高考数学三轮冲刺压轴小题02 辨析函数与方程的根的情况 (2份打包，解析版+原卷版)

辨析函数与方程的根的情况

一、方法综述

确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．

(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．

二、解题策略

类型一  求方程解的个数

例1．已知函数函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，．则函数在区间上零点的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，故，

同理可得当时，，此时，

故在无零点，

同理在也无零点.

 因为，故将上的图象向右平移个单位后，图象伸长为原来的两倍，在平面直角坐标系，、在上的图象如图所示：

因为，

故、在上的图象共有5个不同交点，

下证：当，有且只有一个零点.

此时，而，

故在上为减函数，

故当，有，当且仅当时等号成立.

故、在上的图象共有6个不同交点，

即在有6个不同的零点，

故选：A.

【名师点睛】函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现。

【举一反三】

【2020南昌一模】定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】解：定义在R的奇函数满足：，

且，又时，，即，

，函数在时是增函数，

又，是偶函数；

时，是减函数，结合函数的定义域为R，且，

可得函数与的大致图象如图所示，

由图象知，函数的零点的个数为3个．

热点题型二  已知方程的根求参数的值或取值范围

例2．【2020烟台一模】已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数有6个零点，等价于函数与有6个交点，

当时，，

当时，，，

当时，递增，当时，递减，

的极大值为：，作出函数的图象如下图，

与的图象有6个交点，须，表示为区间形式即.故选C.

【举一反三】【2020海口一模】已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】有三个零点，有一个零点，故

，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数

，绘制这两个函数的图像，如图可知

因而介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。

三、强化训练

1．【2020三明联考】设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为（ ）

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】C

【解析】时，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．因此共有3个零点．选C．

2．若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【来源】河北省石家庄市2021届高三下学期质检一数学试题

【答案】A

【解析】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，

研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，

关于原点对称的解析式为，

考查的图像和的交点，

可得，，令

，

所以，，为减函数，

，，为增函数，，

其图象为，

故若要有两解，只要即可，

故选：A

3．已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作函数的大致图象如下，结合图象易知，使得，，，

故，

令，则，令，则，当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴，

故选：D.

4．已知函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

当时，，则为增函数，

当时，，则为减函数，

所以的极大值为，

设，则关于x的方程可化为，

设关于t的方程有两个实数根，

则关于x的方程恰好有4个不相等的实根等价为：

函数的图象与的交点个数为4，

函数的图象与的图象如下所示：

所以关于t的方程有两个实数根，

设，

则有，解得.

故选：C

5．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【来源】江西省八所重点中学2021届高三4月联考数学（文）试题

【答案】B

【解析】由题意，得，

设，求导

令，解得

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

故当时，函数取得极大值，且

又时，；当时，，故；

作出函数大致图像，如图所示：

又，

因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，

由图可知：，即

故选：B.

6．已知，设函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【来源】天津市和平区2021届高三下学期一模数学试题

【答案】D

【解析】因为关于的方程恰有两个互异的实数解，

故有两个不同的实数根且无实根

或、各有一个实数根

或无实根且有两个实数根.

若有两个不同的实数根，

则有两个不同的实数根，

因为为增函数，

故有两个不同的实数根不成立.

若、各有一个实数根，

先考虑有一个实数根即

有一个实数根，

因为为增函数，故，

故.

再考虑有一个实数根即有一个实数根.

令，

因为，故有一个实数根.

故时，、各有一个实数根.

若有两个不同的实数根且无实根，

因为无实根，则由前述讨论可得，

因为有两个不同的实数根，

故 ，解得，

综上，，

故选：D.

7．已知.是函数()在上的两个零点，则.满足（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由题意可知，，故，即，

设，，则，，∴，由得，

∴，令()，

则恒成立，

故在上单调递减，故，

故，即，∴，∴，

∴，

故选：B.

8．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由函数是定义域为的偶函数，故图像关于y轴对称，作出图像如图，

令，则原方程可化为，

根据图像可知，当时，方程没有实数根；

当时，方程有3个不同的实数根；

当时，方程有6个实数根；

当时，方程有4个实数根；

当时，方程有2个实数根；

原方程恰好有个不同的实数根，只需有两个不等的实数根､，

由韦达定理得，，解得，，于是，

故选：D.

9．已知函数的图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，关于的方程在上有两个不同实根，则实数的取值范围是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】∵的最大值为，最小值为，

其图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，

∴，解得，∴，∴

∴，当时，方程有两个不同实根，

∴，∴，故选B.

10．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）

【答案】B

【解析】

作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为，

故选B．

11．已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【来源】河南省金太阳2021届高三下学期3月联考（I卷）理数试题

【答案】D

【解析】

如图，因为的两根为，所以，，，从而．

令，，则，．

因为，所以，，，

所以在上恒成立，从而在上单调递增．

又，，所以，

即的取值范围是．

故选：D

12．已知，，，若函数有且只有两个零点，则实数k的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以，

因为，所以，所以，

所以，

令，则.

令，得，令，得或，

所以在上单调递增，在，上单调递减，

所以的极大值为，极小值为.

因为函数有且只有两个零点，所以方程有且只有两个实数根，即方程和共有两个实数根.又，

所以或或，

解得或.

故选：A.

13．已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，，，，

因为函数的图象关于对称，所以，

，即，且，

显然，不等式变形为，

，

，

所以，

由勾形函数性质知在时是增函数，所以，

令，则，，，

当时，，单调递减，所以，所以，即的最小值是．

故选：A．

14．已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【来源】云南省昆明市2021届高三上学期”三诊一模“摸底诊断测试数学（理）试题

【答案】A

【解析】由题意知：有四个不同的零点，

∴，则有四个不同的解，

当时，，其零点情况如下：

1）当或时，有；

2）当或时，或；

当时，，则有如下情况：

1）当时，即单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；

2）当时，在上，单调递增，在上，单调递减，而有，有，所以只需，得时，必有两个零点.

∴综上，有时，在、上各有两个零点，即共有四个不同的零点.

故选：A.

15．已知函数（为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【来源】天津市部分区2020-2021学年高三上学期期末数学试题

【答案】D

【解析】令，由，可得，

函数的定义域为，.

当时，，由可得，由可得.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

；

当时，，此时函数单调递增，且，

作出函数的图象如下图所示：

由于关于的方程恰有四个不同的实数根，

则关于的二次方程恰有两个不同的实根、，

且直线与函数的图象有三个交点，直线与函数的图象有且只有一个交点，所以，，，

设，由二次函数的零点分布可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

16．已知函数，如果关于的方程()有四个不等的实数根，则的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三1月线上学习阶段性考试数学（文）试题

【答案】A

【解析】构造新的函数，的定义域为，，

令得，当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

∴在处取得极小值也是最小值，又，，

当时，当时恒成立，则做的图像如图，

又，则当时，的图像为的图像向上翻折所得到，

则的图像如图，

令，则原方程化为，设

由图象知当时与有个交点，

当或时与有个交点，

∴又当时，

∴有四个不等的实数根等价于：

有两个不相等实数根､，且､，

则，解得.

故选：A.