第6讲 导数求切线及公切线归类
目录
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HYPERLINK \l "_Toc12181" 【题型一】 求切线基础型:给切点求切线 PAGEREF _Toc12181 1
HYPERLINK \l "_Toc11593" 【题型二】 求切线基础型:有切线无切点求切点 PAGEREF _Toc11593 3
HYPERLINK \l "_Toc29458" 【题型三】 求切线基础:无切点求参 PAGEREF _Toc29458 5
HYPERLINK \l "_Toc3897" 【题型四】 无切点多参 PAGEREF _Toc3897 6
HYPERLINK \l "_Toc13231" 【题型五】 “过点”型切线 PAGEREF _Toc13231 7
HYPERLINK \l "_Toc22331" 【题型六】 判断切线条数 PAGEREF _Toc22331 9
HYPERLINK \l "_Toc1723" 【题型七】 多函数(多曲线)的公切线 PAGEREF _Toc1723 12
HYPERLINK \l "_Toc766" 【题型八】 切线的应用:距离最值 PAGEREF _Toc766 16
HYPERLINK \l "_Toc8798" 【题型九】 切线的应用:距离公式转化型 PAGEREF _Toc8798 18
HYPERLINK \l "_Toc10869" 【题型十】 切线的应用:恒成立求参等应用 PAGEREF _Toc10869 20
HYPERLINK \l "_Toc14207" 【题型十一】 切线的应用:零点等 PAGEREF _Toc14207 23
热点题型总结
【题型一】 求切线基础型:给切点求切线
【典例分析】
已知函数,则曲线在点处的切线的方程为__________.
【详解】因为,所以,
则所求切线的方程为.故答案为:.
【提分秘籍】
基本规律
以曲线上的点(x0,f(x0))(已知x0为具体值)为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f′(x);
②求切线的斜率f′(x0);
③写出切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化简.
【变式演练】
1.曲线在点处的切线方程为______.
解:由,得,
所以在点处的切线的斜率为,
所以所求的切线方程为,即,
故答案为:,
2.已知点在曲线上,则曲线在点处的切线方程为_________.
【详解】因为点在曲线上,,可得,所以,,
对函数求导得,
则曲线在点处的切线斜率为,
因此,曲线在点处的切线方程为,即.
故答案为:.
3.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为( )
A.1 B. C. D.
解:函数的导数,函数f(x)在x=1处的倾斜角为,
,,故选B.
【题型二】 求切线基础型:有切线无切点求切点
【典例分析】
曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )
A. B. C.和 D.和
【详解】令,解得,,故点的坐标为,故选C.
【提分秘籍】
基本规律
以曲线上的点(x0,f(x0))(x0为未知值,可以设出来)为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f′(x);
②求切线的斜率f′(x0);
③写出切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化简.
【变式演练】
1.已知函数为偶函数,若曲线的一条切线与直线垂直,则切点的横坐标为( )
A. B. C. D.
【详解】为偶函数,则,,设切点得横坐标为,则解得,(负值舍去)所以.故选:D
2.过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【详解】
解:∵,∴,
曲线在点处的切线斜率是,
∴过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为,
∴所求直线方程为,即.
故选:A.
3.曲线在点处的切线方程是,则切点的坐标是____________.
【详解】由函数,则,
设切点的坐标为,则斜率,
所以,解得,
当时,切点为,此时切线方程为;
当,切点为,不满足题意,
综上可得,切点为.故答案为:.
【题型三】 求切线基础:无切点求参
【典例分析】
已知曲线在点处的切线与直线垂直,则的取值是( )
A.-1 B. C.1 D.
【详解】,,直线,,
故,解得.故选:.
【提分秘籍】
基本规律
规律同上,注意待定系数法的应用
【变式演练】
1.若曲线的一条切线是直线,则实数b的值为___________
【详解】
设切点为,对函数求导,得到,
又曲线的一条切线是直线,
所以切线斜率为,∴,
因此,即切点为,代入切线,可得.
故答案为:.
2.已知曲线与直线相切,则实数a的值为__________.
解:设切点为,
由得,则由题意得,,解得,
故答案为:2
3.已知轴为曲线的切线,则的值为________.
【详解】由题意,设轴与曲线的切点为,则,解得.故答案为:.
【题型四】 无切点多参
【典例分析】
若直线是曲线的切线,且,则实数b的最小值是______.
【详解】
的导数为,由于直线是曲线的切线,设切点为,则,
∴,又,∴(),,
当时,,函数b递增,当时,,函数b递减,
∴为极小值点,也为最小值点,∴b的最小值为.
故答案为:.
【提分秘籍】
基本规律
思维同上,依旧是设切点,待定系数求解方程(组)
【变式演练】
1已知函数f(x)=axlnx﹣bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x﹣e,则a+b=_____.
【详解】∵在点处的切线方程为,,代入得①.
又②.
联立①②解得:..故答案为:0.
2.若曲线在处的切线方程为,则__________
解:将代入,得切点为,①,又,
,②.联立①②解得:,,故.故答案为:.
3.已知曲线在点处的切线方程为,则( )
A. B. C. D.
【详解】,将代入得,故选D.
【题型五】 “过点”型切线
【典例分析】
过原点作曲线的切线,则切点的坐标为___________,切线的斜率为__________.
解:设切点坐标为;;故由题意得,;解得,;故切点坐标为;切线的斜率为;
故切线方程为,整理得.故答案为:;.
【提分秘籍】
基本规律
以上是“在点”与“过点”的区别,授课时可参考下图
【变式演练】
1.过点与曲线相切的直线方程为______________.
【详解】设切点坐标为,由得,切线方程为,
切线过点,,即,,
即所求切线方程为.故答案为:.
2.过点作曲线()的切线,则切点坐标为________.
【详解】由(),则,化简得,
则,设切点为,显然不在曲线上,
则,得,则切点坐标为.
故答案为:.
3.已知直线是曲线的切线,则实数( )
A. B. C. D.
【详解】设切点为,∴切线方程是,
∴,故答案为:C
【题型六】 判断切线条数
【典例分析】
已知曲线,则过点可向引切线,其切线条数为( )
A. B. C. D.
【详解】
设在曲线上的切点为,,则,
所以,曲线在点处的切线方程为,
将点的坐标代入切线方程得,即,
解得,,.
因此,过点可向引切线,有三条.故选:C.
【提分秘籍】
基本规律
1.设点列方程过程同前(求切线过程)
2.切线条数判断,实质是切点横坐标为变量的函数(方程)零点个数判断
【变式演练】
1.已知过点A(a,0)作曲线C:y=x•ex的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣4)∪(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)
【详解】设切点为,,,则切线方程为:,切线过点代入得:
,即方程有两个解,则有或.故答案为:A.
2.已知函数存在单调递减区间,且的图象在处的切线l与曲线相切,符合情况的切线l( )
A.有3条 B.有2条 C.有1条 D.不存在
【解析】
试题分析:,依题意,在上有解.当时,在上无解,不符合题意;当时,符合题意,故.易知曲线在处的切线为.假设该直线与相切,设切点为,即有,消去化简得,分别画出的图像,观察可知它们交点横坐标,,这与矛盾,故不存在.
3.已知函数,当时,曲线在点与点处的切线总是平行时,则由点可作曲线的切线的条数为( )
A. B. C. D.无法确定
【解析】
分析:由曲线在点与点处的切线总是平行,可得导函数的对称轴,从而求出的值,设出切点坐标,可得关于切点横坐标的方程有三个解,从而可得结果.
详解:由,得,
曲线在点与点处的切线总是平行,
关于对称,
即,点,即为,
所以,,设切点为切线的方程为,
将点代入切线方程可得,化为,
设令得或,令得,
在上递增,在上递减,
在处有极大值,在处有极小值,且,
与有三个交点,方程有三个根,
即过的切线有条,故答案为.
【题型七】 多函数(多曲线)的公切线
【典例分析】
直线与曲线相切也与曲线相切,则称直线为曲线和曲线的公切线,已知函数,其中,若曲线和曲线的公切线有两条,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【详解】
设曲线的切点为:,,所以过该切点的切线斜率为,因此过该切点的切线方程为:;
设曲线的切点为:,,所以过该切点的切线斜率为,因此过该切点的切线方程为:,则两曲线的公切线应该满足:,
构造函数,
当时,单调递减,当时,单调递增,所以函数有最大值为:,当时,,当,,函数的图象大致如下图所示:
要想有若曲线和曲线的公切线有两条,则的取值范围为.
故选:C
【提分秘籍】
基本规律
1.两个曲线有公切线,且切点是同一点
2.两个曲线有公切线,但是切点不是同一点。
【变式演练】
1.函数与有公切线,则实数的值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
【详解】
设公切线与两个函数与图象的切点分别为A和B,由,,可得解得,所以有化简得,令,则恒成立,即得函数在定义域上为增函数,又因,则可解得方程,,则由解得.
故选:A.
2.曲线与曲线有( )条公切线.
A.1 B.2 C.3 D.4
【详解】设是曲线图像上任意一点,,所以,
所以过点的切线方程为,整理得①.
令,解得,则,所以曲线上过点的切线方程为:
,整理得②.由于切线①②重合,故,
即③.构造函数,则
,,故当时递减、当时递增,
注意到当时,且,
所以当时递减,当时,递增,
而,
根据零点存在性定理可知在区间各存在的一个零点,
也即有两个零点,也即方程③有两个根,也即曲线和曲线有两条公切线.故选:B
3.若函数与函数有公切线,则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
【详解】
解:,设公切线与曲线相切的切点为,则公共切线为,
即,其与相切,
联立消去得:,
则有解,
即有解,
令,,
则,令,得,
则在上单调递减,在上单调递增,
则,
则,所以实数的最小值为.
故选:A.
【题型八】 切线的应用:距离最值
【典例分析】
点在函数的图像上,若满足到直线的距离为1的点有且仅有1个,则( )
A. B. C. D.
【详解】
函数的导函数为,设直线与相切于点,
则,解得切点为,
由题可知到直线的距离为1,
所以,解得,结合图象可知,.
故选:B.
【提分秘籍】
基本规律
主要思维:利用平移直线,直到与该函数切线重合
【变式演练】
1.点A在直线y=x上,点B在曲线上,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
【详解】
设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线相切,
则两平行线间的距离即为的最小值.
设直线y=x+b与曲线的切点为,
则由切点还在直线y=x+b上可得,
由切线斜率等于切点的导数值可得,
联立解得m=1,b=-1,
由平行线间的距离公式可得的最小值为,
故选:A.
2.已知点M在函数图象上,点N在函数图象上,则的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.3
【详解】
因为函数与函数互为反函数,它们的图象关于直线对称,
所以的最小值为函数的图象上的点到直线的距离的2倍,即为函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍,
因为,所以函数的图象上与直线平行的切线的斜率,所以,所以切点为,它到直线的距离,
所以的最小值为.
故选:B.
3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是
A. B. C. D.
【详解】
试题分析:对y=x2求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切线方程,然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d.解:(法一)对y=x2求导可得y′=2x,令y′=2x=1可得x=∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切点(,),切线方程为y-=x-即x-y-=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=,故选A.
【题型九】 切线的应用:距离公式转化型
【典例分析】
若,则的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4
【详解】
由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方,
点A在函数上,点B在函数上,这两个函数关于对称,
所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方,
此时,∴斜率为1的切线方程为,它与的距离为.
故原式的最小值为2.故选:B.
【提分秘籍】
基本规律
1.距离公式形式:平方和
2.以此还可以类比斜率公式形式
【变式演练】
1.若,则的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4
【详解】
由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方,
点A在函数上,点B在函数上,这两个函数关于对称,
所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方,
此时,
∴斜率为1的切线方程为,它与的距离为.
故原式的最小值为2.
故选:B.
2.设,当取得最小值时,函数的最小值为___________.
【详解】
解:表示点与点距离的平方,
而点是直线上任一点,
点是反比例函数在第四象限上的点,
当是斜率为的直线与相切的切点时,
点到直线的距离即为的最小值,
由,
,
所以,
当且仅当取等号,
所以函数的最小值为10,
故答案为:10
3.已知,,则的最小值为______.
【详解】
可看成点到点的距离,
而点的轨迹是直线,点的轨迹是曲线,
则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值,而曲线在直线上方,
平移直线使其与曲线相切,则切点到直线距离即为所求,
设切点,,由得,切点为
则到直线距离.
故答案为:
【题型十】 切线的应用:恒成立求参等应用
【典例分析】
已知为实数,则“对任意的实数恒成立”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【详解】
设直线与曲线相切,且切点为,
则,解得,所以切点为,,
所以切线方程为.
数形结合可知,对任意的实数恒成立等价于.
而由不能得到,故充分性不成立;
反之,由可得到,故必要性成立.故选:B.
【提分秘籍】
基本规律
.利用切线作为“临界线”放缩。这类思维,有时也应用于大题的不等式证明,称之为“切线放缩”
【变式演练】
1.已知函数的图象在处的切线方程为,若恒成立,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【详解】
解:因为,所以,又函数的图象在处的切线方程为,
所以,解得,所以,因为恒成立,所以恒成立.
当时,成立.
当时,令,则.
当时,,
在和上单调递减.
当时,,单调递增,
当时,恒成立,所以;
当时,恒成立,
而,所以.
综上,,所以m的取值范围为.故选:A
2.若曲线在点处的切线与曲线相切于点,则__________.
【详解】
的导数为,可得曲线在点处的切线方程为,
的导数为,可得曲线在点处的切线的方程为,
由两条切线重合的条件,可得,且,
则,即有,可得,则.故答案为:
3.已知函数,,若存在使得,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【详解】
,所以,,即与在有交点,
分情况讨论:
①直线过点,即,得;②直线与相切,设切点为,得,切点为,故实数a的取值范围是故选:B
【题型十一】 切线的应用:零点等
【典例分析】
已知函数满足,当时,,若在区间内,函数与轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围是 .
【解析】试题分析:由题意知,
,
∵在区间内,函数与x轴有三个不同的交点,
∴函数与在区间内有三个不同的交点,
结合图象可知,当直线与相切时,,解得:;
此时;当直线过点时,;故.
【提分秘籍】
基本规律
对于函数与直线交点个数,可以借助于切线(临界线)来求解,但是一定要注意函数一般情况下,是比较简单的凸凹函数。如下图(示意图),可以讲清楚这里边的“非充要”性
【变式演练】
1.已知函数的图象与直线恰有四个公共点,,,,其中,则=______.
【答案】函数的图象如下图所示:直线过定点,
当时,,,由图象可知切点坐标为,
切线方程为:,又因为切线过点,则有
,即
2.关于的方程在内有且仅有个根,设最大的根是,则与的大小关系是
A. B. C. D.以上都不对
【详解】
由题意作出与在的图象,如图所示:
∵方程在内有且仅有5个根,最大的根是.
∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为,
,则,
斜率则
故选C.
3.已知函数满足,且时,,若时,方程有三个不同的根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【详解】
因为,所以函数的图像关于直线对称.
当时,,则当时,的图像如图所示,直线为过定点的一条直线.
当直线与当时的函数的图像相切时,直线与在的图像有两个公共点.
当时,函数,,
设切点为,切线的斜率,
则切线方程为,把点代入得,所以;
当直线过点时,,所以的取值范围为,故选:C.
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1.已知函数在处的切线方程为,则满足的的取值范围为_________.
【详解】,,,,是上的增函数,又,,,
.即故答案为:
2.已知函数,若曲线在处的切线与直线平行,则______.
【详解】因为函数,所以,
又因为曲线在处的切线与直线平行,
所以,解得,故答案为:
3.已知过点作曲线的切线有且仅有1条,则实数的取值是( )
A.0 B.4 C.0或-4 D.0或4
【详解】
设切点为,且函数的导数,
所以,则切线方程为,
切线过点,代入得,
所以,即方程有两个相等的解,
则有,解得或,
故选C.
4.已知直线是函数图像的一条切线,且关于的方程恰有一个实数解,则( )
A. B. C. D.
【解析】设切点坐标则切线方程为
又直线是函数图像的一条切线,切线过代入
解得,则切点坐标为代入解得
故,令,为的极大值
又恰有一个实数解,则故选
5..函数在点处的切线与函数的图象也相切,则满足条件的切点的个数有( )
A.个 B.个
C.个 D.个
【解析】
试题分析:设切点分别为或,因,故,由此可得,切线方程分别为和.由题设可得,即,也即,由题意这个方程解的个数就是点的个数.在平面直角坐标系中画出函数和函数的图象,结合图象可以看出两函数的图象有两个不同的正根,故切点的个数有两个,应选C.
6.已知过点作曲线:的切线有且仅有两条,则实数的取值范围是______.
解:由题可知,曲线:,定义域为,则,
设切点为,则切线斜率为:,切线方程为:,
将代入切线方程得:,
又因为,所以,整理得:,
由于过点作曲线:的切线有且仅有两条,即有两个解,
可设,则,令,即,解得:,
令,即,得:,所以时,单调递减,
令,即,得:,所以时,单调递增,
所以,
所以当时,有两个解,
即过点作曲线:的切线有且仅有两条,
则实数的取值范围是:.
故答案为:.
7..已知函数,则和的公切线的条数为
A.三条 B.二条 C.一条 D.0条
【详解】
设公切线与和分别相切于点,,解得,代入化简得,构造函数,原函数在,极大值
故函数和x轴有交3个点,方程有三解,故切线有3条.
故选A.
8.若两曲线与存在公切线,则正实数的取值范围是__________.
【解析】
设两个切点分别为,两个切线方程分别为,,化简得两条切线为同一条.可得, ,,令,,所以g(x)在递增,递减,.
所以,填.
9.已知函数,,若曲线与的公切线与曲线切于点,则___________.
【详解】
设公切线与曲线切于点,则曲线在点处的切线方程为,即,曲线在点处的切线方程为,
所以,所以.故答案为:2
10.已知,,求的最小值________.
【详解】
依题意得,,
则是曲线上的点,是直线上的点,
所以可看成曲线上的点到直线上的点的距离的平方.
直线的斜率为,
,令,
所以过曲线上一点的切线与直线平行,
点到直线的距离为,
因此的最小值为.
故答案为:
11.已知方程有且仅有两个不同的实数解,,则以下有关两根关系的结论正确的是
A. B. C. D.
【详解】
方程有且仅有两个不同的实数解,
等价于有且仅有两个不同的实数解,
即,有且仅有两个不同的交点(原点除外).
画图,的图象.
由图可知,与相切时符合题意,
设,
因为,所以为切点横坐标,且是直线与的交点横坐标,
因为切线过原点,所以切线斜率,
所以,故选A.
12.已知,则方程恰有2个不同的实根,实数取值范围__________________.
【详解】
作出函数的图象如图所示:先考虑直线与曲线相切时,的取值,设切点为,对函数求导得,
切线方程为,即,则有,解得,由图象可知,
当时,直线与函数在上的图象没有公共点,
在有一个公共点,不合乎题意;
当时,直线与函数在上的图象没有公共点,在有两个公共点,合乎题意;
当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,
在有两个公共点,不合乎题意;
当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点,在没有公共点,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是,故答案为:.
13.
14.已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)如果过点可作曲线的三条切线, 求实数的取值范围.
【解析】试题分析:(1)首先求出导函数,然后利用利用导数的几何意义求得切线的斜率,从而利用点斜式求得切线方程;(2)首先设出切点,然后将问题转化为方程有三个不同的实数解,由此转化为函数有三个不同的零点,从而利用导数函数的零点,进而求得的取值范围.
试题解析:
(1)
.
曲线在点处的切线方程为: .
(2) .
,
即.
由题意, 上述关于方程有三个不同的实数解.
记