2022-2023学年甘肃省天水市秦安一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年甘肃省天水市秦安一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共10页。试卷主要包含了 下列计算结果为21的是等内容，欢迎下载使用。

A. 527B. 2554C. 310D. 320
2. 如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是( )
A. 4B. 14C. 12D. 8
3. 抛物线y=2x2的准线方程为( )
A. y=−14B. y=−18C. x=12D. x=−18
4. 已知{an}是等比数列，a2=2，a5=14，则公比q=( )
A. −12B. −2C. 2D. 12
5. 下列计算结果为21的是( )
A. A42+C62B. C73C. A72D. C72
6. 直线3x−3y+6=0倾斜角大小为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
7. 椭圆x225+y216=1的短轴长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8. 直线l过抛物线y2=2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1+x2=3，则弦AB的长是( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
9. 已知等比数列{an}的公比q=2，a2+a4+a6=52，则a4+a6+a8=( )
A. 14B. 5C. 10D. 20
10. 双曲线x225−y223=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离为8，则点P到F2的距离为( )
A. 18B. 2或18C. 2或12D. 2
11. 现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为( )
A. 7B. 64C. 12D. 81
12. 与椭圆C：y216+x212=1共焦点且过点(1,3)的双曲线的标准方程为( )
A. x2−y23=1B. y2−2x2=1C. y22−x22=1D. y23−x2=1
13. 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球，其中恰有一个红球的取法有______种．
14. 长轴长为4且一个焦点为F(1,0)的椭圆的标准方程是______.
15. 已知方程x29−y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围是______.
16. 过点A(−2,4)，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为______.
17. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)离心率是23，长轴长是6.
(2)过点A(63,3)和B(223,1).
18. 已知双曲线x2n−y216=1的焦点在x轴上，焦距为10.
(1)求n的值；
(2)求双曲线的顶点坐标与渐近线方程．
19. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,−4)，
(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
(Ⅱ)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
20. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
21. 已知圆O：x2+y2=1，点A(0,2)，动点P与点A的距离等于过点P所作圆O切线的长的2倍．
(1)求点P的轨迹；
(2)过点Q(1,−1)的直线交点P的轨迹于B，C两点，且弦BC被Q点平分，求直线BC的方程．
22. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(0,2)，离心率e=63.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求S△AMB.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A85+A84A96−A95=8×7×6×5×4+8×7×6×59×8×7×6×5×4−9×8×7×6×5=527.
故选：A.
根据排列数公式代入计算即可．
本题考查了排列数公式的计算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由椭圆方程可知a=10，
根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=20，|PF1|=6，
∴|PF2|=14，
故选：B.
根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a，即可得出结论．
本题考查了椭圆的定义与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=12y，所以抛物线的准线方程为：y=−18.
故选：B.
化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵{an}是等比数列，a2=2，a5=14，
设出等比数列的公比是q，
∴a5=a2⋅q3，
∴q3=a5a2=142=18，
∴q=12，
故选：D.
根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．
本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．
5.【答案】D
【解析】解：对于A：A42+C62=4×3+6×52×1=12+15=27；
对于B：C73=7×6×53×2×1=35，
对于C：A72=7×6=42；
对于D：C72=7×62×1=21.
故选：D.
利用组合数公式与排列数公式直接计算即可．
本题考查组合数公式与排列数公式的计算，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由3x−3y+6=0可得y=3x+23，
设直线的倾斜角为θ，则tanθ=3，
∵θ∈[0,π),
∴θ=π3.
故选：B.
根据倾斜角与斜率的关系，可得答案．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：椭圆x225+y216=1，可知焦点在x轴上，b=4，所以椭圆x225+y216=1的短轴长为8.
故选：C.
利用椭圆的方程，直接求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
8.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y2=2x，∴p=1，
由抛物线的定义可知，|AB|=x1+x2+p=3+1=4，
故选：A.
由题意可知p=1，再结合抛物线的定义得，|AB|=x1+x2+p，代入数据即可得解．
本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：等比数列{an}的公比q=2，a2+a4+a6=52，
∴a4+a6+a8=(a2+a4+a6)q2=52×4=10.
故选：C.
利用等比数列通项公式直接求解．
本题考查等比数列通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】A
【解析】解：双曲线x225−y223=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离为8，
由双曲线定义可知||PF2|−8|=2a=10，解得|PF2|=18或|PF2|=−2(舍去)，所以点P到F2的距离为18.
故选：A.
利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
11.【答案】C
【解析】解：由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，
从中四件不同款式的上衣中，任选一件有C41=4种选法，从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有C31=3种选法，
根据分步计数原理，可得共有4×3=12种不同的选法．
故选：C.
分步求得选一件上衣和一件长裤的选法，结合分步计数原理，即可求解．
本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，根据题意得
a2+b2=16−12=4(3)2a2−12b2=1，解之得a2=b2=2
∴该双曲线的标准方程为y22−x22=1
故选：C.
设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1，根据双曲线基本量的关系结合题意建立关于a、b的方程组，解之得a2=b2=2，即得该双曲线的标准方程．
本题给出焦点在y轴的双曲线经过定点且与已知椭圆共焦点，求它的标准方程，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
13.【答案】35
【解析】解：从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成，
第一步，从7个白球中任取4个白球，有C74=35种取法，
第二步，把1个红球取出，有C11=1种取法，
故不同取法的种数是：C74C11=35，
故答案为：35.
从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，第二步，把1个红球取出，即可得到答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
14.【答案】x24+y23=1
【解析】解：∵椭圆的长轴长为4，
∴2a=4，即a=2，
∵焦点为F(1,0)，
∴c=1，且焦点在x轴上，
∴b2=a2−c2=3，
∴x24+y23=1.
故答案为：x24+y23=1.
根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】(−1,+∞)
【解析】解：因为方程x29−y2m+1=1表示双曲线，
所以m+1>0，即m>−1，
所以m的取值范围是(−1,+∞)，
故答案为：(−1,+∞).
根据双曲线方程的特征可得m+1>0，求解可得m的取值范围．
本题考查了双曲线的方程和性质，属于基础题．
16.【答案】y2=−8x，或x2=y
【解析】解：设抛物线方程为y2=mx，
代入点(−2,4)可得，16=−2m，
解得，m=−8，
则抛物线方程为y2=−8x，
设抛物线方程为x2=ny，
代入点(−2,4)可得，4=4n，
解得，n=1，
则抛物线方程为x2=y，
故抛物线方程为y2=−8x，或x2=y.
故答案为：y2=−8x，或x2=y.
设抛物线方程分别为y2=mx，或x2=ny，代入点(−2,4)，解方程，即可得到m，n.进而得到抛物线方程．
本题考查抛物线方程的求法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)离心率是23，长轴长是6.可得a=3，c=2，则b=5，
所以椭圆方程为：x29+y25=1或y29+x25=1.
(2)设椭圆方程为：mx2+ny2=1，因为椭圆过点A(63,3)和B(223,1).
可得69m+3n=189m+n=1，解得m=1，n=19，
所求椭圆方程为：y29+x2=1.
【解析】(1)利用已知条件求解a，b，得到椭圆的标准方程．
(2)设出椭圆方程，代入点的坐标，求解椭圆方程即可．
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，是基础题．
18.【答案】解：(1)双曲线x2n−y216=1的焦点在x轴上，焦距为10，
可得b=4，2c=10，即c=5，
a=c2−b2=3，
即n=9；
(2)双曲线x29−y216=1的顶点坐标为(±3,0)，
渐近线方程为y=±43x.
【解析】(1)求得b=4，c=5，可得a，n的值；
(2)由双曲线x29−y216=1，即可得到所求顶点和渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，考查顶点坐标和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(I)由题抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,−4)，16=4p，解得p=4，
抛物线C的方程为y2=8x，其准线l方程为x=−2； …(4分)
(Ⅱ)由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x=0；
②如果直线l的斜率为0，y=2符合题意；
③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y=kx+2，
由y=kx+2y2=8x得ky2−8y+16=0，
由Δ=64−64k=0得k=1，故直线l的方程为y=x+2，即x−y+2=0，
因此，直线l的方程为x=0或y=2或x−y+2=0.(用其他方法解答的请酌情给分)…(12分)
【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出p，即可求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
(Ⅱ)①当直线l的斜率不存在时，②如果直线l的斜率为0，分别判断是否满足题意，③直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+2，联立直线与抛物线方程，利用Δ=0求出k，即可得到直线方程．
本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，注意分类讨论思想的应用．
20.【答案】解：(1)根据题意分步完成任务：
第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有A51=5种不同排法，
第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有A53=60种不同排法，
所以组成不同的四位数有5×60=300种；
(2)根据题意分类完成任务：
第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有A53=60种不同排法，
第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有A21A41A42=96种不同排法；
所以组成不同的四位偶数有60+96=156种．
【解析】(1)第一步排千位数字有A51种不同排法，第二步排百位、十位、个位数字A53种不同排法，最后求组成组成不同的四位数的种数即可；(2)先求第一类个位数字为0有A53种不同排法，再求第二类个位数字为2或4，则0不能排在千位，有A21A41A42种不同排法，最后求组成不同的四位偶数的种数即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)设P(x,y)，A(0,2)，则|PA|2=x2+(y−2)2，
又过点P的直线与圆O相切，设切点为M，则|PO|2=|OM|2+|MP|2，即x2+y2=1+|MP|2，
∴切线长为|MP|2=x2+y2−1，
由题意得x2+(y−2)2=2(x2+y2−1)，即x2+(y+2)2=10，
故点P的轨迹为以(0,−2)为圆心，半径为10的圆，且方程为x2+(y+2)2=10；
(2)由(1)得点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=10，圆心(0,−2)，半径为10，
当直线BC的斜率不存在时，此时直线BC的方程为x=1，
当x=1时，y=1或−5，则B(1,1)，C(1,−5)，此时BC的中点坐标为(1,−2)，与Q(1,−1)矛盾，不符合题意；
则直线BC的斜率存在，此时圆心(0,−2)与点Q(1,−1)所在直线的斜率k=−2+10−1=1，
则直线BC的斜率为−1，
∴直线BC的方程为y+1=−(x−1)，即x+y=0.
【解析】(1)设P(x,y)，A(0,2)，过点P的直线与圆O相切，设切点为M，则|PA|2=x2+(y−2)2，切线长为|MP|2=x2+y2−1，由题意得x2+(y−2)2=2(x2+y2−1)，化简即可得出答案；
(2)由(1)得点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=10，圆心(0,−2)，半径为10，分类讨论直线BC的斜率不存在，直线BC的斜率存在，根据直线与圆的位置关系，即可得出答案．
本题考查轨迹方程和直线与圆的位置关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意得b=2,ca=63
结合a2=b2+c2，解得a2=12
所以，椭圆的方程为x212+y24=1.…(5分)
(Ⅱ)由x212+y24=1y=x+1得x2+3(x+1)2=12…(6分)
即4x2+6x−9=0，经验证Δ>0.
设A(x1,y1)，B(x2,y2).
所以x1+x2=−32,x1⋅x2=−94，…(8分)
|AB|=(x1−x2)2+(y1−y2)2=2(x1−x2)2=2[(x1+x2)2−4x1x2]=3102…(11分)
因为点M到直线AB的距离d=|0−2+1|2=22，…(13分)
所以S△AMB=12×|AB|×d=12×3102×22=354.…(14分)
【解析】(I)利用椭圆过点M(0,2)，离心率e=63，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
(Ⅱ)直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|AB|，计算M到直线AB的距离，即可求S△AMB.
本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，考查韦达定理的运用，属于中档题．