高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展导学案及答案

第三章　指数运算与指数函数

§1　指数幂的拓展

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　指数幂的拓展

1．正分数指数幂与负分数指数幂

(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得________，则称b为a的________，记作________，这就是正分数指数幂．

(2)意义：

2.无理数指数幂

无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的正实数．a－α＝________.

答案：

1．(1)bn＝am　次幂　b＝a　(2)　　0

2.

【主题2】　实数指数幂

实数指数幂的性质：

(1)给定一个正数a，对任意实数α，指数幂aα都________0；

(2)0的任意正实数指数幂都________0；

(3)0的________和任意________指数幂都没有意义．

答案：

(1)大于　(2)等于　(3)零指数幂　负实数

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)当n∈N＋时，()n都有意义．(　　)

(2)＝4－π.(　　)

(3)0的任何指数幂都等于0.(　　)

答案：

(1)　解析：当n是偶数时没有意义．

(2)√　解析：4>π，所以化简正确．

(3)　解析：0的零指数幂没有意义．

2．下列各式正确的是(　　)

A．＝－3    B．＝a

C．()3＝－2    D．＝2

答案：C　

解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A，B，D错误．

3．b4＝3(b>0)，则b等于(　　)

A．34        B．3

C．43        D．35

答案：B　

解析：b4＝3(b>0)，所以b＝＝3.

4．把q(q>0)写成根式的形式为(　　)

A．    B．

C．    D．

答案：D　

解析：q＝＝.

5．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y为(　　)

A．    B．

C．    D．

答案：D　

解析：由x＝1＋2b，得2b＝x－1，所以y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.

课堂篇·重难要点突破

研习　根式与分数指数幂的互化

[典例]　求下列各式的值：

(1) －0－＋2；

(2)(a>0)；

(3) ；

(4)＋.

解：(1)原式＝－1－＋

＝－1－＋＝.

(4)原式＝a－b＋|a－2b|＝

＝

(1)分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．

(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．

(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错．

[练习]化简下列各式：

(1)；

(2).

解：(1)原式＝＝.

(2)原式＝＝|5a－7b|.

课后篇·演练提升方案

1．在－1,2，,2－1中，最大的数是(　　)

A．－1 

B．2

C． 

D．2－1

答案：C 　

解析：－1＝－2,2＝，＝2－1×(－)＝，2－1＝，∴最大的数为.故选C．

2．下列各式运算错误的是(　　)

A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8

B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3

C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6

D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18

答案：C

3.＋＝________.

答案：2　

解析：原式＝＋＝(－)＋(＋)＝2.

4．根据已知条件求值．

(1)已知x＝，y＝，求－；

(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．

解：(1)－＝－＝.

将x＝，y＝代入上式，得

原式＝＝＝－24＝－8.

(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴

∵a>b>0，∴>.

2＝＝＝＝，

∴＝＝.

[误区警示]　根式化简时忽视符号致误

 [典例]　化简·＝(　　)

A．－　 B．

C．(a－1)4    D．

[解析]　要使原式有意义，则a－1>0①.

·

＝|1－a|·(a－1)

＝(a－1)·(a－1)

＝(a－1)＝.

[答案]　B

[错因分析]　本题易忽略了偶次方根中被开方数必须是正数，即漏掉①而导致错误．

[防范措施]　(1)注意隐含条件的挖掘

要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．如本例中是四次方根，则必须(a－1)3 >0，即a－1>0.

(2)准确应用公式和性质

对于公式和性质要记住且要记准．如本例根式与分数指数幂的互化公式以及分数指数幂的运算性质．