高考数学三轮冲刺压轴小题11 数列与函数、不等式相结合问题 (2份打包，解析版+原卷版)

数列与函数、不等式相结合问题

一．方法综述

      数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一  数列与不等式

1.1 数列与基本不等式

【例1】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．

已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（    ）

A．9 B．12 C．16 D．18

【举一反三】

1.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为      

2．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为         

1.2 数列中的恒成立问题

【例2】已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前n项和为，若对任意的正整数n均成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1.已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

2.设等差数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n都成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

1.3 数列中的最值问题

【例3】）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（    ）

A．1009 B．1010 C．2019 D．2020

【举一反三】

1．数列满足,且．记数列的前n项和为,则当取最大值时n为（    ）

A．11 B．12 C．11或13 D．12或13

2.已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（   ）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

类型二  数列与函数的综合问题

【例4】已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（    ）

A．18 B．9 C．27 D．81

1.已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列满足＝f(0)，且f()＝()，则的值为(     )

A．2209 B．3029 C．4033 D．2249

2．已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为

A． B． C． D．

类型三   数列与其他知识综合问题

【例5】已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则            

【举一反三】

1．已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下九个方程（）中，无实数解的方程最多有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2.将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（   ）

A.    B. 不存在，使得

C. 对，且，都有    D. 以上说法都不对

三．强化训练

1．数列是公差不为0的等差数列，且，设（），则数列的最大项为（    ）

A． B． C． D．不确定

2.已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（   ）

A． B． C．49 D．

3．已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（   ）

A． B． C． D．

4.在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（   ）

A．10 B．11 C．12 D．13

5.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

6.已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足．若，为函数的导函数，则(   )

A． B． C． D．

7．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列满足：，．则下列说法正确的是（  ）

A． B．

C． D．

9．已知在点处的切线方程为， ，的前项和为，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知数列满足，，且，记为数列的前项和，数列是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式成立的最小整数n为（ ）

A．7 B．6 C．5 D．4

11.将正整数12分解成两个正整数的乘积有， ， 三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为__________．

12.已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．

13.已知数列中， ，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为______.

14.已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得  恒成立的实数t的取值范围为 ___________．[来源:学#科#网]

15．数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．

16．对于三次函数，定义：设是的导数，若方程有实数解，则称为函数的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则______；______.

17．定义函数如下：对于实数，如果存在整数，使得，则，已知等比数列的首项，且，则公比的取值范围是_______.

18．设，圆（）与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为，若数列满足：，，要使数列成等比数列，则常数________.