新高考数学一轮复习课件 第3章 §3.3　导数与函数的极值、最值

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§3.3　导数与函数的极值、最值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为　　　，极小值和极大值统称为　　.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　　；②将函数y＝f(x)的各极值与　　　　　　　　　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
端点处的函数值f(a)，f(b)
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　)(2)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值.(　　)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点.(　　)
1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.
f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
3.若函数f(x)＝ x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.
f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
TANJIUHEXINTIXING
例1　(2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D.函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
利用导数求函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减.所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3).
例2　已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数).(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
命题点2　求已知函数的极值
又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，
(2)求函数f(x)的极值.
当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值.
例3　(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于A.－7 B.0C.－7或0 D.－15或6
命题点3　已知极值(点)求参数
由题意知，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f(x)在x＝1处取得极值10，
检验知，当a＝－3，b＝3时，可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a＝4，b＝－11时，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x＝1时，函数f(x)取得极小值，符合题意.所以a＋b＝－7.
(2)(2022·南京模拟)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为
＝ln x＋1－2ax，
当00，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)的极大值为g(1)＝1，又当x>1时，g(x)>0，当x→＋∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→－∞，
由f′(x)＝cs x－xsin x＝0，
2.已知a，b∈R，若x＝a不是函数f(x)＝(x－a)2(x－b)·(ex－1－1)的极小值点，则下列选项符合的是A.1≤b令f(x)＝(x－a)2(x－b)(ex－1－1)＝0，得x1＝a，x2＝b，x3＝1.下面利用数轴标根法画出f(x)的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析.对选项A，若1≤b对选项C，若a<1≤b，由图 可知x＝a是f(x)的极小值点，不符合题意；对选项D，若a根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.
跟踪训练1　(1)(2022·长沙模拟)若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极大值为A.－1 B.－2e－3C.5e－3 D.1
因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，故可得f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，因为x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，故可得f′(1)＝0，即2a＋2＝0，解得a＝－1.此时f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x＋2)(x－1).令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝1，由f′(x)>0可得x<－2或x>1；由f′(x)<0可得－2所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)的极大值点为x＝－2.则f(x)的极大值为f(－2)＝(4＋2－1)e－3＝5e－3.
∴g(x)min＝g(1)＝2，
例4　已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R).(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x，
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，∴g(x)在[1，e]上单调递增，∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a).
g(x)的定义域为(0，＋∞)，
①当 ≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
③当 ≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
已知函数f(x)＝ln x－ax－2(a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性；
f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ln x－ax－2(a≠0)可得
当a<0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
综上所述，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数f(x)有最大值M，且M>a－4，求实数a的取值范围.
由(1)知，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，
因此有－ln a－3>a－4，得ln a＋a－1<0，
设g(a)＝ln a＋a－1，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以g(a)(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练2　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.由题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍).当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
KESHIJINGLIAN
2.如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是A.f(x)在[－2，－1]上单调递增B.当x＝3时，f(x)取得最小值C.当x＝－1时，f(x)取得极大值D.f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减
根据题图知，当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增.所以y＝f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当x＝－1时，f(x)取得极小值，选项C不正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，选项B不正确.
3.已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为A.2 B.－C.3＋ln 2 D.－2＋2ln 2
∵f(x)在x＝2处取得极小值，
∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
4.(2022·重庆联考)函数f(x)＝x＋2cs x在[0，π]上的最大值为A.π－2 B.C.2 D.
由题意得，f′(x)＝1－2sin x，
f′(x)<0，f(x)单调递减，
5.(多选)已知x＝1和x＝3是函数f(x)＝ax3＋bx2－3x＋k(a，b∈R)的两个极值点，且函数f(x)有且仅有两个不同零点，则k值为A. B.C.－1 D.0
f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意1,3是f′(x)＝0的两个根，
6.(多选)已知函数f(x)＝x＋sin x－xcs x的定义域为[－2π，2π)，则A.f(x)为奇函数B.f(x)在[0，π)上单调递增C.f(x)恰有4个极大值点D.f(x)有且仅有4个极值点
因为f(x)的定义域为[－2π，2π)，所以f(x)是非奇非偶函数，故A错误；因为f(x)＝x＋sin x－xcs x，所以f′(x)＝1＋cs x－(cs x－xsin x)＝1＋xsin x，当x∈[0，π)时，f′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增，故B正确；
由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点，故C错误，D正确.
7.(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________________.
sin x(答案不唯一)
正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值.
8.(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为____.
函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
9.已知函数f(x)＝ln x－ .(1)求函数f(x)的单调区间；
由题知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当且仅当x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.
(2)设g(x)＝f(x)－ ＋2(a∈R)，若x1，x2是函数g(x)的两个极值点，求实数a的取值范围.
由题意知x1，x2是方程g′(x)＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解.令h(x)＝x2＋(2＋a)x＋1，又h(0)＝1>0，
10.(2022·珠海模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，其中e为自然对数的底数.(1)若x＝1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；
∵f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，
由f′(1)＝0，得a＝1.
∴x∈(0,1)，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f(x)的极大值为f(1)＝－1，也即f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
∵f(x)＝ln x－ax，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3，
又f(x)在(0，e]上的最大值为－3，
∴f(x)max＝f(e)＝1－ae＝－3，
综上，存在a符合题意，此时a＝e2.
11.若函数f(x)＝(x2－a)ex的两个极值点之积为－3，则f(x)的极大值为
因为f(x)＝(x2－a)ex，所以f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，由f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)ex的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)ex，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；
当－312.函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为A.a＝2，b＝－29 B.a＝3，b＝2C.a＝2，b＝3 D.以上都不对
函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出00，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，
则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.
13.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则A.abC.aba2
当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.综上，可知必有ab>a2成立.
14.(2022·河南多校联考)已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x＋2，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为_________.
设f(x1)＝g(x2)＝t，即2ln x1＝t，x2＋2＝t，
解得x1＝ ，x2＝t－2，
所以x1－x2＝ －t＋2，
令h(t)＝ －t＋2，则h′(t)＝ －1，
令h′(t)＝0，解得t＝2ln 2，当t<2ln 2时，h′(t)<0，
当t>2ln 2时，h′(t)>0，所以h(t)在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h(t)的最小值为h(2ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x1－x2的最小值为4－2ln 2.
15.(多选)已知函数f(x)＝xln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是
函数f(x)＝xln x＋x2(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋2x，∵x0是函数f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即ln x0＋1＋2x0＝0，
∵当x→0时，f′(x)→－∞，
f(x0)＋2x0＝x0ln x0＋ ＋2x0＝x0(ln x0＋x0＋2)＝x0(1－x0)>0，即D正确，C不正确.
16.已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x(a>0).(1)求函数f(x)的单调递增区间；
一元二次方程2x2－2x＋a＝0的Δ＝4(1－2a)，
f′(x)>0，f(x)单调递增，
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1由f(x1)≥mx2恒成立，
即(1－x2)2－2(1－x2)＋2(1－x2)x2ln(1－x2)≥mx2，