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北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性一等奖ppt课件
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性一等奖ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，探究一，探究二，探究三，素养形成，当堂检测，2图象法，答案D等内容，欢迎下载使用。
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些对称方式?
一、奇、偶函数的定义
注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
名师点析1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.( )(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.( )(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.( )(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).( )(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.( )(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).( )
答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
解析:只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,故(1)错误;f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确;对任意x∈R,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确;为了说明f(x)不是偶函数,举一个反例即可,故(5)正确;f(x)=0,定义域为[-1,1],该函数既是奇函数又是偶函数,故(6)错误.
微思考已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值?
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
名师点析1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
微练习若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1
答案:C 解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:
分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数的定义域关于原点对称.(方法一)当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.2.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:
变式训练判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.
(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
反思感悟1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
函数奇偶性与单调性的综合应用1.比较函数值的大小例3已知偶函数f(x)的定义域为R,当f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)
延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,因为-3<-2<π,所以f(-3)
反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,不等式可化为f(|1-m|)
解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x10,所以f(x2-x1)<0,故f(x2)
变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2 019,则下列说法正确的是( )A.f(x)-1是奇函数B.f(x)+1是奇函数C.f(x)-2 019是奇函数D.f(x)+2 019是奇函数
答案:D 解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2 019,即f(0)=-2 019.令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2 019,即f(α)+f(-α)=-4 038,则f(-α)+2 019=-2 019-f(α)=-[2 019+f(α)],即f(x)+2 019是奇函数,故选D.
A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数
答案:D 解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )A.-1B.-3C.1D.3
答案:B 解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些对称方式?
一、奇、偶函数的定义
注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
名师点析1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.( )(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.( )(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.( )(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).( )(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.( )(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).( )
答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
解析:只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,故(1)错误;f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确;对任意x∈R,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确;为了说明f(x)不是偶函数,举一个反例即可,故(5)正确;f(x)=0,定义域为[-1,1],该函数既是奇函数又是偶函数,故(6)错误.
微思考已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值?
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
名师点析1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
微练习若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1
答案:C 解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:
分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数的定义域关于原点对称.(方法一)当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.2.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:
变式训练判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.
(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
反思感悟1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
函数奇偶性与单调性的综合应用1.比较函数值的大小例3已知偶函数f(x)的定义域为R,当f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)
延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,因为-3<-2<π,所以f(-3)
反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,不等式可化为f(|1-m|)
解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x1
变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2 019,则下列说法正确的是( )A.f(x)-1是奇函数B.f(x)+1是奇函数C.f(x)-2 019是奇函数D.f(x)+2 019是奇函数
答案:D 解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2 019,即f(0)=-2 019.令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2 019,即f(α)+f(-α)=-4 038,则f(-α)+2 019=-2 019-f(α)=-[2 019+f(α)],即f(x)+2 019是奇函数,故选D.
A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数
答案:D 解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )A.-1B.-3C.1D.3
答案:B 解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
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