数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性导学案

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　函数的奇偶性奇、偶函数的定义

设函数f(x)的定义域是A，x∈A．

答案：

－f(x)　原点　y轴　f(x)　奇偶性

【主题2】　幂函数

一般地，形如________(α为常数)的函数，即________是自变量、________是常数的函数称为幂函数．

答案：

y＝xα　底数　指数

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)函数y＝x2，x∈(－1,1]是偶函数．(　　)

(2)函数y＝2x3，y＝x2＋1和y＝(x＋1)3都是幂函数．(　　)

(3)幂函数y＝xα的定义域为R.(　　)

答案：

(1)　解析：定义域不对称．

(2)　解析：不符合幂函数的定义特征．

(3)　解析：幂函数的定义域是使得幂函数有意义的x的集合．若α＝－1，则x≠0.

2．函数f(x)＝，x∈(0,1)是(　　)

A．奇函数        B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．既是奇数又是偶函数

答案：C　

解析：f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．

3．幂函数y＝x的定义域是(　　)

A．R        B．[0，＋∞)

C．(0，＋∞)    D．以上皆错

答案：B　

解析：因为y＝x，所以y＝x＝的定义域为[0，＋∞)．

4．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.

答案：0　

解析：由奇函数的定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.

5．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．

答案：－1或4　

解析：由幂函数定义可知a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.

第1课时　函数的奇偶性

课堂篇·重难要点突破

研习1 　奇偶性的判定

[典例1]　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝(x－1)；

(2)f(x)＝.

[审题路线图]奇偶性的判定⇒先求定义域⇒再验证f(－x)与f(x)的关系．

解：(1)先确定函数的定义域．

由≥0，得－1≤x<1，其定义域不关于原点对称，

∴f(x)＝(x－1)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，

∵f(x)＝＝，

∴f(－x)＝＝＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数．

判断函数奇偶性的两种常用方法

(1)定义法

①确定函数的定义域．

②看定义域是否关于原点对称．

(i)不对称，则函数为非奇非偶函数；

(ii)对称

(2)图象法

画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性．

[练习1]判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x＋；

(2)f(x)＝x2＋；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝·.

解：(1)定义域为A＝{x|x∈R，且x≠0}．

因此x∈A时，－x∈A．

又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(2)定义域为A＝{x|x∈R，且x≠0}．

因此x∈A时，－x∈A．

又f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)．

∴函数f(x)＝x2＋为偶函数．

(3)函数的定义域为A＝{x|x>0}，关于原点不对称，

∴函数f(x)＝为非奇非偶函数．

(4)由得x2＝1，∴x＝±1.

∴函数的定义域为{－1,1}，

于是f(x)＝0，x∈{－1,1}．

满足f(－x)＝f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)＝0.

∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．

研习2  利用奇偶性求函数解析式

[典例2]　设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋x＋1，求函数的解析式．

解：当x<0时，－x>0，

∴f(－x)＝－2x2－x＋1.

又f(x)为R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－2x2－x＋1.

∴f(x)＝2x2＋x－1.

又f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.

∴f(x)＝

利用奇偶性求解析式的步骤

(1)取x在所求区间上，则－x在已知对称区间上；

(2)写出f(－x)的解析式；

(3)根据函数的奇偶性，实现f(－x)与f(x)的转化；

(4)写出f(x)在所求区间上的解析式．

[练习2]已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求当x<0时，f(x)的解析式．

解：当x<0时，则－x>0，

满足表达式f(x)＝x|x－2|，

∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.

又f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－x|x＋2|，∴f(x)＝x|x＋2|.

故当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝x|x＋2|.

研习3  抽象函数的奇偶性

[典例3]　函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．

证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，

∴f(0)＝0.

又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，

得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)，

即0＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

证明函数的奇偶性，即证明f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立．这需要对给定函数方程中的x，y赋值，使其变成含f(x)，f(－x)的式子，然后判定．

[练习3]设函数f(x)定义在(－1,1)上．证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．

证明：由于对任意的x∈(－1，1)，也必有－x∈(－1,1)．

可见，f(－x)的定义域也是(－1,1)．

若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)．

则F(x)与G(x)的定义域也是(－1,1)，显然是关于原点对称的区间．

而且F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]

＝f(x)＋f(－x)＝F(x)，

G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)

＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)．

所以F(x)为偶函数，而G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．

研习3 　利用奇偶性求参数的值

[典例4]　设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且有f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．

[审题路线图](1)奇偶性的应用⇒奇偶函数的性质．

(2)奇偶性的应用⇒考虑图象单调性．

解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

∵2a2＋a＋1＝22＋>0，

2a2－2a＋3＝22＋>0，

且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，

∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，

即3a－2>0，解之得a>.

即a的取值范围是.

利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略

(1)定义域含参：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数．

(2)解析式含参：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解．

(3)对于抽象不等式，一定要充分利用奇偶性与单调性的联系，脱掉符号“f”，从而求解．特别应注意自变量取值范围的讨论．

[练习4](1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数且f(1－a)＋f(1－2a)<0，求实数a的取值范围．

(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围．

解：(1)∵f(1－a)＋f(1－2a)<0，

∴f(1－a)<－f(1－2a)，

∵f(x)为奇函数，∴f(1－a)<f(2a－1)，

又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，

∴解得0<a<.

即a的取值范围是.

(2)∵函数g(x)在[－2,2]上是偶函数，

由g(1－m)<g(m)，可得g(|1－m|)<g(|m|)，

又当x≥0时，g(x)为减函数，得到

解得－1≤m<.

即m的取值范围是.

课后篇·演练提升方案

1．下列函数为偶函数的是(　　)

A．f(x)＝|x|＋x　　　 B．f(x)＝x2＋

C．f(x)＝x2＋x        D．f(x)＝

答案：D　

解析：f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)．故选D．

2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是(　　)

A．1        B．2

C．3        D．4

答案：A　

解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②错误；若y＝f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域．故选A．

3．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.

答案：8　

解析：∵具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，

∴3－a＋5＝0.即a＝8.

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，x>0时f(x)＝x2＋x＋1，求函数f(x)的解析式．

解：当x<0时，－x>0，由已知得f(－x)＝x2－x＋1，

又f(x)为R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝x2－x＋1，

∴f(x)＝－x2＋x－1.

又f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.

∴f(x)＝

[误区警示]　函数奇偶性判断的误区与防范措施

[典例]　以下说法中：

①函数f(x)＝x3＋是奇函数；

②函数f(x)＝3x2，x∈(－2,2]是偶函数；

③函数f(x)＝|x－5|是偶函数；

④函数f(x)＝0，x∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．

正确的序号是________．

[解析]　对于①，函数f(x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数，故①正确．

对于②，函数f(x)＝3x2，x∈(－2,2]的定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故②错误．

对于③，函数f(x)＝|x－5|是由f(x)＝|x|的图象向右平移了5个单位长度得到的，图象不关于y轴对称，所以③错误．

对于④，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]的图象既关于原点对称又关于y轴对称，所以④正确．

[答案]　①④

[错因分析]　(1)此题易填错解为：①②④.

(2)对于②中的函数，易忽略其定义域x∈(－2,2]不关于原点对称，就会出现根据f(－x)＝3(－x)2＝3x2＝f(x)，从而判定为偶函数的错误．

[防范措施]　(1)定义域优先的原则

由奇偶函数的定义知，对于函数定义域内任意一个x，都有“f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”，不难得到，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．因此，判断函数的奇偶性，必先判断函数的定义域是否关于原点对称．

(2)注意图象的变换

一些常用的图象平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－5|的奇偶性，就是要根据y＝|x|的图象特征平移得到的，因为函数y＝|x|的图象关于y轴对称，而向右平移5个单位长度后图象就不再关于y轴对称，故可得结论．