2022-2023学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）期末数学试卷

1.  已知直线经过点和点，则直线AB的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是(    )

A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 平行或线在面内

3.  疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为(    )

A. 6 B. 10 C. 12 D. 14

4.  双曲线C：的离心率为，则C的一条渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在各棱长均相等的直棱柱中，点M在上，且，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  圆截直线l：所得的弦长最短为(    )

A.  B. 1 C.  D.

7.  双曲线方程为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A和点B，以为直径的圆恰好经过A点，且，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  数列满足：，，记数列的前n项和为，若恒成立，则实数m的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知空间向量，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 在上的投影数量为

10.  已知圆上有且仅有三个点到直线l的距离为1，则直线l的方程可以是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是(    )

A. 三棱锥的体积为1
B. 平面EFG
C. 平面EFG
D. 平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
 

12.  “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则(    )

A.
B.
C.
D. 共有72项

13.  若直线：与：平行，则k的值为______.

14.  经过原点的平面的一个法向量为，点A坐标为，则点A到平面的距离为______.

15.  已知直线l：，若P是抛物线上的动点，则点P到直线l和它到y轴的距离之和的最小值为______

16.  我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，则数列的第10项是数列的第______项．

17.  在等差数列中，，
求等差数列的通项公式；
设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和

18.  已知点，圆C：
判断点P与圆C的位置关系，并说明理由；
当时，经过点P的直线n与圆C相切，求直线n的方程．

19.  如图，在四棱锥中，平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，，设E为侧棱PC的中点．
求正四棱锥的体积V；
求直线BE与平面PCD所成角的大小．

20.  已知数列的前n项和为，，且
求的通项公式；
设，求数列的前n项和

21.  如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面ABCD，，，且，，AD，AB的中点分别是O，请用空间向量知识解答下列问题：
求证：平面POC；
求二面角的余弦值．

22.  已知双曲线：的焦距为4，且过点
求双曲线的方程；
过双曲线的左焦点F分别作斜率为，的两直线与，直线交双曲线于A，B两点，直线交双曲线于C，D两点，设M，N分别为AB与CD的中点，若，试求与的面积之比．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：设直线的倾斜角为，
直线经过点和点，
则直线AB的斜率，
因为，
所以
故选：
设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：因为，
所以与共线，直线l与平面垂直．
故选：
根据得到与共线，即可得到直线l与平面垂直．
本题主要考查了向量在直线与平面位置关系判断中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，
由条件可知，，，
即，即，解得，，
所以最小一份的口罩个数为12个．
故选：
利用等差数列前n项和公式以及等差数列通项公式联立方程组解出即可．
本题主要考查等差数列前n项和公式以及等差数列通项公式，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：因为双曲线的离心率，可得，即，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故选：
由双曲线的离心率，可得a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．
本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：已知直棱柱各棱长均相等，
不妨设，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由，点N在AC上且，
则，，，，，，，
则，，
则，，，
设与的夹角为，
则，
则，
即，
即异面直线与NB所成角的正切值为，
故选：
先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的应用求解即可．
本题考查了空间向量的应用，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由圆，圆心C坐标为，半径为2，
直线l：过定点，
当圆截直线l：所得的弦长最短时，直线，
又，
最短弦长为
故选：
由圆的方程求得圆心C的坐标与半径，由直线方程可得直线经过定点，求出圆心C与定点P的距离，可求弦长的最小值．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查弦长的最小值的求法，属基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：以为直径的圆恰好经过A点，
，又，
设，则，，
又，，
，
，，
，，
又，且，
，
，
，
，

故选：
根据圆的性质，双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，即可求解．
本题考查圆的性质，双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：由，，
可得，
则，
所以
若恒成立，则，即m的取值范围是
故选：
由等差数列的通项公式可得，推得，由数列的裂项相消求和可得，再由不等式的性质和不等式恒成立思想可得所求取值范围．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和、不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：由已知得：，因为，故A不正确；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错；
因为在上的投影向量为：，故D正确；
故选：
根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解决．
本题考查坐标条件下空间向量的平行、垂直关系的应用以及投影向量的计算，属于中档题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：由圆的方程，可得圆心坐标为，圆半径，
圆上有且仅有三个点到直线l的距离为1，
圆心到直线l的距离，
对于A，到直线的距离，不合题意；
对于B，到直线的距离，符合题意；
对于C，到直线的距离，符合题意；
对于D，到直线的距离，符合题意．
故选：
由圆的方程求出圆心坐标和圆的半径r，问题转化为圆心到直线的距离等于1求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，是基础题．
 

11.【答案】AB 

【解析】解：A选项，，
所以，A选项正确；
建立如图所示空间直角坐标系，


，，，，，，
，，
，所以，，
由于，EG，平面FEG，所以平面EFG，B选项正确；
平面EFG的一个法向量为，
，所以与平面EFG不平行，C选项错误．
平面ABCD的法向量为，
设平面EFG于平面ABCD的夹角为，
则，D选项错误．
故选：
对于A：根据锥体体积公式求得三棱锥的体积；
对于BCD：建立空间直角坐标系，利用向量法判断BCD选项的正确性．
本题主要考查几何体的体积，线面平行和垂直的判定以及二面角的平面角的余弦值，属于中档题．
 

12.【答案】BCD 

【解析】解：能被2除余1且被7除余1的数为能被14除余1的数，
按从小到大的顺序排成以1为首项，公差为14的等差数列，
则，
令，即，可得，
则共有72项，故D正确；
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确．
故选：
由题意可得数列是首项为1，公差为14的等差数列，由等差数列的通项公式和求和公式，计算可得结论．
本题考查数列的应用，以及等差数列的通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】1 

【解析】解：直线：与：平行，
，解得或，
当时，直线 与直线 重合，故舍去，
故k的值为
故答案为：
根据已知条件，结合两直线平行的条件，即可求解．
本题主要考查两直线平行的条件，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设坐标原点为O，则，又A为，
，又平面的法向量，
点A到平面的距离
故答案为：
利用向量法即可求解．
本题考查向量法求解点面距问题，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点，准线方程为，
如图设，P到y轴的距离为P到准线的距离减1，即，
由抛物线的定义可得，
可得点P到直线l和它到y轴的距离之和的最小值即为
的最小值，
由F，P，H三点共线，即，为F到准线的距离，
可得，
则所求最小值为
故答案为：
求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值．
本题考查抛物线的定义和方程，考查三点共线的性质，以及转化思想和运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】28 

【解析】解：根据题意，数列是首项为2，公差为3的等差数列，
所以；
数列是首项为2，公差为5的等差数列，
所以；
把数列与的公共项从小到大得到数列，
所以数列是首项为2，公差为15的等差数列，
 所以；
所以数列的第10项是，
令，解得，
所以数列的第10项是数列的第28项．
故答案为：
由题意知数列、是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，，得出数列是首项为2，公差为15的等差数列，求出，即可求出结果．
本题考查了等差数列的理解和应用问题，也考查了等差数列通项公式的运用问题，解题的关键是由数列、求出数列的通项公式，是中档题．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为d，
由，，可得，，
解得，，
则；
由数列是首项为1，公比为2的等比数列，
可得，又，则，
则

 

【解析】由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
由等比数列的通项公式可得，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
所以点P在圆外．
当时，点P的坐标为，
由圆C：知圆心C为，半径，
①当直线n的斜率不存在，方程为，圆以到直线的距离为2，
所以是圆的切线，
②当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为，即，
由题意有，解得，
所以直线n的方程为，即，
综上所述，过点P与圆相切的直线方程为或 

【解析】把点P的坐标代入圆的方程的左边计算结果大于4知点P在圆外；
分类讨论斜率是否存在时，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程．
本题考圆与直线的位置关系中的相切问题，以及判断点与圆的位置关系，属中档题．
 

19.【答案】解：在四棱锥中，平面ABCD，
正方形ABCD的边长为2，，设E为侧棱PC的中点．
点E到平面ABCD的距离，
，
正四棱锥的体积：

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面PCD的法向量，
则，取，得，
直线BE与平面PCD所成角，
，

直线BE与平面PCD所成角为 

【解析】求出点E到平面ABCD的距离，，由此能求出正四棱锥的体积．
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面PCD所成角．
本题考查正四棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
 

20.【答案】解：因为①，
所以②，
②-①得即，
所以，
又当时，，又，所以，所以，
所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
由可得，
所以，
则，
两式相减得，，
所以， 

【解析】根据作差可得，再求出，即可得到，从而得到是以1为首项，2为公比的等比数列，即可得到其通项公式；
由可得，利用错位相减法求和即可．
本题考查了等比数列的通项公式和错位相减求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：连接OB，如图所示：
，，，
四边形BCDO为正方形，即，
，O是AD的中点，
，则，
又平面平面ABCD，平面平面，且平面PAD，
平面ABCD，
平面ABCD，
，
则建立以O为原点，以OB、OD、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示：
，，则，，，，，
，，，
，，
，，
又，平面POC，平面POC，
平面POC；
由得，，
又，平面POG，平面POG，
平面POG，
则平面POG的一个法向量为，
设平面PDG的一个法向量为，，，
，取，则，，
平面PDG的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图形得为锐角，
，
故二面角的余弦值为， 

【解析】由题意可得，，，则建立以O为原点，以OB、OD、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可证明结论；
由得平面POG，利用向量法，即可得出答案．
本题考查空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意得，得，所以，
因为点在双曲线上，所以，解得，，
所以双曲线方程为，
，设直线的方程为，，，
由，得，
则，所以，
所以AB的中点，
因为，所以用代换，得，
当，即时，直线MN的方程为，过点，
当时，，直线MN的方程为，
令，得，所以直线MN也过定点，
所以 

【解析】根据题意可得，即，将P点代入双曲线方程，即可求得a和b的值，求得双曲线方程；
设直线的方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得M点坐标，根据，求得N点坐标，求得MN的方程，令，可得，因此可得直线MN恒过定点，因此可得
本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理和中点坐标公式的应用，直线恒过定点问题，考查转化思想，计算能力，属于难题．