北师大版初中数学七年级下册第五单元《生活中的轴对称》单元测试卷（困难）（含答案解析）

北师大版初中数学七年级下册第五单元《生活中的轴对称》单元测试卷（困难）（含答案解析）

考试范围：第五单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则，，三点构成的三角形是(    )

A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形

2.  在的正方形网格中，将三个小正方形涂色，如图所示，若移动其中一个涂色小正方形到空白方格中，与其余两个涂色小正方形重新组合，使得新构成的整个图案是一个轴对称图形，则这样的移法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

3.  如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为_____________．
 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，将沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，，则的长为
 

A.  B.  C.  D.

5.  四边形中，，，在、上分别找一点、，当三角形周长最小时，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在、中，，，，是的中线，，，三点在一条直线上，连接，，以下五个结论：：；；；中，正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在三角形中，，，的平分线交于点，垂直的延长线于点若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，中，，，是中线，，垂足为点，的延长线交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在直角中，，，是边上的点，连接如果将沿直线翻折后，点恰好在边的中点处，那么点到的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在等腰中，斜边的长为，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，连接，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中画出一个与成轴对称的格点三角形，则可以画出符合条件的三角形有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数若在此平面直角坐标系内移动点，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点的横坐标仍是整数，则移动后点的坐标为______ ．
 

14.  如图已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为______ ．

15.  在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到的锐角为，则等于          ．

16.  如图，在中，，，，是边上的动点不与点重合，将沿所在的直线翻折，得到，连接，则长度的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，四边形为长方形的台球桌面，现有一白球和一彩球，在图中的边上找一点，当击打白球时，使白球碰撞台边上的点，反弹后能击中彩球．

 

18.  本小题分
如图，在中，高线将分成和的两个小角．请你判断一下是轴对称图形吗？并说明你的理由．

19.  本小题分

已知长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．

如图，若点与点重合，求的度数；

如图，若点在点的右侧，且，求的度数；

若，请直接用含的式子表示的大小、不重合．

20.  本小题分

在锐角中，，，于点．

如图，过点作于点，求证：

动点从点出发，沿射线运动，连接，过点作，且满足．

如图，当点在线线段上时，连接分别交、于点、请问是否存在某一时刻使得和成轴对称，若有，求此刻的大小若没有，请说明理由．

如图，连接，交直线与点，当点在线段上时，试猜想和的数量关系并证明当点在的延长线上时，若，请直接写出的值．

21.  本小题分

已知：在平面直角坐标系中，点，点．

在图中的轴上求作点，使得的值最小；

若是以为腰等腰直角三角形，请直接写出点的坐标；

如图，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连结，把绕着点顺时针旋转得到即，，连结、、，试猜想的度数，并给出证明．

22.  本小题分

如图，等边三角形中，是边延长线上一点，延长至，使，于．
试说明：．
 

23.  本小题分

如图，在中，，平分交于点试说明：．

24.  本小题分
如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
 

若，求的度数

试说明：．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
作关于轴对称的图形；
写出三个顶点的坐标；
在轴上求作一点，使的值最小，并写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接，根据轴对称的性质可得，，，然后求出，再根据等腰直角三角形的定义判定即可．

【解答】

解：如图，连接，

与关于对称，与关于对称，
，，，
，
，
，
，，三点构成的三角形是等腰直角三角形．
故选A．

2.【答案】 

【解析】如图所示，一共有种移法．

故选C．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形以及三角形的面积等知识，能得出当最小时， 最小是解题关键首先连结，根据轴对称性质可证出是等腰直角三角形，从而可得，由此可得当最小时， 最小，根据当是点到直线的垂线段时最小，再利用的面积可列式求出的最小值，由此可得答案．
【解答】
解：连结，

点关于的对称点为，关于的对称点为，，

，，，；

，，

是等腰直角三角形，
，

当最小时， 最小．

当是点到直线的垂线段时最小，则由，即，解得，

．
故选B．

4.【答案】 

【解析】略
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、．

，
、关于对称，、关于对称，
此时的周长最小，
，，
，
同理：，
，，
，，
，
，
，
．
，
故选：．
延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
即．
在和中，

≌，
故正确；
≌，
．
，
，
，
．
；故正确；
，，
，
．
，故正确，
延长到，使得，连接，．
则≌．

，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，故正确，
延长交于．
≌，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
由条件证明≌，就可以得到结论；
由≌就可以得出，就可以得出而得出结论；
由条件知，由，就可以得出结论．
延长到，使得，连接想办法证明≌，即可解决问题；
延长交于只要证明即可；
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的证明，能够想到延长、相交于点，构造全等三角形是解决本题的关键．
延长、相交于点，可以证明≌，再证明≌得到，就可以得出结论．
【解答】

解：延长、相交于点．
，
．
在和中

≌

平分，
，又，
是等腰三角形，
，
，
，
．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
作交的延长线于点证明≌，≌，可得，即可解决问题．
【解答】
解：作交的延长线于点．

，，，
，
，，
．
在和中，

≌，
，，．
是中线，
，
．
，
．
又，即．
在和中，

≌，
，
．
，
，
．
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，作于，则，
又在中，，
，
，
两直线平行，内错角相等，
，
，
，
，
∽，
，
解得：，
所以点到的距离是．
故选B．
作，证明∽，然后利用折叠的性质和相似三角形的性质列出方程解答．
本题利用了：、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；、平行线和相似三角形判定和性质求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，
在中，为的中点，
，
在中，
，
，
点在的垂直平分线上运动，
作关于垂直平分线的对称点，
的最小值为，
在中，
，

故选：．
求两条线段和最小问题，找出动点的运动路径即可，由即可得出的运动路径．
本题考查了以等腰直角三角形为背景的两条线段和最小问题，找出的运动路径是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，的运动轨迹是以为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在上时，取得最小值．
根据折叠的性质，≌，
，
，
是边的中点，，
，
，
，
．
故选：．
的运动轨迹是以为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在上时，取得最小值．根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即为所求．
本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】如图，可以画出个格点三角形与成轴对称．

13.【答案】或或或． 

【解析】解：如图所示：

，，，，此时不是四边形，舍去，
故答案为：，，，．
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义，根据个定点所在位置，找出的位置．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
根据题意得：≌，
，，，
设，则，
在中由勾股定理得：，
即，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
即，
，
，
即．
故答案为：．
要求的长，应先设的长为，由将折叠使点恰好落在边上的点可得≌，所以，；在中由勾股定理得：，已知、的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出的值，即求出了的长．
本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是求出的度数和得出根据题意画出图形，求出的度数，求出，根据三角形内角和定理求出即可．

【解答】

解：分两种情况：

当为锐角三角形时，如图，
是垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
当为钝角三角形时，如图，
是垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．

故答案为或．

16.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，
，
由翻转变换的性质可知：，
长度固定不变，
当有最小值时，的长度有最小值．
根据两点之间线段最短可知：、、三点在一条直线上时，有最小值，
．
故答案为：．
根据翻转变换的性质可知，当有最小值时，即有最小值，由两点之间线段最短可知当、、三点在一条直线上时，有最小值．
本题主要考查的是翻转变换的性质、线段的性质，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，将白球打到台边的点处，反弹后能击中彩球．
 

【解析】本题考查的是应用与设计图有关知识，找到球关于的对称点，连接，与交点即为台球的撞击点．
 

18.【答案】解：是轴对称图形．
，
，
，
是等腰三角形，
是轴对称图形． 

【解析】求出，可得出为等腰三角形，继而可判断是轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是判断出是等腰三角形．
 

19.【答案】解：平分，平分
，

，
；
平分，平分
，

，，
，
；
若点在点的右侧，，
若点在点的左侧，． 

【解析】

【分析】
本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于常考题型．
根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．
根据，求出即可解决问题．
分两种情形分别求解即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
若点在点的右侧，，
又平分，平分，
，，
，
若点在点的左侧，同理可得．  

20.【答案】解：，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
，
在和中，

，

存在某一时刻使得和成轴对称，
，
，
由的证明知，
根据对称的性质，得，
，
；

理由如下：
如图所示，过作，交与点，那么，
，

又

在和中，

，
，，
，
又，
，
在和中，

，
，
，
当点在的延长线上时，如下图所示，

由上述证明过程可知，，
又已知，
，

． 

【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．
根据已知条件，证明和全等，即可得出；
因为，在中，，，由对称的性质可知，由此可以得出的度数；
过作，交与点，可证，得出，再证，得出，再通过等量代换即可．
 

21.【答案】解：如图中，点即为所求．


如图中，

满足条件的点，，，．
猜想
当点运动到点右侧时，
如图中，延长至，使，连接，，．

在和中
，，
≌
，


，
是等腰直角三角形，
，，

，
即

在和中
，，
≌
，
，

，
是等腰直角三角形，
当点运动到点左侧时，
同理可证，
综上所述， 

【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，点即为所求．
利用等腰直角三角形的性质画出图象，利用图象法即可解决问题．
分两种情形：当点运动到点右侧时，如图中，延长至，使，连接，，利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，．
 

22.【答案】解：如图，过点作，交的延长线于，所以，．

因为是等边三角形，

所以，．

所以是等边三角形．

所以．

所以．

因为，

所以，

因为，

所以．

在和中，

所以．

所以，即是等腰三角形．

又因为于，

所以为的中点．

所以．

【解析】本题主要考查等边三角形的性质以及三角形全等的判定
 

23.【答案】解法一：如图，延长至点，使，连接，则．

所以，

因为，

所以，

因为平分，

所以，

又因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

解法二：如图，延长到点，使，连接，则．

所以E.

因为，

所以E.

所以．

因为平分，

所以．

所以．

又因为，

所以．

所以．

所以．

解法三：如图，在上截取，连接．

因为平分，

所以，

又因为，

所以．

所以，．

因为，，

所以B.

所以．

所以．

【解析】 
见答案
 

24.【答案】解：因为，

所以．

因为．

所以．

因为，，

所以．

所以．

所以．

因为平分，

所以．

因为，

所以．

所以．

所以．

【解析】略
 

25.【答案】解：如图所示，即为所求．


由图可知，三个顶点的坐标分别为、；

作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，其坐标为． 

【解析】分别作出点、、关于轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
根据以上作图可得三顶点的坐标；
作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，据此可得．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及轴对称最短路线问题．