南省株洲市2022届高三上学期教学质量统一检测（一）数学试题 【详解】：解：过作于点，设， 因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，， 由双曲线的定义可得，所以， 同理可得，所以，即， 所以，因此， 在直角三角形中，， 所以，所以，则. 故选：A. 6.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 东北三省四市教研联合体2021届高考模拟试卷（二）理科数学 【详解】：若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为， ∴，设切线为，切线为， ∴，整理得，由知： ，整理得， 同理，，可得， ∴，即，故. 故选：B. 7.已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（       ） A． B． C．2 D． 福建省厦门集美中学2022届高三12月月考数学试题 【详解】：设，则①，②①②得      化简得，因为直线斜率为1，所以，设为中点， 则      ③，其中，，因为在圆上，则     ④ ③代入④可得，方程有解可得， 即，解得,即，所以，故选：B 8.已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期仿真模拟（三）文科数学试题 【详解】：解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为， 即，如下图所示:由点到直线距离公式可知：， 又，，，即，设，由双曲线对称性可知， 而，，由正切二倍角公式可知：， 即，化简可得：，， 由双曲线离心率公式可知：.故选：A. 9.过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率是（       ） A． B． C． D． 湖北省荆门市龙泉中学2020届高三下学期高考适应性考试（二）数学（理）试题 【详解】：解：由题意设点作双曲线的一条渐近线即的垂线， 则垂线的斜率为：，且过点， 所以垂线的方程为：，即：， 联立方程：，解得：，则， 设点，则，，且， 所以：，解得：，则点 因为点在双曲线上，所以，化简整理得：， 解得：或（舍去），所以：，故选：D. 10.已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 重庆市杨家坪中学2022届高三上学期12月月考数学试题 【详解】：设双曲线的右焦点为，连接,,,如图： 根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.设 因为，所以，又， 所以，,在和中， ，①，②由②化简可得，③ 把③代入①可得：，所以，故选：D 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为，等于展开式的常数项，则双曲线C的离心率为 A．3 B．3或 C． D．或 2020届福建省莆田市高三下学期第二次检测（二模）数学理试题 【详解】：由已知可得，展开式的常数项为， 设双曲线半焦距为c，. 设，得，. P到两条渐近线的距离分别为，， . ①.又②，由①②可得或， 或.故选：B 12.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为（       ） A． B． C． D． 【详解】：在等腰梯形中，过点D作AB的垂线，垂足于H 在中，由余弦定理可得： 设双曲线的实半轴为，椭圆的长半轴为 由双曲线的定义可知：，由椭圆的定义可知：， 所以所以所以 令，则令， 所以函数在区间上单调递减，即 所以，由恒成立，则.故选：B 13.是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 A． B． C．2 D． 【市级联考】山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测理科数学试题 【详解】：因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点 所以（-c，0），（c，0）因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）则 解得所以为（） 因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得 化简整理得 ，所以 14.点F是双曲线的左焦点，斜率为的直线l过点F且与双曲线C的右支交于点P，过切点P的切线与x轴交于点M.若，则双曲线C的离心率e的值为（       ） A． B． C． D． 江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题 【详解】： 如上图所示，过作轴，设，则，根据题意得：，所以，即，设点坐标为， 点处的切线方程为：，联立，令可得：，化简得点处的切线方程为，斜率，， 所以 ，由①②得：，，且，代入③化简得：，同除得：，所以或（舍）所以.故选：A